Venna çizelgeleri - Mantıksal ve matematiksel teorileri ve formüllerini görevlendirmenin ve analiz etmenin grafiksel bir yolu. Düzlemin bir kısmını hücrelerin (altkümanlar) kapalı konturlar (Jordan eğrileri) ile bölünmesi ile oluşturulur. Hücrelerde, teori veya formülü karakterize eden bilgiler sunulmuştur. Bina diyagramlarının amacı sadece açıklayıcı değil, aynı zamanda operatör - bilginin algoritmik işlenmesidir. Venna grafik aparatı genellikle analitik ile kullanılır.

Bölümleme yöntemi, hücre sayısının yanı sıra, bunlardaki kayıtların sorunları, söz konusu (açıklandığı) grafiksel olarak girilebilecek (açıklamada), özellikle de, özellikle de birlikte sorulacak olan teoriye bağlıdır. onların dönüşümlerden söz algoritmalar bazı diyagramlar diğer şemalarda aktörleri olarak etkin olabildiğinde. Örneğin, klasik durumunda mantık ifadeleri N genişlikli önerme değişkenlerinden oluşan formüller için, uçağın (üniversitenin) bir kısmı, bileşenlere (konjonktürel veya ayrık bir biçimde) karşılık gelen 2 "hücreye bölünmüştür. Her formülün Venna şeması böyle bir düzlem olarak kabul edilir. hücreler set (veya değil) bir yıldız işareti *. Yani, formül

(¬ A & ¬ B & C) V (A & ¬ B & C) V (¬ A & B & C C)

Üç önerme değişkeni A, B ve C, şekillerde gösterilen diyagram, hücrelerdeki yıldızların bu mükemmel normal ayrık formülün konjonktif bileşenlerine karşılık geldiği şekilde; Yıldızlarla işaretlenmiş bir hücre yoksa, Venna şeması, örneğin, kesinlikle yanlış formül, (A & ¬ A) olarak karşılaştırılır.

Uçağı 2 "hücreye bölmenin endüktif yolu, J. Venn'in İngilizce mantığının yazılarına geri döner, Venna'nın yolu denir ve aşağıdaki gibidir:

1. N \u003d 1, 2 ile daireler görünüşte açıkça kullanılır. (Gösterilen Şekil N \u003d 3.)

2. N \u003d K (K ≥ 3), böyle bir pozisyonun, düzlemin 2K hücrelere bölündüğü rakamlara gösterildiğini varsayalım.

Ardından, K + 1'in konumu için, bu düzlemdeki şekiller yeterlidir, öncelikle, bozulmuş bir eğri seçin (kendi kendine kesişme noktası olmadan Çar), yani tüm 2K hücrelerin sınırlarına ait ve sadece sahip olan bu sınırların her biri ile bir ortak parça. İkincisi, obli φ Kapalı eğri jordan Ψ K + 1 Böylece eğri Ψ K + 1, tüm 2K hücrelerinden geçti ve her hücrenin sınırını sadece iki kez geçti. Böylece, yer N \u003d K + 1, düzlemin 2K + 1 hücrelere ayrılacak şekildedir.

Diğer mantık ve matematik teorilerinin sunumu için Vennovsky diyagramlarının yöntemi genişler. Teorinin kendisi, dil elemanlarını uygun bir grafik görüntüde vurgulamak için yazılmıştır. Örneğin, klasik öngörülen mantığın atom formülleri, P (Y1..YR), P'nin öngördüğü ve Y1, ..., YR - konu değişkenlerinin mutlaka farklı değil; Y1 kelimesi, ..., YR bir nesne infix'dir. Venna şemalarının bariz teorik-çoklu doğası, yardımlarıyla, özellikle, teorik ve çoklu hesaplamalarıyla, örneğin ZF'nin CUMMER-FRINKEL setleri teorisinin teorisi ile temsil etmelerini ve keşfetmesine olanak sağlar. Mantık ve matematikte grafik yöntemleri uzun zamandır gelişti. Özellikle, mantıksal meydan, Euler'in çevreleri ve L. Carroll'ın orijinal diyagramları. Bununla birlikte, Venna diyagramlarının yöntemi, geleneksel hecelerde kullanılan Euler'in dairelerinin tanınmış yönteminden önemli ölçüde farklıdır. Vennovsky diyagramlarının kalbinde, Boolean fonksiyonunun kurucu olarak ayrıştırılması fikrine dayanıyor - mantığın Cebirinin merkezinde, operasyonel karakterlerine neden olan. Venne diyagramları sınıfların mantık görevleri çözmek için, öncelikle uygulanır. Diyagramları, ifadelerin mantığı ve tahmin problemlerini çözmek, parsellerden sonuçların gözden geçirilmesi, mantıksal denklemleri çözmeyi, diğer sorunların çözülme sorunu çözülmesi için etkili bir şekilde kullanılabilir. Venna diyagramı aparatı, matematiksel mantık ve nöral devrelerle ilişkili problemleri çözerken ve nispeten az güvenilir elemanlardan güvenilir şemaları sentezleme problemini çözerken, matematiksel mantık ve otomatlar teorisi ile uygulanır.

