Lopital çevrimiçi kuralındaki sınırı hesaplayın. Farklı hesap kullanmadan fonksiyonların sınırlarını nasıl hesaplayabilirsiniz. Yalnızca lopital kuralları uygulayın ve sonra kararı gör

Sitenin bölümleri

Editörün Seçimi:

Reklâm

ana - Sviyash Alexander

Lopital kural

Tanım 1.

Lopital Kural:bazı koşullar altında, fonksiyonların fonksiyonunun sınırı, değişkenin bir $ değerinin değişkeni, türevlerinin ilişkilerinin ilişkilerinin sınırlarına eşittir, $ x $, ayrıca $ a $ arayarak:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f (x)) (g (x)) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f "( x)) (g "(x)) $

Lopital kuralı, bir mektupta lopital anlatan İsveçli matematikçi Johann Bernoulli tarafından açıldı. Lopital, bu kuralı ilk ders kitabında, 1696'daki diferansiyel hesapta yazarlığı ile yayınladı.

Lopital kural, aşağıdaki formun belirsizliklerine azaltılan ifadeler için kullanılır:

$ \\ Frac (0) (0) \\ BAŞLAT (Dizi) (CCC) () & () & (\\ Frac (\\ Infty) (\\ infty) \\ end (dizi) $

Sıfır yerine, ilk ifadede sonsuz küçük bir değer olabilir.

Genel olarak, lopital kural, numeratörde ve payda aynı anda sıfır veya sonsuzucu ise kullanılabilir.

Lopital kuralın kullanılabileceği koşullar:

$ F (x) $ ve $ g (x) fonksiyonlarının sınırlarının birbirleriyle bir $ enerji verileceği ve sıfıra veya sonsuzluğa eğilecek bir durum: $ \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ A) f (x) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ ila a) g (x) \u003d 0 $ veya $ \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ ila a) f (x) \u003d \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) g (x) \u003d \\ infty $;
$ F (x) $ ve $ g (x) $ 'ın türevlerini $ A $ civarında elde etmek mümkündür;
Fonksiyonun türevi $ g (x) $ sıfır $ g "(x) \\ n $ 0 $ a civarında $ g" (x) \\ ni 0 $;
Türevlerinin Türevlerinin Türevlerinin Oranları $ f (x) $ ve $ g (x) $, rekor olarak $ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f "(x)) (G "(x)) $ var.

Lopital kuralların kanıtı:

$ F (x) $ ve $ g (x) $ 'in fonksiyonlarının verilmesine izin verin ve sınırların eşitliği gözlenir:
$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a + 0) f (x) \u003d \\ Mathop (\\ Lim) \\ limits_ (x \\ a + 0) g (x) \u003d 0 $.
$ A $ 'de geliştirilen fonksiyonlar. Çünkü bu nokta adil bir durum olacaktır:
$ \\ Frac (f (x)) (g (x)) \u003d \\ frac (f (x) -f (a)) (g (x) -g (a)) \u003d \\ frac (f "(c)) (G "(c)) $.
$ C $ değeri $ x $, ancak $ x \\ a + 0 $, sonra $ C \\ a $ a $.
$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a + 0) \\ frac (f (x)) (g (x)) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (C \\ a + 0) \\ frac (f "(c)) (g" (c)) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to a + 0) \\ frac (f "(c)) (g" (c)) $.

Lopital kural kullanarak çözeltiyi hesaplamak için algoritma

Belirsizlik üzerindeki tüm ifadenin kontrol edilmesi.
Yukarıda belirtilen tüm koşulları, lopital kuralın daha önce kullanılmasından önce kontrol edin.
Türev fonksiyonunun arzusunu 0 $ olarak kontrol edin.
Belirsizlik için tekrar kontrol edin.

Örnek numara 1:

Bir sınır bul:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (x ^ (2) + 5x) (3x) $

Karar:

F (x) $ fonksiyonunun sınırı, $ g (x) $ 'a sınırına eşittir ve her ikisi de sıfır: $ \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ ila a) f (x) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to 0) (x ^ (2) + 5x) \u003d 0 $; $ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) g (x) \u003d \\ Mathop (\\ l) \\ Limits_ (x \\ to 0) (3x) \u003d 0 $
$ G "(x) \u003d 3 \\ n $ 0 $ A $ civarında
$ \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f "(x)) (g" (x)) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (2x +5) (3) $

