Bu nedenle, vektörlerin sistem sistemini doğrusal bir bağımlılıkta inceleme görevi, bu sistemin vektörlerinden oluşan matrisin rütbesini bulma görevine indirgenir.

P\u003e N'de, vektörlerin sisteminin doğrusal olarak bağımlı olacağı belirtilmelidir.

Yorum Yap: Matrisini derlerken, sistem vektörleri satır olarak alınamaz, ancak sütunlar olarak alınamaz.

Doğrusal bir bağımlılıkta vektörler sisteminin algoritması çalışmaları.

Örneklerdeki algoritmayı analiz edeceğiz.

Doğrusal bir bağımlılıkta vektörler sisteminin çalışmasının örnekleri.

Misal.

Dana sistemi vektörleri. Doğrusal bağımlılıkla keşfedin.

Karar.

Vektör C Sıfırdan bu yana, vektörlerin ilk sistemi üçüncü özelliğin erdeminden doğrusal olarak bağımlıdır.

Cevap:

Vektörlerin sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Misal.

Vektörler sistemini doğrusal bir bağımlılıkta keşfedin.

Karar.

Vektör C'nin koordinatlarının, ilgili vektör koordinatlarına eşit olduğuna dikkat etmek zor değildir, yani, yani, yani Bu nedenle, vektörlerin kaynak sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 1. (ortogonal vektörlerin doğrusal bağımsızlığında). Vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımsız olmasına izin verin.

Biz σλ i x i \u003d 0 ile doğrusal bir kombinasyonu yapacağız ve skaler ürününü göz önünde bulunduracağız (x j, σλ i x i) \u003d λ j || x j || 2 \u003d 0, ama || x j || 2 ≠ 0⇒λ j \u003d 0.

Tanım 1. Sistem vektörleri veya (e, e j) \u003d Δ ij - Macketer'ın sembolü, ortonormal (ons) denir.

Tanım 2. Keyfi bir sonsuz boyutlu öklid uzayının keyfi bir elemanı x ve sistemdeki Fourier eleman x yakınındaki unsurların keyfi bir ortonormal sistemi için, tipin resmen bir sonsuz miktarda (satır) Gerçek sayıların λ i, λ i \u003d (x, e i) 'de bir sistemdeki X'li bir element katsayısı olarak adlandırılır.

Yorum Yap. (Doğal olarak, soru bu dizinin yakınsaması hakkında ortaya çıkıyor. Bu sorunu incelemek için, keyfi numarayı n'yı tamir edeceksiniz ve Fourier serisinin N-MU kısmi toplamının neyin ortonormal sistemin ilk N elemanlarının diğer herhangi bir doğrusal kombinasyonundan ayırt edilmesini öğrenirsiniz.)

Teorem 2. Bu Element'den en küçük sapmanın şekli arasında n olan herhangi bir sabit sayı için, bu Euclidean uzayının oranı ile X Elemeli'nden bir N-I kısmi toplamı vardır.

Sistemin ortonormalitesi ve Fourier katsayısının tanımı göz önüne alındığında, kayıt yapabilirsiniz.

Bu ekspresyonun minimumu C i \u003d λ i'de elde edilir, çünkü her zaman sağ tarafında sıfıra kadar negatif bir ilk toplamdır ve C'den kalan terimler bağlı değildir.

Misal. Bir trigonometrik sistem düşünün

tüm fonksiyonların alanında [-π, π] segmentinde Riemann F (x) tarafından entegre edilir. Bunun açık olduğunu doğrulamak kolaydır ve daha sonra F (x) bir Fourier Series.

Yorum Yap. (Trigonometric Fourier serisi genellikle formda yazılır. Sonra )

Ek varsayımlar olmadan sonsuz boyutlu bir öklide alanındaki keyfi, genel olarak konuşursak, bu alanın temeli değildir. Sezgisel bir seviyede, katı tanımlar vermeden, davanın özünü açıklıyoruz. Keyfi bir sonsuz boyutlu öklide uzayında, (E, E, J) \u003d Δ IJ'in bir uskameter sembolü olduğunu düşünüyoruz. Öklid uzayının alt uzayi olalım ve k \u003d m ⊥ - M-M + 'nın M \u003d M + M ⊥ uzayıysa, M'nin alt uzayını, m. Vektör x∈e'nin alt uzayına izdüşümü - vektör ∈M, nerede

Viseli olmayan (kare kalıntısı) H2 \u003d || x- || 'ın x- ||'ü a k'nin ayrışma katsayılarının değerlerini arayacağız. 2 minimum olacak:

h 2 \u003d || x- || 2 \u003d (x-, x -) \u003d (x-σα kek, x-σα kek) \u003d (x, x) -2σα k (x, eK) + (σα kek, σα kek) \u003d || x || 2 -2σα k (x, e k) + σα k 2 + Σ (x, e k) 2 -σ (x, e k) 2 \u003d || x || 2 + Σ (α k - (x, e k)) 2 -σ (x, e k) 2.

