Gradyan fonksiyonlar - Özel türetilmiş fonksiyonların tanımı ile ilişkili vektör miktarı. Degradenin yönü, fonksiyonun resmi büyümesinin, skaler alanın bir noktasından diğerine yolunu gösterir.

Talimat

1. İşlevin problemini çözmek için, diferansiyel hesap yöntemleri, yani üç değişkende ilk siparişin kısmi türevlerini bulur. İşlevin kendisinin ve tüm özel türevlerinin, fonksiyon tanımı alanındaki süreklilik özelliğine sahip olduğu varsayılmaktadır.

2. Degrade, yönü F işlevindeki maksimum hızlı artışın yönünü gösteren bir vektördür, bunun için, vektörün uçları olan grafikte iki nokta m0 ve m1 seçilir. Degradenin büyüklüğü, M0 noktasından M1 noktasına fonksiyonu artırma hızına eşittir.

3. İşlev, bu vektörün tüm noktalarında farklıdır, yürürlükte, vektörün koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonları tüm özel türevleridir. Sonra degrade formülü daha ileri görünüyor: grad \u003d (? F /? X) I + (? F /? Y) J + (? F /? Z) K, burada i, j, k, tek bir vektörün koordinatlarıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun degradatı, koordinatları özel türevleri grad f \u003d (? F /? X,? F /? Y,? F /? Z) olan bir vektördür.

4. Örnek1. F \u003d SIN (x z?) / Y işlevi belirtildiği için ayarlanır. Noktada degradesini tespit etmek için gereklidir (? / 6, 1/4, 1).

5. Karar. Herhangi bir değişken için özel türevleri kullanın: f'_h \u003d 1 / y bilgisayarlar (x z?) Z?; F'_y \u003d günah (x z?) (-1) 1 / (y?); F'_z \u003d 1 / y Bilgisayarlar (XZ?) 2 x z.

6. Koordinatın ünlü noktalarını sunmak: F'_x \u003d 4 Bilgisayar (? / 6) \u003d 2? 3; F'_y \u003d günah (? / 6) (-1) 16 \u003d -8; F'_z \u003d 4 bilgisayar (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Fonksiyon Degrade Formülünü Uygula: Grad F \u003d 2? 3 I - 8 J + 2? /? 3 K.

8. Misal.

9. Çözüm .F'_H \u003d 0 ARSTG (Z / X) + Y (ARSTG (Z / X)) '_ x \u003d Y 1 / (1 + (z / x)?) (-Z / x?) \u003d -Yz / (x? (1 + (z / x)?)) \u003d -1; f'_y \u003d 1 ARSTG (Z / X) \u003d ARSTG 1 \u003d? / 4; F'_Z \u003d 0 ARSTG (Z / X) + Y (ARSTG (Z / X)) '_ Z \u003d Y 1 / (1 + (z / x)?) 1 / x \u003d y / (x (1 + (z / x)?) \u003d 1.Grad \u003d (- 1 ,? / 4, 1).

Skaler alanın gradyanı bir vektör büyüklüğüdür. Böylece, skaler alanın bölünmesinin bilgisine dayanarak, ilgili vektörün tüm bileşenlerini belirlemek gerekir.

Talimat

1. Skaler alanın degradesini temsil eden en yüksek matematikte ders kitabında okuyun. Tuhaf olan olarak, bu vektör değerinin skaler fonksiyonunun maksimum kalma süresi ile karakterize bir yöne sahiptir. Bu vektör değerinin böyle bir anlamı, bileşenini belirlemek için ifadeyle haklı çıkar.

2. Herhangi bir vektörün bileşeni tarafından belirlendiğini unutmayın. Vektörin bileşenleri aslında bu vektörün bir veya başka bir koordinat ekseninde projeksiyonlarıdır. Böylece, üç boyutlu bir alan göz önünde bulundurulursa, vektörün üç bileşeni olması gerekir.

3. Vektörin bileşenlerinin, bazı alanların degranı olan bileşenlerinin belirlendiğini belirtin. Böyle bir vektörün koordinatlarının tümü, koordinatı hesaplanan bir değişkende skaler potansiyelin türevine eşittir. Yani, alanın gradyanının alanının "OSCUS" bileşenini hesaplamanız gerekirse, skaler fonksiyonu "X" değişkeni boyunca önyargılamak gerekir. Lütfen türevin özel olması gerektiğini unutmayın. Bu, farklılaştırırken, katılmayan diğer değişkenlerin sabit olarak kabul edilmesi gerektiği anlamına gelir.