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (x ^ (2) + 5x) (3x) \u003d \\ Sol \\ Langle \\ Frac (0) (0) \\ sağ \\ Rangle \u003d \\ Mathop ( \\ Lim) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sol (x ^ (2) + 5x \\ sağ) ") (\\ Sol (3x \\ sağ)") \u003d \\ MATHOP (\\ LIM) \\ LIMITS_ (x \\ to 0) \\ frac (2x + 5) (3) \u003d \\ frac (0 + 5) (3) \u003d \\ frac (5) (3) $

Örnek numara:

Bir sınır bul:

$ \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) (x ^ (3) -x) $

Karar:

Lopital kuralın uygulanabilirlik koşullarını kontrol edin:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) f (x) \u003d \\ Mathop (\\ Lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) \u003d \\ infty $; $ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) g (x) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (x ^ (3) -x) \u003d \\ infty $
$ f (x) $ ve $ g (x) $ A $ çevresinde $ diferansite
$ G "(x) \u003d 6 \\ n $ 0 $ a $ mahallesinde
$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f "(x)) (g" (x)) \u003d \\ Mathop (\\ Lim) \\ Limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac ( 3x ^ (2) -6x + 2) (3x ^ (2) -1) $

Türevini yazıyoruz ve fonksiyonun sınırını buluruz:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) (x ^ (3) -x) \u003d \\ sol \\ lagle \\ frac ( \\ İnfty) (\\ infty) \\ sağ \\ rangle \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (\\ sol (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x \\ sağ) " ) (\\ sol (x ^ (3) -x \\ sağ) ") \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3x ^ (2) -6x + 2) (3x ^ ( 2) -1) \u003d \\ sol \\ \\ lagle \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ sağ \\ rangla $

Belirsizlikten kurtulana kadar türevin hesaplanmasını tekrar ediyoruz:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (\\ sol (3x ^ (2) -6x + 2 \\ sağ) ") (\\ Sol (3x ^ (2) -1 \\ sağ) ") \u003d \\ MATHOP (\\ LIM) \\ LIMITS_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (6x-6) (6x) \u003d \\ sol \\ legle \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ sağ \\ rangle \u003d \\ Mathop (\\ Lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (\\ sol (6x-6 \\ sağ) ") (\\ sol (6x \\ sağ)") \u003d \\ frac (6) (6) \u003d 1 $

Örnek numarası 3:

Bir sınır bul:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sin 5x) (x) $

Karar:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sin 5x) (x) \u003d \\ sol \\ lagle \\ frac (0) (0) \\ sağ \\ rangla \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ Limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sola (\\ sin 5x \\ sağ) ") (\\ sol (x \\ sağ)") \u003d \\ MATHOP (\\ LIM) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (5 \\ Cos 5x) (1) \u003d 5 \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to 0) \\ cos 5x \u003d 5 $

Örnek sayı 4:

Bir sınır bul:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (1 + x ^ (2)) ^ (1 / x) $

Karar:

İşlevi Programlamak:

$ \\ ln y \u003d \\ frac (1) (x) \\ ln (1 + x ^ (2)) \u003d \\ frac (\\ ln (1 + x ^ (2))) (x) $

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (\\ ln (1 + x ^ (2))) (x) \u003d \\ Mathop (\\ lim) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ Frac (\\ sol [\\ ln (1 + x ^ (2)) \\ sağ] ") (x") \u003d \\ Mathop (\\ Lim) \\ Limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (\\ frac (2x) (1 + x ^ (2))) (1) \u003d $

$ Ln (y) fonksiyon $ sürekli olduğundan, biz alırız:

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (\\ ln y) \u003d \\ ln (\\ mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) y) $

Dolayısıyla

$ \\ ln (\\ mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) y) \u003d $

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) y \u003d 1 $

$ \\ Mathop (\\ l) \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (1 + x ^ (2)) ^ (1 / x) \u003d 1 $

Sınırlar ve kararlarıyla başa çıkmaya başladık. Sıcak yollara devam edeceğiz ve sınırların çözümü ile ilgileneceğiz. lopital kuralına göre. Bu basit kural güçleri, öğretmenlerin en yüksek matematik ve Matanaliz üzerindeki kontrolün örneklerinde kullanılmasını sevdikleri sinsi ve karmaşık tuzaklardan çıkmanıza yardımcı olur. Lopital kuralın kararı basit ve hızlıdır. Asıl şey farklılaşabilmektir.