Bu ifadenin, önemsiz olan ve α k \u003d (x, e k) 'de a α k \u003d 0'da minimum değeri alacağı açıktır. Sonra ρ min \u003d || x || 2 -Σα K 2 ≥0. Buradan, Bessel Σα K 2'nin eşitsizliğini alıyoruz .| x || 2. Ρ \u003d 0'da vektörlerin ortonormal sistemi (ONS), Steklov (PONS) anlamında tam bir ortonormal sistem denir. Buradan camın eşitliğini alabilirsiniz - parseval σα k 2 \u003d || x || 2 - Cam anlamında tamamlanmış sonsuz boyutlu eklik alanları için "Pythagore's Teoremi". Artık, herhangi bir boşluk alanının, ona yönelik bir dizi fourier formunda sunmanın tek yolu olmasını kanıtlamak gerekecektir. Çelenk-parcell'in yeterli konaklamasına sahip olmak gerekir. Vectors pic \u003d ""\u003e ONB formları? Vektörler sistemi satırın kısmi toplamı için düşünün Sonra Yakınsak bir satırın kuyruğu olarak. Böylece, vektörlerin sistemi pons ve Formlar ONB'dir.

Misal. Trigonometrik sistem

riemann F (x) üzerinde entegre tüm fonksiyonların uzayında, [-π, π] segmenti, PONNS ve Forms ONB'dir.

Aşağıdakiler, çeşitli doğrusal bağımlılık kriterleri ve buna göre vektörler sistemlerinin doğrusal bağımsızlığını sunar.

Teorem. (Vektörlerin doğrusal bağımlılığının gerekli ve yeterli durumu.)

Vektörlerin sistemi bağımlıdır ve yalnızca sistem vektörlerinden biri diğer sistemden doğrusal olarak ifade edilirse.

Kanıt. Gereklilik. Sistemin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Ardından, tanım gereği, sıfır vektörü temsil eder, yani, yani. Bu vektör sisteminin önemsiz bir kombinasyonu sıfır vektöre eşittir:

bu lineer kombinasyon katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığı yerlerde. İzin vermek , .

Önceki eşitliğin her iki bölümünü bu sıfır olmayan katsayısına böldük (yani çarpın:

Belirtir:, nerede.

şunlar. Sistemin vektörlerinden biri, diğer sistemden doğrusal olarak ifade edilir, Ch.T.D.

Yeterlilik. Sistem vektörlerinden birinin diğer vektör vektörleri ile doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

Vektörü doğru eşitlikte aktarıyoruz:

Vektörle olan katsayısı eşit olduğundan, o zaman sıfır vektörlerin sıfır sisteminin önemsiz bir gösterimine sahibiz, bu da bu vektörler sistemin doğrusal olarak bağımlı, BT.D.

Teoremi kanıtlandı.

Corollary.

1. Vektör uzay vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır ve yalnızca sistem vektörlerinin hiçbiri bu sistemin diğer vektör vektörlerinde doğrusal olarak ifade edilirse.

2. Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren vektörlerin sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

1) İhtiyaç. Sistemin doğrusal olarak bağımsız olmasına izin verin. Diyelim ki iğrenç ve diğer vektör vektörlerinde doğrusal olarak ifade edilen bir sistem vektörü var. Ardından, teorem tarafından, sistem doğrusal olarak bağımlıdır ve çelişkiye geldik.

Yeterlilik. Sistem vektörlerinin hiçbiri başkalarıyla ifade edilmemesine izin verin. Karşıtı varsayalım. Sistemin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak teoremden bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir vektör sistemi olduğunu ve yine çelişkiye geldiğini izler.

2a) Sistemin sıfır bir vektör içermesine izin verin. Kesinlikle, vektör: O zaman eşitlik açıktır

şunlar. Sistemin vektörlerinden biri, diğer vektör vektörlerinde doğrusal olarak ifade edilir. Böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu teoremden takip ediyor, BT.D.

Bu gerçeğin doğrudan vektörlerin doğrusal olarak bağımlı sisteminden kanıtlanabileceğini unutmayın.

Çünkü bir sonraki eşitlik açıktır

Bu, sıfır vektörün önemsiz olmayan bir gösterimidir; bu, sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olmasına izin verin. İzin ver. O zaman eşitlik açıktır

Şunlar. İlk vektör, aynı sistemin kalan vektörleri boyunca doğrusal olarak ifade edilir. Teorem'den bu sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğunu, Ch.T.D.