A. S. Kuzichev

Yeni felsefi ansiklopedisi. Dört ciltte. / İn-t felsefesi ras. Bilimseller. İpucu: vs Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin. M., Düşünce, 2010, T. I, A - D, s. 645.

Edebiyat:

Venn J. Sembolik mantık. L., 1881. Ed. 2, Rev. L., 1894;

Kuzichev A. S. Venna çizelgeleri. Tarih ve Uygulamalar. M., 1968;

O Venna çizelgeleri kullanarak bazı matematiksel mantık görevlerini çözme. - Kitapta: Mantıksal sistemlerin incelenmesi. M., 1970.

Euler-Venna Grafiği - Görsel araçlarla çalışmak için araçlar. Bu şemalar üzerinde setleri kesişme tüm olası varyantları tasvir edilir. kesişme noktalarının sayısı (bölgeleri) n, aşağıdaki formül ile belirlenir:

n \u003d 2 n,

n, n set sayısıdır.

Böylece, eğer problemde iki set kullanılırsa, eğer üç set ise n \u003d 2 2 \u003d 4, eğer üç set ise n \u003d 2 3 \u003d 8, eğer dört set ise n \u003d 2 4 \u003d 16. Bu nedenle, Euler-Venn diyagramları iki veya üç set için ağırlıklı olarak kullanılmaktadır.

Setler daireler şeklinde (eğer 2-3 set kullanılıyorsa) ve elipsler (eğer 4 set kullanılıyorsa) bir dikdörtgen (Universoo) yerleştirilir.

Evrensel Set (Universum) u (Sorun bağlamında) - Sorunun tüm unsurlarını içeren bir set dikkate alınarak: bunlara dahil olmayan tüm görevlerin ve öğelerin elemanları.

Boş set Ø (Görev bağlamında) - Sorunun tek bir elemanı içermeyen bir set.

Diyagramda, kesişen setleri inşa edilmiştir, onları birliğe eklerler. Numarası kesişme sayısına eşit olan alanları seçin.

Euler-Venna grafikleri de mantıksal işlemler görsel gösterimi için kullanılır.

Biz iki ve üç set için Euler-Venna çizelgeleri inşa örneklerini analiz eder.

Örnek 1.

Universum u \u003d (0,1,2,3,4,5,6)

İki takım A ve B için Euler-Venna çizelgeleri:

Örnek 2.

Aşağıdaki birden fazla sayı olmasına izin verin:

Üniversite Servisi U \u003d (0,1,2,3,4,5,6,7)

Üç set A, B, C için Euler-Venna çizelgeleri:

Sahip oldukları alanları ve sayıları tanımlarız:

Örnek 3.

Aşağıdaki birden fazla sayı olmasına izin verin:

A \u003d (0,1,2,3,4,5,6,7)

B \u003d (3,4,5,7,8,9,10,13)

C \u003d (0,2,3,7,8,10,11,12)

D \u003d (0,3,4,6,9,10,11,14)

Universum U \u003d (0,1,2,3,4,5,6,7,8,1,11,12,13,11,15)

Dört takım için Euler-Venna çizelgeleri A, B, C, D:

Sahip oldukları alanları ve sayıları tanımlarız:

Sette tipik görevleri belirlemek istiyorsanız, makaleye gidin.

Euler'in çevreleri hakkında hiçbir şey bilmediğini düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Aslında, muhtemelen onlarla karşılaştınız, sadece nasıl denir olduğunu bilmiyordum. Tam olarak nerede? Euler'in daireleri formundaki daireler, birçok popüler internet meminin temelini oluşturdu (belirli bir konudaki resimler ağında).

Birlikte görelim, bu çevreler neler, neden öyle adlandırılıyorlar ve neden birçok görevi çözmek için kullanmaları için çok uygun olduklarını.

Terimin kaynağı

- Bu, fenomenler ile kavramlar arasında daha fazla görsel mantıksal bağlantılar bulmanıza ve / veya daha fazla görsel mantıksal bağlantıları yapmanıza yardımcı olan geometrik bir şemadır. Ve ayrıca herhangi seti ve onun bir parçası arasındaki tasvir ilişkilere yardımcı olur.