Lopital Kural: Tarih ve Tanım

Aslında, bu bir lopital kural değil, kuraldır. Lopital Bernoulli. İsviçre matematiğini formüle etti Johann Bernoulli, ve Fransız Guyom lopal İlk defa, öğreticisinde şanlı olarak sonsuz küçük bir şekilde yayınlandı 1696 yıl. İnsanların olmasından önce belirsizliğin açıklanmasıyla sınırları nasıl çözmeleri gerektiğini hayal edin? Biz değiliz.

Lopital kuralını bozmaya başlamadan önce, matematiğin sınırları ve çözümleri yöntemleriyle ilgili tanıtım makalesini okumanızı öneririz. Genellikle formülasyon görevlerde bulunur: Lopital kuralı kullanmadan limiti bulun. Bu konuda size yardımcı olacak resepsiyonlar hakkında, makalemizde de okuyun.

İki fonksiyonun bir kısmıyla uğraşıyorsanız, hazır olun: yakında 0/0 veya sonsuzluk / sonsuzluğun belirsizliği ile görüşürüz. Bu ne anlama geliyor? İfadenin sayısındaki ve paydaşında, sıfır veya sonsuzluk için çalışıyorlar. Böyle bir sınırla ne yapmalı, ilk bakışta, tamamen anlaşılmaz. Bununla birlikte, eğer lopital kuralları uygularsanız ve biraz düşünürseniz, her şey yerinde olur.

Ancak Lopital Bernoulli kuralını formüle ediyoruz. Tamamen doğru olmak, teorem tarafından ifade edilir. Lopital Kural, Tanım:

Noktanın mahallesinde iki fonksiyon farklılaşırsa x \u003d A. Bu noktada sıfıra bakın ve bu fonksiyonların türevlerinin ilişkisinin bir sınırı vardır, o zaman h. arayan k. fakat Fonksiyonların kendilerini türev oranlarının sınırına eşit olan ilişkilerinin bir sınırı vardır.

Formülü yazıyoruz ve her şey hemen daha kolay olacak. Lopital kural, formül:

Sorunun pratik tarafı ile ilgilendiğimizden bu nedenle, bu teoremin kanıtına yol açmayacağız. Word için bize ya da inanmanız ya da herhangi bir ders kitabında matematiksel analizde bulmanız ve teoremin doğru olduğundan emin olmanız gerekir.

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi% 10 indirim var her türlü iş

Belirsizliklerin lopital kuralındaki açıklanması

Hangi belirsizliklerin lopital kurallara yardımcı olabileceği açıklamada? Daha önce esas olarak belirsizlik hakkında konuştuk 0/0 . Ancak, bu buluşabileceğiniz tek belirsizlik bu değildir. İşte diğer belirsizlikler:

Bu belirsizliklerin 0/0 veya sonsuzluğa / sonsuzluğa verilebileceği dönüşümleri göz önünde bulundurun. Dönüşümden sonra, Lopital Bernoulli kuralı kullanılabilir ve fındık gibi örneklere tıklayabilir.

Tür belirsizlik sonsuzluk / Sonsuzluk türün belirsizliğine iniyor 0/0 Basit bir dönüşüm:

Biri sıfıra çaba gösteren ilk ve ikinci sonsuzluğa kadar olan iki işlevin bir ürünü olmasına izin verin. Dönüşümü kullanıyoruz ve sıfır ve sonsuzluğun ürünü belirsizliğe dönüşüyor. 0/0 :

Belirsizlik türü olan sınırları bulmak için sonsuzluk eksi sonsuzluk Aşağıdaki dönüşümü kullanıyoruz, belirsizliğe yol açıyoruz 0/0 :

Lopital kuralını kullanmak için türevleri alabilmeniz gerekir. Bu, örnekler çözülürken, karmaşık fonksiyonların türevlerini hesaplama kurallarının yanı sıra, türev temel fonksiyonların tablosudur:

Şimdi örneklere dönük.

Örnek 1.

Lopital kuralına göre sınırı bulun:

Örnek 2.

Lopital kuralını kullanarak hesaplayın:

Önemli an! İkinci ve müteakip türetilmiş fonksiyonların sınırı varsa h. arayan k. fakat , Lopital kural birkaç kez uygulanabilir.

Sınırı buluruz ( n. - doğal sayı). Bunu yapmak için, lopital kuralı uygulayacağız n. zaman:

Matematiksel analizin geliştirilmesinde size iyi şanslar diliyorum. Ve lopital kuralını kullanarak bir sınır bulmanız gerekirse, lopital kuralına göre bir makale yazın, diferansiyel denklemin köklerini hesaplar veya hatta atalet tensörü hesaplamak, yazarlarımızla iletişim kurun. Çözümün inceliklerini anlamaya memnuniyetle yardımcı olacaklar.