Önceki kişiye benzer şekilde, bu ifade doğrudan doğrusal olarak bağımlı sistemin belirlenmesi de kanıtlanabilir. Bu sistem sıfır vektörünü temsil eder.

sistemin doğrusal bağımlılığı nerededir.

Teoremi kanıtlandı.

Corollary. Tek bir vektörden oluşan sistem doğrusal olarak bağımsızdır ve sadece bu vektör sıfırdırsa.

OPR. SSET W, doğrusal alan ve elemanı denir. - eğer eğer:

* Yasa (+) kedi üzerinde ayarlanmıştır. W'den herhangi bir iki element, öğe denir. onların toplamı [x + y]

* Kanun, kedine göre (A sayısına göre *) verilir. W ve A'dan x öğesi, bir [AH] 'de X ürünü olarak adlandırılan W'DEN öğeyi karşılaştırılır;

* Yapılmış

aşağıdaki şartlar (veya aksiyomlar):

Trail C1. Sıfır Vektör (CTV 0 1 ve 0 2. A3: 0 2 + 0 1 \u003d 0 2 ve 0 1 + 0 2 \u003d 0 1. A1 0 1 + 0 2 \u003d 0 2 + 0 1 \u003d\u003e 0 1 \u003d 0 ile 2.)

c2. . (CTV, A4)

c3. 0 dava (A7)

c4. A (sayı) * 0 \u003d 0. (A6, C3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 durum, karşısında, yani. (-1) x \u003d -x. (A5, A6)

c6. W'de, çıkarma tespit edilir: X, X + A \u003d B, X + A \u003d B, X + B - A ile gösterilirse, B ve A vektörleri arasındaki fark denir.

Numara n. aranan boyut Lin. Pr-a. L. eğer varsa L. Bir sistem var n. Lin. içinde Vektörler ve herhangi bir sistem n.+1 Vektörler - Lin. bağımlı. Loş L.= n.. Uzay L. n-boyutlu olarak adlandırılır.

N Lin'in emri emri. içinde Vektörler n Boyutsal Bağımsızlık. Uzay - esas

Teorem. Her x vektör, Lin.D olarak tek yönünde sunulabilir.

(1) - N boyutlu LIN baz edelim. Pr-v. V.. Doğrusal olarak bağımsız vektörlerin bir kombinasyonu. Vektörlerin bütünlüğü Lin olacak. bağımlı, çünkü onlara n +.1.

Şunlar. Aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar var, kimsenin (aksi takdirde (1) doğrusal olarak bağımlıdır).

Sonra vektörün ayrışması nerede x.baz (1).

Bu ifade benzersizdir, çünkü Başka bir ifade varsa (**)

(*) Eşitlikten (**) çıktı,

teslim almak

Çünkü Doğrusal olarak bağımsız, sonra. Ctd

Teorem. Eğer - lin. Boşluk V ve her biri X'ten gelen bağımsız vektör çizimleri, bu vektörler vsalyayı oluşturur.

Rıhtım: (1) -L. Önemli değil \u003d\u003e Dock, lin için kalır. Bağımlı. SL. Her vektör A (1) ile ifade edilir (1):, aşağıdakiler, aşağıdakiler arasında, sütunlar arasında daha doğrusal olmayan bağımsız değildir, ancak m\u003e n \u003d\u003e M sütunları doğrusal olarak bağımlı değildir \u003d\u003e S \u003d 1, n

Bunlar. Vektörler Lin. Bağımlı

Bu, v n-loşça ve (1) esasıdır.

№4Ord.Subset l lin. Pr-v ve lin olarak adlandırılır. Geri almak Bu boşluk V işleminde nispeten belirlenmişse (+) ve (* a) alt uzayı l doğrusal bir alandır.

Teorem, V SET L vektörlerinin L vektörlerinin Lindir. Bu alanın alt uzayı yapılır

(CONS) LET (1) ve (2) yerine getirildiğinden, Lin'in tüm aksiyomlarının yerine getirildiğini kanıtlamak için kalır. pr-va.

(-X): -x + x \u003d 0 D.. A (X + Y) \u003d AH + AY;

(AA-B) ve (DTS), V Kanıt (B) için adaletten takip eder.

(Gereklilik) Lin olalım. Bu alanın alt uzayı, daha sonra (1) ve (2), Lin tanımı nedeniyle gerçekleştirilir. Pr-v.

Ord.Her türlü lin toplamı. Bazı elementlerin kombinasyonları (x j) lin. PR-V, doğrusal bir kabuk denir

Teorem Tüm lin rastgele kümesi. V vector v eylem ile kombinasyonları. Coef lindir. Germe V. (Doğrusal kabuk bu lin vektörleri sistemi. Ave. bunun Lin.Phodrr'dir. )

Up. Lin'in alt kümesi L vektörlerini kullanın. Pr-v ve lin olarak adlandırılır. Aşağıdaki alt uzay:

a) L gelen herhangi bir vektörün toplamı L'ye aittir.

b) Her bir vektörün herhangi bir sayı başına l'ün ürünü L'ye aittir.