4. Skaler alan için bir ifade yazın. Ünlü olduğu gibi, bu terim, aynı zamanda skaler değerler olan birkaç değişkenin her sadece skaler işlevini ima eder. Skaler fonksiyonun değişkenlerinin sayısı, boşluğun boyutuyla sınırlıdır.

5. Herhangi bir değişken için ayrı ayrı skaler işlevini ayırt eder. Sonuç olarak, üç yeni özelliğiniz olacak. Skaler alanının degrade vektörünün ifadesindeki tüm işlevleri girin. Elde edilen fonksiyonların her biri aslında bu koordinatın tek bir vektörüne sahip bir göstergedir. Böylece, degrade final vektörü, türetilmiş fonksiyonlar biçiminde göstergelerle bir polinom gibi görünmelidir.

Degradenin temsilini içeren sorunları göz önüne alındığında, her işlev skaler alanlar olarak algılanır. Uygun atamaları tanıtmak gerekir.

İhtiyacın olacak

• - Buman;
• - bir kalem.

Talimat

1. İşlevin U \u003d F (X, Y, Z) üç argümanı ayarlamasına izin verin. Örneğin, özel bir türev fonksiyon, argümanların geri kalanını sabitlerken elde edilen bu aryonun bir türevi olarak tanımlanır. Gibi argümanların geri kalanı için. Özel türevin tanımları formda yazılmıştır: DF / DH \u003d U'X ...

2. Tam diferansiyel DU \u003d (DF / DX) DX + (DF / D) DY + (DF / DZ) DZ'ye eşit olacaktır. Dahil edilen türevlerin, türevlerinin koordinat eksenlerinin yönünde nasıl olduğunu anlamalarına izin verilir. Belirtilen vektörlerin yönünde bir türev bulma sorusu (X, Y, Z) noktasında (X, Y, Z) noktasında görünür (X, Y, Z) noktasında görünür (yönünün ünite vektörünü belirtirdiğini unutmayın. ort s ^ o). Aynı zamanda, vektör diferansiyel argümanları (DX, DY, DZ) \u003d (DSCOS (ALPHA), DSSOS (BETA), DSOS (GAMMA)).

3. Tam DU diferansiyelinin türü göz önüne alındığında, m noktasındaki yöndeki türevinin, (DU / DS) | M \u003d ((DF / DX) | M) COS (Alfa) ) + ((DF / D) | M) COS (Beta) + ((DF / DZ) | M) COS (Gama). S \u003d S (SX, SY, SZ) ise, ardından Kocaines (Bilgisayarlar (Alfa) , bilgisayarlar (beta), bilgisayarlar (gama)) hesaplanır (bkz. Şekil 1A).

4. Türevinin yönde belirlenmesi, değişkenin sayım noktası, bir skaler ürün formunda yeniden yazılmasına izin verilir: (DU / DS) \u003d ((DF / DH, DF / DF / DZ), (Bilgisayarlar (alfa), bilgisayarlar (beta), comp (gama)) \u003d (Grad U, s ^ \u200b\u200bo). Bu ifade, skaler alan için nesnel olarak olacaktır. İşlev için kolay kabul edilirse, LEGFF, özel türevlerle çakışan koordinatlara sahip olan bir vektördür. F (x, y, z) .gradf (x, y, z) \u003d ((DF / DH, DF / DF / DF / DZ) ) \u003d) \u003d (DF / DH) I + (DF / D) J + (DF / DZ) K. Burada (I, J, K), dikdörtgen bir kartezyen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin erteleridir.

5. Diferansiyel vektör operatörünü Hamilton Recruit'i uyguluyorsanız, LEGFF'nin bu vektör operatörünün bir skaler F üzerinde çarptığını yazmasına izin verilir (bkz. Şekil 1B). İletişim Gradf'in yönünde bir türev ile olan bakış açısından, bu vektörler ortogonal ise eşitlik (Gradf, s ^ \u200b\u200bo) \u003d 0 izin verilir. Sonuç olarak, Gradf genellikle skaler alanın en hızlı metamorfozunun yönü olarak belirlenir. Farklı işlemler açısından (Gradf onlardan biridir), GradF özellikleri tam olarak işlevlerin farklılaşmasının özelliklerini tekrarlar. Özellikle, eğer f \u003d UV ise, o zaman gradf \u003d (Vgradu + U Gradv).