Sınırları çözmek için çeşitli çözümler ve formüller vardır. Ancak en hızlı ve en kolay yol, evrensel de lopital yöntemdir. Sınırları hesaplamak için bu harika basit yolunu başarıyla kullanmak için, çeşitli fonksiyonların türevlerini bulabilmek yeterlidir. Teori ile başlayalım.

Lopital kuralı formüle eder. Eğer bir:

$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to a) f (x) \u003d \\ l \\ limits_ (x \\ to a) g (x) \u003d 0 \\ Metin (OR) \\ Infty $
$ F "(a) \\ metin (s) g" (a) $ var
$ G "(x) \\ NEQ0 $
$ \\ L \\ limits_ (x \\ a) \\ frac (f (x)) (g (x)) var

sonra $ \\ l \\ limits_ (x \\ to a) \\ frac (f (x) (g (x)) \u003d \\ Lim \\ limits_ (x \\ ila a) \\ frac (f "(x)) (G "(x)) $

X $ 'ı sınırı değil
$ \\ Frac (0) (0) \\ Metin (OR) \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ bulunursa, numberatör ve payderinin bir türevini buldu.
Nihai limitte $ x $ 'lık bir noktayı değiştiriyoruz ve hesaplıyoruz. Belirsizlik elde edilirse, öğeleri 2 ve 3'ü tekrarlayın.

Çözüm örnekleri

Örnek 1.
Lopital kuralındaki sınırı çözün: $ \\ l \\ limits_ (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) (x ^ 3 + x + 2) $
Karar
$$ \\ lim \\ limits_ (x ^ a -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x ^ 3 + x + 2) \u003d \\ frac (0) (0) \u003d $$ Belirsizliğin $ \\ frac (0) (0) $ olduğunu görüyoruz, xs yerine $ x \u003d -1 $ 'ı değiştirirsek ve bu, formülü sınırı hesaplamak için gerekli olan ilk sinyaldir. . Kullanıyoruz: $$ \u003d \\ Lim \\ Limits_ (x \\ to -1) \\ frac ((x ^ 2-1) ") ((x ^ 3 + x + 2)") \u003d $$$$ \u003d \\ Lim \\ limits_ ( x \\ to -1) \\ frac (2x) (3x ^ 2 + 1) \u003d $$ Son limitte $ x \u003d -1 $ ikame sınırını hesaplamak için tekrar deneyeceğiz, biz: $$ \u003d \\ Frac (2 \\ CDOT (-1)) (3 \\ CDOT (-1) ^ 2 + 1) \u003d \\ Frac (-2) (4) \u003d - \\ Frac (1) (2) $$ Görevinizi çözmek imkansız ise, bize gönderin. Detaylı bir karar vereceğiz. Hesaplama ve bilgi öğrenme kursu ile tanışabilirsiniz. Bu, öğretmende zamanında yardımcı olacaktır!
Cevap
$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x ^ 3 + x + 2) \u003d - \\ frac (1) (2) $$

Örnek 4.
Lopital kuralını kullanarak sınırı hesaplayın: $ \\ LIM \\ LIMITS_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sin 2x-e ^ (5x) +1) (x- \\ cos x + 1) $
Karar
$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sin 2x-e ^ (5x) +1) (x- \\ cos x + 1) \u003d \\ frac (0) (0) \u003d $$ $$ \u003d \\ Lim \\ Limits_ (x \\ to 0) \\ frac ((\\ sin 2x-e ^ (5x) +1) ") ((x- \\ cos x + 1)") \u003d $$ $$ \u003d \\ Lim \\ Limits_ (x \\ to 0) \\ frac ((\\ sin 2x) "- (e ^ (5x))" + (1) ") ((x)" - (\\ cos x) "+ (1) ") \u003d $$ $$ \u003d \\ Lim \\ Limits_ (x \\ to 0) \\ frac (2 \\ cos 2x-5e ^ (5x)) (1+ \\ SIN X) \u003d \\ Frac (2 \\ cos0-5e ^ 0) (1+ \\ SIN 0) \u003d $$ $$ \u003d \\ Frac (2 \\ CDOT 1-5 \\ CDOT 1) (1 + 0) \u003d \\ Frac (-3) (1) \u003d -3 $$
Cevap
$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to 0) \\ frac (\\ sin 2x-e ^ (5x) +1) (x- \\ cos x + 1) \u003d -3 $$

Özetleyelim: Lopital kural, limitleri hesaplarken $ \\ frac (0) (0) $ ve $ \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ 'nın belirsizliğini ifşa edebileceğiniz bir yöntem ve yöntemidir. Özü, fonksiyonların fonksiyonunun sınırının bu fonksiyonlardan türevlerin ilişkilerinin sınırına eşit olmasıdır.