İki alt uzayın toplamıL. Yine alt uzayL.

1) Y 1 + Y2 (L 1 + L 2) izin verin<=> Y 1 \u003d x 1 + x 2, y2 \u003d x '1 + x' 2, burada (x 1, x '1) l 1, (x 2, x' 2) l 2. Y 1 + y2 \u003d (x 1 + x 2) + (x '1 + x' 2) \u003d (x 1 + x '1) + (x 2 + x' 2), burada (x 1 + x '1 ) L 1, (x 2 + x '2) l 2 \u003d\u003e Doğrusal alt uzayın ilk durumu gerçekleştirilir.

aY 1 \u003d AX 1 + AX \u200b\u200b2, (AH 1) L 1, (AH 2) L 2 \u003d\u003e. (Y 1 + Y2) (L 1 + L 2), (LY 1) (L 1 + L 2) \u003d\u003e Koşullar \u003d\u003e L 1 + L 2 - Doğrusal alt uzay.

İki alttan geçmek.L. 1 veL. 2 Lin. Pr-v.L. Ayrıca altçı da. bu alanın.

İki keyfi vektör düşünün x.,y.alt uzayların kesişimine ve iki keyfi sayıya ait a.,b.:.

ODR tarafından. Ayar Setleri:

\u003d\u003e Doğrusal alanın alt uzayını belirlemek için: ,.

T. K. vektör balta. + tarafından Aittir L. 1 ve ayarla L. 2, sonra, tanımı ve bu setlerin kesişimi ile aittir. Böylece:

Up. VS, V'nin altlandırıcısının doğrudan toplamıdır. İf ve b) bu \u200b\u200bayrıştırma sadece

b ") B) B) B 'ile eşdeğer olduğunu gösteriyoruz)

Ne zaman b) sağ b ')

Her türlü (M., N.) dır-dir sadece sıfır vektörle kesişir

∃ z ∈

Müsabaka. Rota.L.=

çelişki

Teoremi (*) Üsleri birleştirmek için gerekli ve yeterlidir ( mekanın temelini oluşturdu

(İsteğe bağlı) (*) Ve vektörlerin - alt kümelerin temelleri olsun. ve bir yazılımın ayrışması var; X, (Temel olduğunu, her şeye 0 0 \u003d 0 + ... + 0 içeren, 0 0 \u003d 0 + ... + 0 içeren, 0 0 \u003d 0 + ... + 0'a sahip olmalarını sağlamak için gerekli olduğunu) temel alınmıştır. \u003e Lin nedeniyle. Bazın bağımsızlığı \u003d\u003e (- Temel

(Maliyet.) (L birliğinin temelini oluştururlar. Bozunma (**) En az bir ayrışma var. Benzersizlik (*) \u003d\u003e benzersizliği (**)

Yorum Yap. Doğrudan miktarın boyutunun, alt uzayın boyutlarının toplamına eşittir.

Dejeneratif olmayan herhangi bir kuadratik matris, bir temelden diğerine geçiş matrisi olarak hizmet verebilir.

Bir ölçüm doğrusal boşluk V ile iki üs olduğunu varsayalım.

(1) \u003d a, elementler * ve ** sayılar değil, ancak sayısal matris üzerindeki belirli işlemleri bu tür satırlara yayacağız.

Çünkü Aksi takdirde, vektörler ** lin olurdu. Bağımlı

Geri.Ardından sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır \u003d\u003e Form esasıdır

Koordinatlar ve ilişki ile ilişkili nerede geçiş matrisinin unsurları

"Eski" temelinin "yeni" temellerinin ayrışmasını bilmesine izin verin

O zaman eşitlik adil

Ancak lineer bağımsız elemanların doğrusal bir kombinasyonu 0 ila\u003e

Temel Doğrusal Bağımlılık Teoremi

Eğer bir (*) Doğrusal olarak ifade edilir (**) sonran.<= m.

M ile indüksiyonu kanıtlıyoruz

m \u003d 1: Sistem (*) 0 ve LIN içerir. Kafa imkansız

m \u003d k-1 için doğru olalım

m \u003d k için kanıtlıyoruz

bunu ortaya çıkabilir 1), yani. BF (1) LinCBB'dir. Lin. B-Mark (2) Sistem (1) Lin.Nozav., Çünkü Lin.nozav'ın bir parçası. Sistemler (*). Çünkü Sistem (2) yalnızca K-1, vektörler, sonra indüksiyon varsayımıyla, K + 1 elde ediyoruz