Şimdiye kadar çok net değil mi? Bu resme bak:

Resim seti gösterir - tüm olası oyuncaklar. Oyuncakların bazıları tasarımcılardır - ayrı bir oval olarak vurgulanırlar. Bu, büyük bir "oyuncak" kümesinin bir parçasıdır ve aynı zamanda ayrı bir set (tasarımcı, "LEGO" ve çocuklar için küplerden ilkel yapıcılar olabilir). Büyük bir "oyuncak" setinin bir kısmı oyuncaklar kaplanabilir. Tasarımcılar değiller, bu yüzden onlar için ayrı bir oval çiziyoruz. Sarı Oval "Clockwork Car", aynı anda bir "oyuncak" kümesine atıfta bulunur ve daha küçük bir "Clockwork Toy" setinin bir parçasıdır. Bu nedenle, her iki ovalin içinde bir kerede gösterilir.

Peki, bu yüzden daha netleşti mi? Bu nedenle Euler çevrelerinin açıkça gösterdiği yöntemdir: yüzlerce kez duymaktan bir kere görmek daha iyidir. Meyvesi, netliğin akıl yürütmeyi basitleştirmesi ve daha hızlı ve daha kolay bir cevap almaya yardımcı oluyor.

Yöntemin yazarı bir bilim insanı Leonard Euler'dir (1707-1783). Ayrıca ondan sonra adlandırılan şemalar hakkında konuştu: "Daireler, yansımalarımızı hafifletmek için uygundur." Euler, Alman, İsviçre ve hatta bir Rus matematikçi, tamirci ve fizikçi olarak kabul edilir. Gerçek şu ki, uzun yıllardır St. Petersburg Bilimler Akademisi'nde çalıştığı ve Rus biliminin gelişimine önemli bir katkı yaptı.

Bundan önce, bir Alman matematikçi ve filozof Gottfried Labitz, sonuçlarını inşa ederken böyle bir prensip tarafından yönlendirildi.

Euler yöntemi, hak ettiği tanıma ve popülerlik aldı. Ve ondan sonra, birçok bilim adamı onu işlerinde kullandı ve aynı zamanda kendi yollarında da değiştirildi. Örneğin, Çek Matematik Bernard Bolzano aynı yöntemi, ancak dikdörtgen şemalarla birlikte kullandı.

Alman matematik Ernest Schroeder de katkısını yaptı. Ancak ana merite, İngiliz John Venna'ya aittir. Mantıkta bir uzmandı ve metodun versiyonunu ayrıntılı olarak belirttiği "sembolik bir mantık" kitabı yayınladı (takımın kesişenlerinin esas olarak görüntüleri).

Venanın katkısı sayesinde, yöntem, Venna'nın veya başka bir Euler-Venna'nın çizelgeleri bile olarak adlandırılır.

Neden Euler'in çevrelerine ihtiyacınız var?

Euler'in dairelerinde uygulamalı bir varış noktasına sahiptir, yani, uygulamalarında, uygulamalarda, görevler matematik, mantık, yönetimdeki setlerin kombinasyonu veya kesişimi üzerine çözülür.

Euler'in çevrelerinin türleri hakkında konuşursak, bazı kavramların birliğini tanımlayanlara ayrılabilirler (örneğin, cins ve türlerin oranı) - onları makalenin başlangıcında örnekte olduklarını düşündük.

Ve ayrıca bazı işaretlere göre kümelerin kesişilmesini tanımlayanlar. Bu ilke, Şemalarında John Venn tarafından rehberlik edildi. Ve internette popüler olan birçok insanın temeli olan budur. İşte Euler'in bu tür çevrelerinin bir örneği:

Komik, gerçekten mi? Ve en önemlisi, hemen her şey netleşir. Pek çok kelime harcayabilir, bakış açınızı açıklayabilirsiniz, ancak hemen her şeyi yerlerde hemen ayıran basit bir şema çizebilirsiniz.

Bu arada, hangi mesleğin seçeceğine karar veremiyorsanız, Euler'in çevreleri şeklinde bir şema çizmeyi deneyin. Belki de böyle çizim, seçim konusunda karar vermenize yardımcı olacaktır:

Her üç dairenin kesişiminde olacak olan seçenekler ve sadece sizi besleyemeyen bir meslek var, ama senden hoşlanacağım.

Euler'in çevrelerini kullanarak görevleri çözme

Euler'in çevreleri kullanılarak çözülebilecek birkaç görev örneğine bakalım.

Burada bu sitede - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link\u003dkr_e.html Elena Sergeyevna Sazhenina, Euler yöntemini çözmek için ilginç ve basit görevler sunar. Mantık ve matematik kullanarak, bunlardan birini analiz edeceğiz.

Favori karikatürler hakkında görev

Altı greyder, anketi en sevdikleri karikatürlerle ilgili sorularla doldurdu. Bunların çoğunun "kar beyazı ve yedi cüceler" gibi olduğu ortaya çıktı, "Sünger Bob Meydanı Pantolonu" ve "Kurt ve Buzağı". Sınıf 38 öğrencisinde. Kar beyazı ve 21 öğrenci gibi yedi cüceler. Dahası, bunlar arasında ayrıca "kurt ve baldır", altı - "sünger bob kare pantolon" gibi ve bir çocuk her üç karikatür de eşit derecede seviyor. Beş kişi, ankette iki karikatür olarak adlandırılan "Kurt ve Balf" 13 hayranları. "Sünger Bob Meydanı pantolonu" gibi kaç altı sınıf öğrencisinin belirlenmesi gerekir.

Karar:

Görevin şartlarına göre, üç setimiz var, siyahlar eğitildi. Ve erkeklerin cevapları, setlerin birbirleriyle kesiştiği için, çizim şöyle görünecektir:

"Kurt ve Balf", karikatürün hayranları arasındaki görevin şartlarına göre, beş erkek bir kerede iki karikatür seçti:

Şekline dönüştü:

21 - 3 - 6 - 1 \u003d 11 - GUYS sadece "kar beyazı ve yedi cüceler" seçti.

13 - 3 - 1 - 2 \u003d 7 - Çocuklar sadece "kurt ve baldırı" izler.

Yalnızca altı sınıf öğrencilerinin, "Sünger Bob Meydanı Pantolonlarını" karikatürünü ne kadar tercih ettiğini bulmak için kalır. Toplam öğrenci sayısından, diğer iki karikatürü seven veya birkaç seçenek seçtiğimiz herkesi alıyoruz:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) \u003d 8 - İnsanlar sadece "Sünger Bob Meydanı Pantolonlarını" izleyin.

Şimdi alınan tüm numaraları güvenle katlayabiliriz ve bunu öğrenebiliriz:

karikatür "sünger bob kare pantolon" 8 + 2 + 1 + 6 \u003d 17 kişi seçti. Bu, görevde teslim edilen sorunun cevabıdır.

Ve düşünelim görev2011 yılında Bilgisayar Bilimi ve BİT (Kaynak - http://eileracrugi.narod.ru/index / 0-6) üzerine bir gösteri sınav sınavına konuldu.

Sorunun Koşulları:

Arama sunucusu isteklerinde, "|" sembolü, mantıksal işlemi "veya" ve "&" sembolü kullanıldığını belirtmek için kullanılır.

Tablo, onlardaki sayfaların isteklerini ve internetin bazı segmentlerini gösterir.

İstek üzerine kaç sayfa (binlerce) bulunur Cruiser ve Linor.?

Tüm soruların neredeyse aynı anda yapıldığına inanılmaktadır, böylece tüm SKED kelimeleri içeren sayfa kümesi, isteklerin yürütme süresi boyunca değişmedi.

Karar:

Euler çevrelerinin yardımıyla, görevin koşullarını göstereceksiniz. Aynı zamanda, 1, 2 ve 3 numaraları, sonuç olarak elde edilen alanları belirlemek için kullanılır.

Sorunun şartlarına göre, bir denklem yapmak için:

1. Kruvazör | Linkor: 1 + 2 + 3 \u003d 7000
2. Cruiser: 1 + 2 \u003d 4800
3. Linkor: 2 + 3 \u003d 4500

Bulmak Cruiser ve Linor. (Bölge 2 olarak çizimde belirtilen), denklem (2) denklemine (1) değiştiririz ve şunları öğrendik:

4800 + 3 \u003d 7000, 3 \u003d 2200 aldığımız yerden.

Şimdi bu sonucu denklem (3) ile değiştirebilir ve şunları bulabiliriz:

2 + 2200 \u003d 4500, burada 2 \u003d 2300.

Cevap: 2300 - istek üzerine bulunan sayfa sayısı Cruiser & Savaş.

Gördüğünüz gibi, Euler'in daireleri hızlı bir şekilde yardımcı olur ve basitçe yeterli kompleksi bile çözer veya sadece görev için karışık.

Sonuç

Sanırım, Euler'in dairelerinin sadece eğlenceli ve ilginç bir şey olmadığını, aynı zamanda problem çözme konusunda çok faydalı bir yöntem olduğunu ikna etmeyi başardık. Ve sadece okul dersleri için soyut görevler değil, aynı zamanda oldukça hayat sorunları. Örneğin gelecekteki bir mesleği seçmek.

Muhtemelen, modern kitle kültüründe, euler dairelerinin sadece memler biçiminde değil aynı zamanda popüler TV şovlarında da yansıtıldığını bilmek merak edeceksiniz. "Büyük patlamanın teorisi" ve "4) gibi.

Sorunları çözmek için bu kullanışlı ve görsel yöntemi kullanın. Ve ona arkadaş ve sınıf arkadaşlarından bahsettiğinizden emin olun. Bunu yapmak için, makale altında özel düğmeler var.

site, orijinal kaynağa olan malzeme referansının tam veya kısmi kopyalanmasıyla gereklidir.

Eğitim Federal Ajansı

Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Kurumu

Ulusal Araştırma

Tomsk Politeknik Üniversitesi

Doğal Kaynaklar Enstitüsü

VM Bölümü

MAKALE

Konu : « Euler-Venna Grafiği»

Yürütücü:

Öğrenci grubu 2,00

Önder:

Giriş ................................................. ........................ ......... ..3

1. Hikayeden ..................................................... ................................................ 4

2. Euler-Venna Grafiği ........................................... ................................ 4

3. Euler-Venna Grafiğinin Setleri Üzerindeki İşlemler ...................... 5

a) Dernek ....................................................... ....................... 7

b) Kesişme, ekleme ................................................... ...................... ..7

c) İskele Ok, Shaffer Barkod ve Farkı ... .............................. 8

d) fark ....................................................... ................................... 8

e) simetrik fark ve eşdeğerlik ......................... ...... .9

Sonuç ........................................................... ................................ 10.

Referans listesi ............................................... .............. ...........11

Giriş

Euler Daireler - görsel bir temsil için alt gruplar arasındaki ilişkiyi gösterebileceğiniz bir geometrik şema. Daireler Leonard Euler tarafından icat edildi. Matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı yönlerde kullanılır.

Euler dairelerinin önemli bir özel vakası - Euler grafiği - Venna, n Mülkiyet'in tüm kombinasyonlarını gösteren, yani son Boole cebiri. N \u003d 3'te, Euler Diyagramı - Venna, eşkenar üçgenin üstlerinde ve aynı yarıçapın, üçgenin yaklaşık olarak eşit uzunluğu olan aynı yarıçaptaki merkezlerle üç tur olarak gösterilir.

Birkaç görevi çözerken, Leonard Euler, daireler kullanarak bir set kümesi fikrini kullandı. Bununla birlikte, bu yöntem de Euler'e, olağanüstü bir Alman filozofu ve matematikçiyi kullandı (1646-1716). Leibniz, kavramlar arasındaki mantıksal bağlantıların geometrik yorumu için onları kullandı, ancak hala doğrusal şemaları kullanmayı tercih etti.

Ancak bu yöntemi oldukça iyice geliştirdi L. Euler. Alman Mathematician Ernst Schröder (1841-1902), Logic Cebir Kitabında Euler (1841-1902) tarafından kullanılmıştır. John Venna'nın (1843-1923) İngilizce mantığının yazılarında, 1881'de Londra'da yayınlanan "Symbolic Logic" kitabında ayrıntılı olarak gelişen özel gelişen grafik yöntemleri. Bu nedenle, bu tür şemaların bazen Euler çizelgeleri - Venna olarak adlandırılır.

1. Hikayeler

Leonard Euler (1707 - 1783, St. Petersburg, Rus İmparatorluğu) - Matematik, Mekanik, Fizikçi. Fizyoloji, Fizik Profesörü, Yüksek Matematik Profesörü, matematiğin geliştirilmesine, ayrıca mekanik, fizik, astronomi ve bir dizi uygulamalı bilimin gelişimine önemli bir katkı sağladı.

Euler, 800'den fazla çalışmanın matematiksel analiz, diferansiyel geometri, sayılar teorisi, yaklaşık hesaplamalar, göksel mekanik, matematiksel fizik, optik, balistik, gemi yapımı, müzik teorisi vb.

Rusya'nın oluşumuna önemli bir katkı olduğu Rusya'da neredeyse yarısı geçti. 1726'da, bir yıl sonra hareket ettiği VNCT-Petersburg'da çalışmaya davet edildi. 1711'den 1741'e kadar ve 1766'dan itibaren St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin akademisyeniydi (1741-1766'da Berlin'de çalıştı, aynı anda St. Petersburg Akademisi'nin onursal bir üyesi). Rus kuyu ve Rusça olarak yayınlanan yazılarında (özellikle ders kitapları) bir kısmını biliyordu. İlk Rus akademisyenleri-matematik (S. K. Kotelnikov) ve gökbilimciler (S. YA. Rumovsky) euler öğrencileriydi. Bazılarından bazıları hala Rusya'da yaşıyor.

John Venn. (1, İngilizce mantık. "Resmi Sinir Ağları" mantıksal-matematiksel teorisinde bulunan özel bir grafik aparatı (sözde Venna diyagramları) oluşturduğu sınıflar mantığı alanında çalıştı. Venna aittir. mantıksal hesaplamalarda ters operasyonlar için gerekçe J. Bul. John'un faiz mantığı ve o bu konuda üç eser yayınladı. Bu frekansa veya olasılıkların frekans teorisinin yorumlanması sokulduğu "davanın mantık" olmuş 1866 yılında; "Sembolik mantık" hangi 1881 yılında Venna çizelgeleri; Boole mantığı ters operasyonlar için gerekçe verildiği 1889 yılında "İlkeler Ampirik mantık",.

Matematikte, setleri gösteren daireler biçimindeki çizimler çok uzun zamandır kullanılmaktadır. Bu yöntemi kullanan ilk kişiden biri, olağanüstü bir Alman matematikçi ve bir filozofuydu (taslak çizimlerinde 1 bu da çevrelerle çizimler keşfedildi. Sonra bu yöntem oldukça kapsamlı ve Leonard Euler. Petersburg Akademisi'nde yıllarca çalıştı. Fen. bu sefer bunlardan bazılarında 1768 için 1761 döneminde yazdığı "Alman prensesi mektup" onun meşhur aittir By "harfleri ..." Euler sadece onun yöntemiyle bahsediyor. Euler sonra aynı yöntem oldu Çek Matematik Bernard Bolzano (1T. Euler Fark tarafından geliştirilen o dairesel değil boyalı, ama dikdörtgen şemaları. Alman matematikçi Ernest Schröder Euler çevrelerin yöntemi (1Tot kullandı. yöntemi yaygın kitapta "Mantık cebir" kullanılır. fakat John Venna (Bu yöntemin en büyük tamlığının 1C İngilizce mantık yazılarında ulaşılan en yüksek bayındır grafik yöntemler Venna şerefine 1881 yılında Londra'da yayınlanan kitabında "Sembolik Mantık", onun tarafından ortaya konan , Euler çevreleri yerine, karşılık gelen Rakamlar bazen Venna diyagramları olarak adlandırılır; Bazı kitaplarda ayrıca diyagramlar (veya daireler) euler-Venna olarak da adlandırılırlar.

2.Diagram Euler-Venna

Set ve alt gruplar kavramları, matematiğin birçok kavramının belirlenmesinde ve özellikle geometrik şekli belirlerken kullanılır. Evrensel bir ayarlama düzlemi olarak tanımlıyoruz. O zaman, planimetrede geometrik bir şeklin aşağıdaki tanımını verebilirsiniz:

Geometrik şekilherhangi bir uçak puanı kümesi denir. Aralarındaki seti ve ilişkiyi açıkça göstermek için, bu ilişkide kendi aralarında geometrik şekiller çizin. ve kümelerin tür görüntüler Euler-Venna diyagramlar denir. Grafikler Euler-Venna, setlerle ilgili görsel çeşitli ifadeler yapar. Evrensel seti, bir dikdörtgen ve alt kümelerinin biçiminde gösterilmiştir. matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı yönlerde kullanılır.

Evrensel bir seti temsil eden büyük bir dikdörtgen görüntüsündeki Euler-Venna çizelgeleri Uve içeride ve setini temsil eden daireler (veya başka herhangi bir kapalı şekil). Rakamlar, görevde gereken en genel durumda kesişmelidir ve uygun şekilde belirlenmelidir. Çeşitli diyagramların içinde altında yatan noktaların, ilgili kümelerin elemanları olarak kabul edilebilir. Yapılan bir diyagrama sahip olmak, yeni oluşturulmuş setleri belirlemek için belirli alanları tıraş edebilirsiniz.

Setlerdeki Temel Operasyonlar:

Geçiş Birliği Farkı

3. Euler-Venna Grafik Setleri Üzerindeki Operasyonlar

Setteki işlemlerin mevcut olanlardan yeni setleri elde edildiği düşünülmektedir.

Şimdi örnekler hakkında daha ayrıntılı olarak.

Yeniden hesaplamadan sonra, belirli bir nesneyi belirlemenin gerekli olmasını sağlayın.

A \u003d (1, 2, 4, 6) ve b \u003d (2, 3, 4, 8, 9)

yuvarlak ve beyaz eşyalar. Kaynak seti denilebilir temelve A ve B altymetleri - sadece setler.

Sonuç olarak, dört element sınıfı elde ediyoruz:

C.0 \u003d (5, 7, 10, 11) - Elementler, adlandırılmış özelliklerden herhangi birine sahip değil,

C.1 \u003d (1, 6) - Öğelerin yalnızca bir mülke sahip (yuvarlak),

C.2 \u003d (3, 8, 9) - Elementler sadece b (beyaz) özelliğine sahiptir.

C.3 \u003d (2, 4) - Elementler aynı anda iki özellik A ve B.

İncirde. 1.1. Bu sınıflar kullanılarak tasvir edilmiştir. grafik Euler - Venna.

İncir. 1.1.

Genellikle çizelgeler, örneğin Şekil 2'de gösterilen genelliğin tüm eksiksizliğine sahip değildir. 1.2. Zaten B'ye tamamen dahil edilmiştir. Böyle bir durum için, özel bir dahil etme sembolü kullanılır (ì): a ì b \u003d (1, 2, 4) ì (1, 2, 3, 4, 6).

Aynı anda iki koşul yapılırsa: A ì B ve B ì A, o zaman A \u003d B, bu durumda A ve B ayarlarının olduğu söylenir. tamamen eşdeğer.

İncir. 1.2.

Dört element sınıfı tanımlandıktan sonra ve euler çizelgeleri hakkında gerekli bilgiler - Venna, SET'te işlemleri tanıtıyoruz. İlk olarak, işlemi düşünün bağlantı.

a) Dernek

bağlantıa \u003d (1, 2, 4, 6) ve B \u003d (2, 3, 4, 8, 9) ayarlar.

hadi birçok arayalım

A è b \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

è, setlerin birleştirilmesinin sembolüdür. Böylece, dernek üç element sınıfını kapsar - C.1, C.2 I. C.Şekil 3, diyagramda (Şekil 1.3) gölgelidir.

Mantıksal olarak, iki setin kombinasyonunun çalışması kelimelerle karakterize edilebilir: eleman x. Ayarlanan A veya B grubuna aittir. Aynı zamanda, "veya" aynı anda "ve" demet anlamına gelir. Gerçeği ait unsur x. A set A olarak belirtilir x. Î A. Peki ne x. A aittir. veya / i. B, formül tarafından ifade edilir:

x. Î a è b \u003d ( x. Î a) ú ( x. Î b),

ú, mantıksal bir ligamanın bir sembolü olduğu veya denilen ayrılma.

b) Kesişme, ekleme

Kavşak A ve B setleri, her iki sette aynı anda dahil olan A ve B'den bu elemanları içeren A ve B'lik öğeleri içeren bir ÇEVRE olarak adlandırılır. Sayısal örneğimiz için şunları yapacağız:

A Ç B \u003d (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) \u003d (2, 4) \u003d C.3.

Euler grafiği - kesişme için Venna, Şekil 2'de gösterilmiştir. 1.4.

Ne x. İki set ile aynı anda aittir A ve B ifadesi ile temsil edilebilir:

x. Î a ç \u003d ( x. Î a) ù ( x. Î b),

burada ù mantıksal paketin bir sembolüdür "ve" bağlaç.

Bunun bir sonucu olarak, gölgeli alanlar olacak olanı hayal edin C.1 I. C.3, A setini oluşturan (Şekil 1.5). Sonra diğer iki alan tarafından karşılanacak başka bir işlem - C.0 I. C.2 olarak belirtilmemiş A'ya dahil değildir A. (Şekil.1.6).

Gölgeli alanları her iki diyagramda da birleştirirseniz, tüm gölgeli seti 1 elde ediyoruz; A geçidi ve A. Hiçbir unsur içermeyen boş bir set 0 verecektir:

Bir è. A. \u003d 1, bir Ç A. = 0.

Bir çok A. tamamlamak Bir temel set v (veya 1); Dolayısıyla ismi: ek A ayarla veya ilavebir operasyon olarak. Mantıksal değişkene takviyesi x., yani x. (değil- x.), en sık denir reddi X..

Kavşak ve ek işlemlerin tanıtılmasından sonra, dört alanın tümü Ci Euler diyagramında - Venna aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

C.0 = A. Ç B., C.1 \u003d a Ç B., C.2 = A. Ç C.3 \u003d A Ç B.

İlgili bölgeleri birleştirerek Ci Birleşmenin kendisi de dahil olmak üzere birden fazla işlemi gönderebilirsiniz:

A è b \u003d (a ç B.) È ( A. Ç) è (bir Ç B).

Euler diyagramında - ima için Venna (Şekil 1.10) gösterilmiştir. kısmisET A SET B SETİNİN İÇERİĞİNDEN DEĞİŞTİRİLMESİ tam dahil etme (Şekil 1.2).

Eğer "SET A'nın elemanlarının B grubuna dahil edildiği" tartışılması durumunda, daha sonra bölge C.3 gölgeli olmalı ve alan C.1 Aynı şekilde beyaz bırakılması gerekir. Alanlarla ilgili C.0 I. C.1 bulunur A., onları beyaz bırakma hakkına sahip olmadığımızı, ancak yine de düşmemiz zorundayız. A.Keskin.

E) Simetrik fark ve eşdeğerlik

Diğer karşılıklı tamamlayıcı işlemler simetrik bir fark ve eşdeğerlik kalır. A ve B'nin iki setinin simetrik farkı, iki farkın birleşimidir:

A + B \u003d (A - B) è (B - a) \u003d C.1 è. C.2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Eşdeğerlik, A ve B setlerinin elementleri tarafından onlar için yaygın olanlar tarafından belirlenir. Bununla birlikte, B'de hiçbiri dahil olmayan unsurlar da eşdeğer olarak kabul edilir:

A ~ b \u003d ( A. Ç B) è (a ç B.) = C.0 È C.3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

İncirde. 1.11 ve 1.12, Euler çizelgelerinin kuluçkalanmasını gösterir - Venna.

Sonuç olarak, simetrik farkın birkaç isim olduğunu gösteriyoruz: katı ayrılma, alternatif hariç, modülün toplamı iki. Bu işlem kelimelerle - "ya", yani ", yani mantıksal bir demet" veya ", ancak içeri girmeden" ve "olarak dahil edilebilir.

Sonuç

Euler-Venna çizelgeleri - setlerin geometrik gösterimleri. Basit Diyagram Binası, evrensel bir seti temsil eden görsel bir görüntü sağlar. Uve içeride ve setini temsil eden daireler (veya başka herhangi bir kapalı şekil). Şekiller, görevde gereken en genel durumda kesişir ve şekle karşılık gelir. Çeşitli diyagramların içinde altında yatan noktaların, ilgili kümelerin elemanları olarak kabul edilebilir. Yapılan bir diyagrama sahip olmak, yeni oluşturulmuş setleri belirlemek için belirli alanları tıraş edebilirsiniz. Bu, görevin ve çözümlerin en eksiksiz resmine sahip olmamızı sağlar. Euler-Venna çizelgelerinin sadeliği, bu tekniği matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı yönler gibi yönlerde kullanmanıza olanak sağlar.

Bibliyografi

1. Mantıkta Sözlük. - m.: Tumanit, Ed. Merkez Vlados. . 1997.

2. WOLFRAM MATHWORLD web sitesinde WeiSein, Eric W. Venna Grafiği (ENG.).

Vennya Diyagramı, kaç tane yaygın setleri olduğunu gösteren kesişen çevrelerle olan bir devredir. Venna şemasını inşa etmek için, birkaç nesne grubu seçilir ve bunları ayrı dairelere yerleştirilir ve bu setlerin özelliklerini birleştiren nesneler geçiş daireler alanına girer.

En basit örneği veriyoruz. İki grup nesne grubumuz var - aydınlatma cihazları (onları ilk turda belirtiriz) ve enerji tasarrufu teknolojilerinde (onları ikinci turda belirtiriz). Bu durumda, çevreleri geçme alanı, birinci ve ikinci gruba, yani enerji tasarrufu sağlayan aydınlatma cihazlarına atfedilebilen nesneleri kapsayacaktır.

Venna Diyagramları, herhangi bir seti karşılaştırmak ve aralarında ilişkiler kurmak için matematik, mantık, yönetim ve diğer uygulamalı alanlarda başarıyla kullanılır.

Bu tür şemaların tek eksi - yalnızca, yalnızca dikkate alınan nesnelerin genel niteliklerini belirlemek ve nesnelerin sayısı hakkında bilgi sağlamamak için kullanılabilir.

Venna çizelgeleri: ihtiyaç duydukları şey

Venn Diyagramları, kaynak verilerinin iki durumda karşılaştırılmasına yöneliktir:

• veriler anlayış için çok karmaşıktır;
• bu veriler arasındaki ilişkileri belirlemek için sorunlar var.

Bilgi besleme ve sadeliğin görsel şekli nedeniyle, Venna Grafiğinin transkripti, nişan verici ve analiz işlemini büyük ölçüde kolaylaştırır. Bu yüzden sunumlar yaparken yaygın olarak kullanıyorlardı.

Venna çizelgesi çizim sadece dört aşamayı içeren zor bir işlem değildir:

1. Karşılaştırmanız gereken nesnelerin gruplarını düşünün - sayıları diyagramınızdaki dairelerin sayısına eşit olmalıdır.
2. Merkezden biraz geri çekilme, ilk daireyi çizin. Her dairenin dikkate alındığında nesnenin özellikleri hakkında bilgi içereceği göz önüne alındığında, kişiliği, yer vb., Oldukça büyük olması gerekir.
3. İkinci turu çizin, böylece ilk daireyi kısmen örtüşür. Bu durumda, her iki daire her iki boyutta olmalıdır. Kavşak alanının içindeki da yeterli alan olduğundan emin olun - burada gruplar arasında benzerliği ortaya çıkaran nesnelerden bahsedersiniz.
4. Adı her öğe grubuna atayın ve çevreleri imzalayın.