Lopital Kural ve Belirsizlik Açıklamaları
Türlerin belirsizliğinin "sıfıra sıfır bölün" ve "sonsuzluğa paylaşmak için sonsuzluğun açıklanması"
"Sıfır Çarpma Tipine" Tipinin Belirsizliğinin Açıklanması
"Sıfır derecesine", "sıfır derecesine kadar sıfır", "sıfır derecesine" ve "sonsuzluğun derecesine kadar" türlerinin belirsizliğinin açıklanması
"Infinity eksi sonsuzluk" formunun belirsizliğinin açıklanması

Lopital Kural ve Belirsizlik Açıklamaları

Tip 0/0 veya ∞ / ∞ ve diğer bazı belirsizliklerin belirsizliğinin açıklanması, lopital kural kullanılarak büyük ölçüde basitleştirilir.

Öz lopital kurallar İki fonksiyonun ilişkisi sınırının hesaplanmasının, 0/0 veya ∞ / ∞ türlerinin belirsizliğini verirse, iki fonksiyonun oranının sınırı, türevlerinin sınırları ile değiştirilebilir ve bu nedenle , belirli bir sonuç elde etmek için.

Genel olarak, lopital kuralları altında, aşağıdaki bir ifadeyle iletilebilecek birkaç teorem tarafından anlaşılmaktadır.

Lopital kural. İşlevlerse f.(x.) BEN. g.(x.) Farklı olarak, noktaların mahallesinde, meselenin kendisi olabilir ve bu mahallede olabilir.

(1)

Başka bir deyişle, 0/0 veya ∞ / ∞ türlerinin belirsizliği için, iki fonksiyonun derecelendirmesi, ikincisi varsa (sonlu veya sonsuz) ise, türevlerinin ilişkilerinin sınırlarına eşittir.

Eşitlik (1) 'de, değişkenin aranan değeri, sonlu bir sayı veya sonsuzluk veya eksi sonsuzluğu olabilir.

0/0 ve ∞ / ∞ türlerinin belirsizliği diğer türlere indirgenebilir.

Türlerin belirsizliğinin "sıfıra sıfır bölün" ve "sonsuzluğa paylaşmak için sonsuzluğun açıklanması"

Örnek 1. Hesaplamak

x.\u003d 2, Tip 0/0 belirsizliğine yol açar. Bu nedenle, lopital kural uygulanır:

Örnek 2. Hesaplamak

Karar. Belirli bir değer fonksiyonunda değiştirme x.

Örnek 3. Hesaplamak

Karar. Belirli bir değer fonksiyonunda değiştirme x.\u003d 0, 0/0 tipinin belirsizliğine yol açar. Bu nedenle, lopital kural uygulanır:

Örnek 4. Hesaplamak

Karar. ICA'nın değerinin belirtilen fonksiyonundaki ikame, sonsuzluğun arzına eşittir. / ∞ / ∞ formunun belirsizliğine yol açar. Bu nedenle, lopital kural uygulanır:

Yorum Yap. Türev oranlarının sınırı, 0/0 veya ∞ / ∞ tipinin belirsizliği ise, lopital kural tekrar uygulanabilir, yani. İkinci türevlerin, vb ilişkinin sınırına gidin.

Örnek 5.Hesaplamak

Karar. Bulmak

Burada, lopital kural iki kez uygulandı, çünkü fonksiyonların fonksiyonunun limiti ve türev oranlarının sınırı ∞ / ∞ formunun belirsizliğini verir.

Örnek 6.Hesaplamak

Lopital kural

Lopital kural Bir tür belirsizliğe sahip sınırları hesaplamak için bir yöntemdir. İzin vermek a. Bazı sonlu gerçek sayı veya sonsuzluğa eşittir.

Lopital kural, belirsizliklere de uygulanabilir. . İlk iki belirsizlik, cebirsel dönüşümlerin türüne veya kullanılmasına indirgenebilir. Ve belirsizlikler, ilişkinin yardımıyla türe indirgenmiştir.

Lopital kural da tek taraflı limitler için de adil.

Örnek 1.

Sınırı hesaplayın.

Karar.