Konudaki video

Gradyan Bu, grafik editörlerde, dolgu siluetini diğer renkteki pürüzsüz bir geçişle gerçekleştiren bir araçtır. Gradyan Bir siluet, hacimin bir sonucu, taklit aydınlatma, konunun yüzeyinde parlama ışığı veya fotoğrafın arka planındaki gün batımının sonucu verebilir. Bu araç yaygın bir şekilde kullanımı, yürürlüğe girer, fotoğrafları işleme koymak veya resimler oluşturmak için, bir şekilde kullanmak için onları önemli ölçüde inceleyecektir.

İhtiyacın olacak

• Bilgisayar, Adobe Photoshop Grafik Düzenleyicisi, Corel Draw, Paint.Net veya diğer.

Talimat

1. Resmi programdaki açın veya yenisini yapın. Bir siluet yapın veya resimdeki kıyafet alanını vurgulayın.

2. Grafik Düzenleyici araç çubuğundaki Degrade aracını açın. Fare imlecini seçilen alanın içinden veya gradyanın 1. renginin başladığı siluetin noktasına yerleştirin. Farenin sol tuşunu basılı tutun. İmleci, gradyanın son renge gitmesi gereken noktaya getirin. Sol fare düğmesini bırakın. Vurgulanan siluet dolguyu bir degrade ile doldurur.

3. Gradyan Şeffaflık, renkler ve oranı belirli bir doldurma noktasında ayarlamasına izin verilir. Bunu yapmak için, degradenin düzenleme penceresini açın. Photoshop'ta düzenleme penceresini açmak için - "Parametreler" panelinde degrade örneğini tıklayın.

4. Açılan pencerede, degrade dolgusu için mevcut seçenekler örnekler biçiminde görüntülenir. Seçeneklerden birini düzenlemek için, fare tıklamasını seçin.

5. Pencerenin alt kısmında, bir degrade örneği, kaydırıcıların bulunduğu geniş bir ölçek olarak görüntülenir. Sürgüler, gradyanın çağrıları belirttiği noktaları belirtir ve kaydırıcı arasındaki aralıkta, renk, ilk noktada ayarlanan 2. nokta renginden eşit şekilde hareket eder.

6. Ölçeğin tepesinde bulunan sürgü, degradenin şeffaflığını belirler. Saydamlığı değiştirmek için, gerekli kaydırıcıyı tıklayın. Alan, istenen saydamlık derecesini yüzde olarak giren ölçek altında görünecektir.

7. Ölçeğin altındaki sürgü gradyanın renklerini ayarlar. Bunlardan birini değiştirme, sörf rengini tercih edebileceksiniz.

8. Gradyan Birkaç geçiş rengine sahip olabilir. Başka bir renk belirlemek için, ölçeğin altındaki boş yere tıklayın. Başka bir kaydırıcı görünecek. İstediğiniz rengi bunun için ayarlayın. Ölçek, bir degrade örneğini başka bir nokta ile gösterecektir. İstenilen kombinasyonu elde etmek için kaydırıcıyı sol fare düğmesinin desteğiyle tutarak hareket ettirebilirsiniz.

9. Gradyan Şekil düz siluetleri verebilecek birkaç tür vardır. Diyelim ki, bir daire verebilmek için topun şekli bir radyal gradyan uygular ve koni şeklindeki şeklini vermek için - koni şeklindedir. Yüzeye vermek için, çıkıntının yanılsamasının ayna gradyanından yararlanmasına izin verilir ve elmas gradyanı parlama oluşturmak için kullanılabilir.

Konudaki video

Konudaki video

Kısa teori

Degrade, yönü, yönü, f (x) fonksiyonundaki maksimum hızlı artışın yönünü belirtir. Bu vektör değerini bulmak, özel türetilmiş fonksiyonların tanımı ile ilişkilidir. Yönteki türev bir skaler değerdir ve bazı vektör tarafından belirtilen yön boyunca sürüş sırasında fonksiyon değişikliği oranını gösterir.

Sorunu çözme örneği

Görev

Danies özelliği, nokta ve vektör. Bulmak:

Sorunun çözümü

Bir degrade işlevini bulmak

1) Noktadaki işlevin degradını bulacağız:

İstenen gradyan:

Vektör yönünde bir türev bulma

2) Vektörin yönünde bir türev bulun:

nerede-Çin, vektör ve eksen tarafından oluşan

Noktadaki istenen türev:

Fiyat, çözeltinin aciliyetini güçlü bir şekilde etkiler (günden birkaç saate kadar). Sınav / STANDING'TA SINAVI YARDIMCISI Randevu ile gerçekleştirilir.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atarak ve ihtiyacınız olan kararı bildiren sohbette bırakılabilir. Cevap zamanı - birkaç dakika.

Matematik okulundan gelen, uçaktaki vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğu bilinmektedir. Başlangıcı ve sonu iki koordinat var. Vektörin koordinatları, başlangıcın koordinatlarının ucunun koordinatlarından çıkarılarak hesaplanır.

Bir vektör kavramı ayrıca N boyutlu alana dağıtılabilir (iki koordinat yerine, benchordinatlar).

Gradyangradz FonksiyonlarıZ \u003d F (x 1, x 2, ... xn), yani, yani özel türetilmiş fonksiyonların vektörü adı verilir. Koordinatlarla vektör.

İşlevin gradyanının, fonksiyon seviyesinin biçimsel büyümesinin yönünü belirlediği kanıtlanabilir.

Örneğin, Z \u003d 2x 1 + x 2 işlevi için (bkz. Şekil 5.8), degrade herhangi bir noktada olacak şekilde koordinatlar (2; 1) olacaktır. Vektörin başlangıcı olarak herhangi bir noktaya gelerek uçağa çeşitli şekillerde inşa etmek mümkündür. Örneğin, bir nokta (2; 1) veya bir nokta (3; 1) veya nokta (2; 1) veya nokta (0; 3) bir nokta (2) ile bir nokta (0; 0) bağlayabilirsiniz. ; 4) veya t .p. (Bkz. Şekil 5.8). Bu şekilde inşa edilen tüm vektörler koordinatlar olacaktır (2 - 0; 1 - 0) \u003d (3 - 1; 1 - 0) \u003d (2; 1).

Şekil 5.8, fonksiyon seviyesinin degrade yönünde büyüdüğü, çünkü inşa edilen seviye çizgileri, seviye 4\u003e 3\u003e 2'nin değerlerine karşılık gelir.

Şekil 5.8 - Degrade Fonksiyonu Z \u003d 2x 1 + x 2

Başka bir örneği düşünün - z \u003d 1 / (x 1 x 2) işlevi. Bu fonksiyonun degradası, farklı noktalarda aynı derecede aynı olmayacaktır, çünkü koordinatları formüller (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) tarafından belirlenir.

Şekil 5.9, 2 ve 10 düzeyleri (DOĞRUDAN 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 işlevinin (DOĞRU 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 işlevinin işlev seviyelerini göstermektedir (Direct 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, noktalı çizgi ile gösterilir ve düz çizgi 1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - Katı çizgi).

Şekil 5.9 - Farklı fonksiyonun gradyanları, farklı noktalarda Z \u003d 1 / (x 1 x 2)

Örneğin, nokta (0.5; 1) alın ve bu noktada degradeyi hesaplayın: (-1 / (0.5 2 x 1); -1 / (0.5 x 1 2)) \u003d (-4; - 2). Noktaya (0.5; 1) seviye satırında (x 1 x 2) \u003d 2, forz \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2 ile yattığını unutmayın. -4; -2) Şekil 5.9'da, noktayı (0.5; 1) bir nokta (-3,5; -1), (-3,5 - 0.5; -1 - 1) \u003d (-4; -2).

Aynı seviye satırında başka bir nokta alın, örneğin, nokta (1; 0.5) (Z \u003d F (1; 0.5) \u003d 1 / (0.5 x 1) \u003d 2). Bu noktada degradeyi hesaplayın (-1 / (1 2 x 0.5); -1 / (1 x 0.5 2)) \u003d (-2; -4). Şekil 5.9'da tasvir etmek için, noktayı (1; 0.5) bir nokta (-1; -3.5), (-1 - 1; -3.5 - 0.5) \u003d (-2; - dört) ile bağlayın.

Aynı seviye hattında başka bir nokta alın, ancak şimdi sadece şimdi ayrılmaz bir koordinat çeyreğinde. Örneğin, nokta (-0.5; -1) (Z \u003d F (-0.5; -1) \u003d 1 / (((- 1) * (- 0.5) \u003d 2). Bu noktadaki gradyan (-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)); -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2) \u003d (4; 2). (3.5; 1), (3.5 - (-0.5); 1 - (-1) \u003d (4; 2) için bir nokta (3.5; 1) noktasını (-0.5; -1) bağlayan Şekil 5.9'da gösterin.

Her üç vakada, degrade, gradyanın büyüme seviyesi büyümesinin yönünü gösterdiği belirtilmelidir (1 / (x 1 x 2) \u003d 10\u003e 2).

Degradenin her zaman bu noktadan geçen seviye hattına (seviye yüzeyi) dik olduğu kanıtlanmıştır.

Birçok değişkenin sonuca fonksiyonları

Kavramı tanımlarız ekstremyumbirçok değişkenin işlevi için.

F (x) birçok değişkenin işlevi X (0) noktasında bulunur. en çok en az),bu noktada böyle bir mahalle varsa, bu mahalleden X'in tüm noktaları için, eşitsizlikler gerçekleştirilir (x) f (x (x (x (x (0)) ().

Bu eşitsizlikler gerçekleştirilirse, sıkı, sonra ekstremum denir kuvvetlive değilse, o zaman güçsüz.

Aşırmanın bu şekilde tanımlandığını unutmayın. yerelbütünlük, bu eşitsizlikler sadece bir aşırılık noktasının mahallesi için yapıldığından.

Farklı fonksiyonun yerel ekstremimi için gerekli bir durumumuz var Z \u003d F (x 1, .., x n), bu noktada ilk siparişin tüm özel türevlerinin sıfırının eşitliğidir:
.

Bu eşitliğin yapıldığı noktalar denir sabit.

Farklı bir şekilde, gerekli ekstremum koşulu aşağıdaki gibi formüle edilebilir: Extremum noktasında, degrade sıfırdır. Daha genel onayını kanıtlamak mümkündür - Extremma noktasında her yöne sıfır türevlere dönüşürler.

Sabit puanlar ek çalışmalara tabi tutulmalıdır - yerel bir aşçının varlığı için yeterli koşullar vardır. Bunun için, ikinci dereceden farkın işareti belirlenir. Herhangi biri varsa, aynı zamanda sıfıra eşit değilse, her zaman negatif (pozitif), ardından fonksiyonun maksimum (minimum) vardır. Sadece sıfır artışlarla değil sıfıra başvurabilirse, ekstremma sorusu açık kalır. Hem pozitif hem de olumsuz değerler alabiliyorsanız, sabit bir noktada ekstremum yoktur.

Genel olarak, diferansiyel işaretin tanımı, burada düşünmeyeceğimiz oldukça karmaşık bir sorundur. İki değişkenin işlevi için, sabit bir noktada ise kanıtlayabilirsiniz.
Extremum bulunur. Bu durumda, ikinci farkın işareti işareti ile çakışıyor
. Eğer bir
, o zaman bu maksimum ve eğer
, o zaman bu en azından. Eğer bir
Sonra bu noktada ekstremum yok ve eğer
Extremma sorusu açık kalır.

Örnek 1.. Aşırı işlevleri bulun
.

Logaritmik farklılaşma ile özel türevleri buluyoruz.

lN Z \u003d LN 2 + LN (X + Y) + LN (1 + XY) - LN (1 + x 2) - LN (1 + y2)

benzer şekilde
.

Denklem sisteminden sabit noktaları bulun:

Böylece, dört sabit nokta bulundu (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ve (-1; -1).

İkinci siparişin özel türevlerini buluruz:

ln (z x `) \u003d ln2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

benzer şekilde
;
.

Gibi
, ifade işareti
sadece ot değişiyor
. Her iki türevden de, payda her zaman pozitif olduğuna dikkat edin, böylece yalnızca numberator işaretini veya hatta X (x 2 - 3) ve (y2 - 3) ifadelerinin işaretini düşünebilirsiniz. Her kritik noktada tanımlıyoruz ve ekstremyumun yeterli koşullarının yürütülmesini kontrol ediyoruz.

Bir nokta için (1; 1) 1 * (1 2 - 3) \u003d -2 alıyoruz< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
\u003e 0, ve
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Bir nokta için (1; -1) 1 * (1 2 - 3) \u003d -2 alıyoruz< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Çünkü Bu sayıların çalışmaları
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Bir nokta (-1; -1) için (-1) * ((- 1) 2 - 3) \u003d 2\u003e 0 elde ediyoruz çünkü İki pozitif sayının çalışması
\u003e 0, ve
\u003e 0, (-1; -1) noktasında minimum bulabilirsiniz. 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (- 1) 2) * (1 + (- 1) 2) ) \u003d -8/4 \u003d -2.

Bulmak küreselmaksimum veya minimum (fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri), yerel ekstremyumdan biraz daha karmaşıktır, çünkü bu değerler sadece sabit noktalarda değil, aynı zamanda tanım alanının sınırında da elde edilebilir. Bu alanın sınırındaki işlevin davranışını keşfedin Her zaman kolay değildir.

Gradyan fonksiyonu ve \u003d f (x, y, z) Bazı bölgelerde tanımlanmıştır. Uzay (X y z), var vektör Sembollerle belirtilen projeksiyonlarla: Grad Nerede ben, j, k - Koordinat ortopları. G. F. - Bir nokta işlevi var (x, y, z), yani bir vektör alanı oluşturur. F kenti yönünde türev. Bu noktada en büyük değere ulaşır ve aşağıdakilere eşittir: Degradenin yönü, fonksiyonun en değişken artışının yönüdür. G. F. Bu noktada, bu noktadan geçen yüzey yüzeyine dik. G. F. kullanımının etkinliği Litolojik çalışmalarda, EOL çalışmasında gösterilmiştir. Merkezi karalamalar.

Jeolojik Sözlük: 2 hacimde. - m.: Nedra. K. N. Paffengolts ve diğerleri tarafından düzenlendi.. 1978 .

Diğer sözlüklerde "kalite degrade" olanı izleyin:

Bu makale matematiksel karakteristik; Doldurma yöntemi için, bakınız: Gradient (bilgisayar grafikleri) ... Wikipedia

- (lat.). Farklı yerlerde barometrik ve termometrik endikasyonlardaki fark. Rus dilinde yer alan yabancı kelime sözlüğü. Chudinov A.N., 1910. Barometre ve termometre ile aynı anda termometrede degrade fark ... Rus dilinin yabancı sözleri sözlüğü

gradyan - Belirli bir miktarın değerini belirli bir yönde belirli bir yönde değiştirin. Topografik gradyan, ölçülen yatay mesafedeki arazinin yüksekliğinde bir değişikliktir. Temalar Röle Koruma EN Diferansiyel Koruma Açma Karakteristik ... Teknik Tercüman Dizini

Gradyan - Fonksiyondaki belirgin artışa yönelik ve bu yönde türevine eşit olan vektör: EI sembollerinin, koordinat eksenlerinin (Ceverts) birim vektörlerini gösterdiği durumlarda ... Ekonomi ve Matematiksel Sözlük

Vektör analizinin temel kavramlarından biri ve doğrusal olmayan eşlemeler teorisi. Vektör argümanının skaler fonksiyonunun Euclidean uzayından etkilenmesi. F (t) türev fonksiyonu. Vektör argümanına göre, yani, n boyutsal vektör ... ... Matematiksel ansiklopedi

Degrade fizyolojik - - Diğer değere bağlı olarak işlev göstergesindeki değişikliği yansıtan değer; Örneğin, kısmi basınç gradyanı, kısmi basınçtaki farktır, bu da gazların alveollerden (eksenlerden) kanın kanına ve kandan difüzyonunu belirleyen ... ... Çiftlik hayvanlarının fizyolojisinde terimlerin sözlüğü

Ben gradyan (Lat. Gradiens, doğdu. Paddle degrade derecelendirmesi) Vektör, bir yerdeki bir yerden diğerine değişen bir miktar değişimin yönünü gösteren vektör (teori alanlarına bakın). Eğer büyüklük ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Gradyan - (Lat'tan. Gradiens yürüyüş, geliyor) (matematikte), bazı fonksiyondaki kesin artışın yönünü gösteren vektör; (fizikte) Uzayda veya birim başına herhangi bir fiziksel boyutun düzleminde artan veya azalmanın ölçülmesi ... ... Modern doğal bilimin başlangıcı

Kitabın

• Seçilen yüksek matematik bölümlerinin bazı görevlerini çözme yöntemleri. Atölye, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilyevna, Kozlovsky Evgeny Aleksandrovich. Bu atölye çalışması, limit ve aşırı fonksiyon, gradyan ve türev olarak, genel olarak kabul edilen matematiksel analizlerin bu tür bölümlerinden bazı görevleri çözme yöntemlerini tartışmaktadır.

Matematik okulundan gelen, uçaktaki vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğu bilinmektedir. Başlangıcı ve sonu iki koordinat var. Vektörin koordinatları, başlangıcın koordinatlarının ucunun koordinatlarından çıkarılarak hesaplanır.

Bir vektör kavramı ayrıca N boyutlu boşluğa da dağıtılabilir (iki koordinat yerine N koordinatlar olacaktır).

Gradyan Grad Z fonksiyonları Z \u003d F (x 1, x 2, ... x n), noktada özel türetilmiş fonksiyonların vektörü olarak adlandırılır. Koordinatlarla vektör.

İşlevin gradyanının, fonksiyon seviyesinin biçimsel büyümesinin yönünü belirlediği kanıtlanabilir.

Örneğin, Z \u003d 2x 1 + x 2 işlevi için (bkz. Şekil 5.8), degrade herhangi bir noktada olacak şekilde koordinatlar (2; 1) olacaktır. Vektörin başlangıcı olarak herhangi bir noktaya gelerek uçağa çeşitli şekillerde inşa etmek mümkündür. Örneğin, bir nokta (2; 1) veya bir nokta (3; 1) veya nokta (2; 1) veya nokta (0; 3) bir nokta (2) ile bir nokta (0; 0) bağlayabilirsiniz. ; 4) veya t .p. (Bkz. Şekil 5.8). Tüm vektör oluşturulmuş vektörlerin koordinatları olacaktır (2 - 0; 1 - 0) \u003d
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Şekil 5.8, fonksiyon seviyesinin degrade yönünde büyüdüğü, çünkü inşa edilen seviye çizgileri, seviye 4\u003e 3\u003e 2'nin değerlerine karşılık gelir.

Şekil 5.8 - Degrade Fonksiyonu Z \u003d 2x 1 + x 2

Başka bir örneği düşünün - z \u003d 1 / (x 1 x 2) işlevi. Bu fonksiyonun degradası, farklı noktalarda aynı derecede aynı olmayacaktır, çünkü koordinatları formüller (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) tarafından belirlenir.

Şekil 5.9, 2. ve 10 seviyeleri için Z \u003d 1 / (x 1 x 2) fonksiyonunun seviyesinin seviyesini göstermektedir (Doğrudan 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, noktalı çizgi ile gösterilir ve düz
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - Katı çizgi).

Şekil 5.9 - Farklı fonksiyonun gradyanları, farklı noktalarda Z \u003d 1 / (x 1 x 2)

Örneğin, nokta (0.5; 1) alın ve bu noktada degradeyi hesaplayın: (-1 / (0.5 2 x 1); -1 / (0.5 x 1 2)) \u003d (-4; - 2). Noktanın (0.5; 1) Hat 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, Z \u003d F (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2 için yattığını unutmayın. Vektörü canlandırmak (- 4; -2) Şekil 5.9'da, noktayı (0.5; 1) bir nokta (-3.5; -1) ile bağlayın.
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Aynı seviye satırında başka bir nokta alın, örneğin, nokta (1; 0.5) (Z \u003d F (1; 0.5) \u003d 1 / (0.5 x 1) \u003d 2). Bu noktada degradeyi hesaplayın
(-1 / (1 2 x 0.5); -1 / (1 x 0.5 2)) \u003d (-2; -4). Şekil 5.9'da tasvir etmek için, noktayı (1; 0.5) bir nokta (-1; -3.5), (-1 - 1; -3.5 - 0.5) \u003d (-2; - dört) ile bağlayın.

Aynı seviye hattında başka bir nokta alın, ancak şimdi sadece şimdi ayrılmaz bir koordinat çeyreğinde. Örneğin, nokta (-0.5; -1) (Z \u003d F (-0.5; -1) \u003d 1 / (((- 1) * (- 0.5) \u003d 2). Bu noktadaki gradyan eşit olacak
(-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)); -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2)) \u003d (4; 2). (3.5; 1), (3.5 - (-0.5); 1 - (-1) \u003d (4; 2) için bir nokta (3.5; 1) noktasını (-0.5; -1) bağlayan Şekil 5.9'da gösterin.