Numarator ve küçük sayıyı ayırt etmek, limit değerini bulun:

Örnek 2.

Sınırı hesaplayın.

Karar.

Doğrudan ikame türünün belirsizliğine yol açtığından, lopital kuralı kullanıyoruz.

Örnek 3.

Sınırı hesapla .

Karar.

Burada tür belirsizlik ile uğraşıyoruz. Basit dönüşümlerden sonra, biz

Örnek 4.

Bir sınır bul.

Karar.

Lopital kuralın kullanılması, kayıt yapabilirsiniz

Örnek 5.

Bir sınır bul.

Karar.

Burada tür belirsizlikle tanışıyoruz. Belirtir. Logaritming'den sonra, biz alırız

Sırasıyla,

Örnek 6.

15. Lopital Kurallar *

İsviçre matematikçi Johann I Bernoulli (1667-1748) Basel Üniversitesi'nin başarılı bir sonundan sonra, Avrupa'da seyahat eden 1690'da Paris'e geliyor. Filozof Nikola Malbransh (1638-1715) edebi salonunda Johann, Fransız matematikçi Marquis Rehberi Francois Antoine de Lopitale (1661-1704) karşılar. Civar konuşmada, lopital ne kadar kolay, "sanki oynuyorsa," Yunets Bernoulli, yeni bir hesap için zor görevleri çözdü. Bu nedenle, lopital birkaç dersi okumasını istedi. Lopital sözlü konuşmaları beğendi ve iyi bir ücret karşılığında yazılı materyal almaya başladı. Belirsizliklerin açıklanması için şimdi iyi bilinen lopital kuralın Johann tarafından kendisine de devredildiği unutmayın. Zaten 1696'da, ünlü lopital tez, "çizgilerin eğrilerini anlamak için sonsuz küçüklerin analizine giriş" ortaya çıktı. Johann I Bernoulli tarafından belirtilen kursun ikinci kısmı sadece 1742'de yayınlandı ve "integraller ve diğerleri için matematiksel dersler; Ünlü Hastane Marquis için yazılmış; Yıl 1691-1692. 1921'de, Orijinalleri 1691-1692'de Lopital'e devredildiği El Johann I Bernoulli tarafından yazılmış derslerin el yazısı kopyaları keşfedildi. Bunlardan, bilim adamları beklenmedik bir şekilde "analizinde" Loptal'ın neredeyse genç öğretmeninin derslerinden çekilmediğini keşfetti.

Teorem (cauchy). Fonksiyonlar ve sürekli olarak açık, açıktır. Sonra:

Kanıt.Bir fonksiyon düşünün

Böylece, rulo teoreminin tüm koşullarının yapıldığını seçin, yani. .

Rulo teoremi var:

İlk lopital kuralı

Tanım. İşlevlerin sürekli olması durumunda, farklıdır ve. İzin vermek . Sonra, Tutum'un türlerin belirsizliğini temsil ettiğini söylüyorlar.

Teorem.

Cauchy teoremini segmentte uygulayın. Var:

ve bu demek

Bunun anlamı şudur ki .

Sonsuzca durumunda, eşitsizlik (1) değiştirilir

İşarete bağlı olarak. Aksi takdirde, ispat değişmez.

İkinci lopital kuralı

Tanım. İşlevler, sürekli ve diferansiyelsiz olsun ve. İzin vermek . Sonra, Tutum'un türlerin belirsizliğini temsil ettiğini söylüyorlar.

Teorem. Belirtilen koşullar altında varsa

Kanıt.Kesinlikle izin ver. Seçim: Aralıkta eşitsizlik gerçekleştirilir

İşlevi durumdan tanımlarız

aT. Cauchy teoremi segmentine uygulayın. Bunu anladık:

Kimin için

Yeterli olmadığı gibi, o zaman

Ne zaman, eşitsizlik (2) değiştirildiği durumlarda

ve eşitsizlik (4) - eşitsizlik için

bir kuvvete yakın bir yere sahip olmak (3).

Dava benzer.

Oku:

Noktadan Noktadan Uzaklık: Formüller, Örnekler, Çözümler Detaylı bir kararla her türlü sınırın çözümü Kesitli atalet anları Nokta ile düzlem, direkt ve düzlem arasındaki mesafenin, uçaklar ve çapraz yaşadığı düzlük arasındaki mesafeyi belirleme Nokta ile düzlem, direkt ve düzlem arasındaki mesafenin, uçaklar ve çapraz yaşadığı düzlük arasındaki mesafeyi belirleme

Oku: