Paralellik ve diklik koşulları

1 °. İki uçağın eşlik durumu

İki uçak verilmesine izin verin:

A. 1 x. + B. 1 y. + C. 1 z. + D. 1 = 0, n. 1 = {A. 1 ; B. 1 ; C. 1 } ≠ 0 ;(1)

A. 2 x. + B. 2 y. + C. 2 z. + D. 2 = 0, n. 2 = {A. 2 ; B. 2 ; C. 2 } ≠ 0 .(2)

Onlar bölmesi (yani, paralel veya çakışır)? Açıkçası, o zaman ve sadece normal kolinier vektörleri ise olacak. Bir komplike kriteri uygulamak, biz alırız

Teklif 1. İki uçak bölmesi o zaman ve yalnızca normal vektörlerinin vektör ürünü sıfır vektöre eşitse:

[n. 1 , n. 2 ] = 0 .

2 °. İki uçağın tesadüf

Teklif 2. Düzlem (1) ve (2) daha sonra çakışır ve yalnızca katsayılarının dördünün orantılı olması durumunda, yani, bu tür bir sayıdır λ vardır.

A. 2 \u003d λ. A. 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 , D. 2 \u003d λ. D. 1 . (3)

Kanıt. Koşulların (3) tamamlanmasına izin verin. Daha sonra ikinci düzlemin denklemi şu şekilde kaydedilebilir:

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

λ ≠ 0, aksi takdirde olurdu A. 2 = B. 2 = C. 2 = D. 2 \u003d 0, duruma çelişir n. 2 ≠ 0 . Sonuç olarak, son denklem denklemine eşdeğerdir (1), yani iki uçağın çakıştığı anlamına gelir.

Şimdi, sonra, aksine, bu uçağın çakıştığı bilinmektedir. Sonra normal vektörler kolliniar, yani, böyle bir sayı var λ böyle bir şey var.

A. 2 \u003d λ. A. 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 .

Denklem (2) şimdi formda yeniden yazabilir:

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + D. 2 = 0.

Multiply denklemi (1) λ'da, birinci düzlemin eşdeğer denklemini elde ediyoruz (T. K. λ ≠ 0):

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

Bir puan almak ( x. 0 , y. 0 , z. 0) ilk (ve sonuç olarak, ikinci) düzlemden ve koordinatlarını son iki denklemde ikame etmek; Sadık eşitlik alacağız:

λ A. 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + D. 2 = 0 ;

λ A. 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + λ D. 1 = 0.

En üstten aşağıya kadar kükürt, biz D. 2 - λ. D. 1 \u003d 0, yani D. 2 \u003d λ. D. 1, QED.

3 °. İki uçağın durumun göze çarpması

Açıkçası, bunun için normal vektörlerin dik olduğu için gereklidir.

Önerme 3. İki uçak dik ve yalnızca normal vektörlerin skaler ürünü sıfır ise:

(n. 1 , n. 2) = 0 .

Uçağın denkleminin verilmesine izin verin

Balta. + Tarafından + Cz. + D. = 0, n. = {A.; B.; C.} ≠ 0 ,

ve işaret M. 0 = (x. 0 , y. 0 , z. 0). Mesafe formülünü noktadan uçakla elde ediyoruz:

Keyfi bir nokta almak S. = (x. 1 , y. 1 , z. 1) Bu düzlemde yatmak. Koordinatları uçak denklemini tatmin ediyor:

Balta. 1 + Tarafından 1 + Cz. 1 + D. = 0.

Şimdi istediğiniz mesafeyi not edin d. Vektörün çıkıntısının mutlak değeri eşit derecede vektör yönünde n. (Burada projeksiyonu sayısal bir değer olarak alıyoruz ve vektör olarak değil). Sonra, projeksiyonu hesaplamak için formülü uygulayın:

Benzer formül mesafe için geçerlidir d. Noktadan M. 0 = (x. 0 , y. 0) Ortak denklem tarafından belirtilen düz bir çizgiye düzlem Balta. + Tarafından + C. = 0.

Matematikte tek bir devlet sınavının C2 C2, noktadan uçağa olan mesafeyi bulmak için

Kulikova Anastasia Yurevna

5. Yıl Öğrenci, Bölüm Mat. Analiz, Cebir ve Geometri EI CFU, RF, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

Ganeva Aigul Riffovna

bilimsel lider, cand. Ped. Bilimler, Doçess Profesör EI CFU, RF, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

Matematikteki sınavın görevlerinde son yıllarda, görevlerden uçağa olan mesafeyi hesaplamak için görevler belirir. Bu yazıda, bir görev örneğinde, noktadan uçağa olan mesafeyi bulma yöntemleri göz önünde bulundurulur. Çeşitli görevleri çözmek için, en uygun yöntemi kullanabilirsiniz. Göreve bir yöntemle karar vererek, bunun sonucun doğruluğu doğrulanabilir.

Tanım.Noktadan uçağa, bu noktayı içermeyen uçağa olan mesafe, bu noktadan bu noktaya kadar indirilen dik segmentin uzunluğudur.

Bir görev.Dan dikdörtgen paraleldir FAKATB.DanDa 1 B. 1 C. 1 D. 1 yanlarla Ab=2, M.Ö.=4, AA. 1 \u003d 6. Noktadan uzaklığı bulmak D. uçağa ACD. 1 .

1 yol. Kullanma tanım. R mesafesini bulun ( D., ACD. 1) noktadan D. uçağa ACD. 1 (Şekil 1).

Şekil 1. İlk yöntem

Harcayalım Dh⊥AC, bu nedenle, Terme'de üç dikey D. 1 H.⊥ACve (Dd. 1 H.)⊥AC. Harcayalım düz Dt. Dik D. 1 H.. Düz Dt. Uçakta yatıyor Dd. 1 H.dolayısıyla Dt.⊥AC. Dolayısıyla Dt.⊥ACD. 1.

FAKATDc Hipotenüs bulmak AC ve yükseklik Dh

Dikdörtgen üçgenden D. 1 Dh hipotenüs bulmak D. 1 H. ve yükseklik Dt.

Cevap:.

2 yol.Yöntem hacmi (yardımcı piramit kullanın). Bu türün görevi, piramitin yüksekliğini hesaplama görevine indirgenebilir, burada piramitin yüksekliğinin noktadan uçağa kadar istenen mesafedir. Bu yüksekliğin istenen mesafe olduğunu kanıtlamak; Bu piramidin hacmini iki şekilde bulun ve bu yüksekliği ekleyin.

Bu yöntemin bu noktadan bir dikey oluşturmaya gerek olmadığını unutmayın.

Dikdörtgen paralelepipli - paralelpiped, her yüzü dikdörtgenlerdir.

Ab=CD=2, M.Ö.=Reklam=4, AA. 1 =6.

İstenilen mesafe yükseklik olacak h. Piramitler ACD. 1 D.Üstten atlandı D. Temelde ACD. 1 (Şekil 2).

Piramidin hacmini hesaplayın ACD. 1 D. iki yol.

Hesaplama, metodun tabanının ilk yolunda δ ACD. 1, sonra

Hesaplama, yöntemin tabanının ikinci yolunda δ ACD., sonra

Son iki eşitliğin doğru parçalarını eşitliyoruz,

Şekil 2. İkinci Yol

Dikdörtgen üçgenlerden ACD., Ekle. 1 , Cdd. 1 Pythagore teoremini kullanarak hipotenüsler bulun

ACD.

Üçgenin alanını hesaplayın ACD. 1, Geron formülünü kullanarak

Cevap:.

3 yol. Koordinat yöntemi.

Belirtilen noktaya izin ver M.(x. 0 ,y. 0 ,z. 0) ve uçak α denklem ile tanımlanır balta.+tarafından+cz.+d.\u003d 0 dikdörtgen bir kartezyen koordinat sisteminde. Noktadan uzaklık M. Uçağa α formül tarafından hesaplanabilir:

Koordinat sistemini tanıtıyoruz (Şek. 3). Noktadaki koordinatlara başlayın İÇİNDE;

Düz Au- Ace h., Düz Güneş. - Ace y., Düz Bb. 1 - ACE z..

Şekil 3. Üçüncü Yol

B.(0,0,0), FAKAT(2,0,0), Dan(0,4,0), D.(2,4,0), D. 1 (2,4,6).

İzin vermek a.x +.tarafından+ cz.+ d.\u003d 0 - Uçağın Denklemi ACD. bir . Noktaların koordinatlarını değiştirmek A., C., D. 1 biz alırız:

Denklem düzlemi ACD. 1 görünecek

Cevap:.

4 yol. Vektör yöntemi.

Temel tanıtıyoruz (Şekil 4) ,.

Şekil 4. Dördüncü Yolu

Uzayda bazı düzlemler π ve keyfi bir nokta m 0 olarak düşünün. Bir uçak için seçin birim normal vektör N S. başlangıç Bazı noktada m 1 ∈ π ve p (m 0, π), M 0 noktasından düzleme kadar bir mesafe olsun. Sonra (Şek. 5.5)

p (m 0, π) \u003d | Pr n m 1 m 0 | \u003d | NM 1 m 0 |, (5.8)

nO | N | \u003d 1.

Uçak π olarak ayarlanmışsa ortak denklemi ile dikdörtgen koordinat sistemi AX + by + CZ + D \u003d 0, daha sonra normal vektör, koordinatlar (a; b; c) olan vektördür (A; B; C) ve tek bir normal vektör olarak seçebilirsiniz

(X 0; y 0; z 0) ve (x 1; y 1; z 1) M 0 ve m 1 noktalarının koordinatları. Sonra Eşlik Baltası 1 + ile 1 + CZ 1 + D \u003d 0 ile yapılır, çünkü M1 noktası düzleme aittir ve vektör M1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0-x 1) ; Y 0 -Y 1; Z 0 -Z 1). yazı skaler ürün NM 1 m 0 koordinat formunda ve dönüştürme (5.8), biz

balta 1 + 1 + Cz 1 \u003d - D.N. normalleştirici bir çarpana bölünmüş, karşılık gelen normal vektörün uzunluğuna eşittir.

Bir uçak olmasına izin ver . Normal yürütüyoruz
o koordinatlarının kökeninden.
- Normal tarafından oluşturulan köşeler koordinat eksenleri ile.
. İzin vermek - normalin uzunluğu
bir uçakla kesişme yapmadan önce. Ünlü kosinüs rehberlerini normal olarak kabul etmek , uçağın denklemini geri çekin .

İzin vermek
) - Rasgele nokta düzlemi. Tek normalin vektörü koordinatlar vardır. Vektörin projeksiyonunu buluruz
normalde.

Noktadan beri M. uçağa ait

.

Bu, verilen bir düzlemin denklemidir. normal .

Noktadan uçağa olan mesafe

Uçağın verilmesine izin verin ,M.*
- Uzay noktası, d. - Uçaktan uzaklığı.

Tanım. Sapma puan M * Uçaktan numara denir ( + d.), Eğer bir M.* pozitif yönün belirtildiği düzlemden diğer tarafta yatıyor ve numara (- d.) Puan düzlemin diğer tarafında bulunursa:

.

Teorem. Uçağa düşmek tek bir normal ile normal denklem ile ayarlayın:

İzin vermek M.*
- nokta uzay sapması t. M.* Uçaktan bir ifade olarak belirlenir

Kanıt. Projeksiyon t.
* Normal Tasarım S.. Sapma M * Uçaktan eşittir

.

Kural. Bulmak sapma t. M.* Uçaktan, normal denklemde düzlemin koordinatlarını yerine koymak gerekir. M.* . Noktadan uçağa olan mesafe .

Uçağın genel denklemini normale getirmek

Aynı düzlemin iki denklem tarafından verilmesine izin verin:

Genel denklem

Normal denklem.

Her iki denklem de bir uçak belirttiğinden, katsayıları aşağıdakilerle orantılıdır:

İlk üç eşitlik bir kareye dikilir ve katlanır:

Buradan bulacağız - Normalleştirme Çarpanı:

. (10)

Uçağın genel denkleminin normalleştirme çarpanına çarpılması, uçağın normal denklemini elde ediyoruz:

"Düzlem" konusundaki görevlerin örnekleri.

Örnek 1. Uçak denklemi yapmak belirtilen noktadan geçmek
(2,1, -1) ve paralel düzlem.

Karar. Uçağa normal :
. Uçak paralel olduğundan, normal istenen düzlem için normaldir . Belirtilen noktadan (3) geçen uçağın denklemini kullanarak, uçak için elde ediyoruz denklem:

Cevap:

Örnek 2. Dikin üssü, uçaktaki koordinatların başlangıcından düştü , nokta
. Uçak denklemini bulun .

Karar. Vektör
uçağın normal olduğu . Nokta M. 0 uçağa ait. Düzlemin denklemini belirtilen noktadan (3) kullanabilirsiniz:

Cevap:

Örnek 3. Bir uçak oluşturmak geçen

ve dik düzlem :.

Bu nedenle, böylece bir nokta M. (x., y., z.uçağa ait , bu üç vektör gerekli
bölme vardı:

=0.

Belirleyiciyi ortaya çıkarmak ve genel denklemin türüne (1) elde edilen ifadeyi yönlendirmek için kalır.

Örnek 4. uçak genel denklem ile ayarlayın:

Bir nokta sapması bulun
belirli bir uçaktan.

Karar. Uçağın denklemini normal forma sunuyoruz.

,

.

Koordinat Noktasının elde edilen normal denkleminde ikame M *.

.

Cevap:
.

Örnek 5. Segment uçağının geçip geçmediği.

Karar. Kesmek Au Çapraz uçak, sapmalar ve uçaktan farklı işaretler olmalı:

.

Örnek 6. Üç uçağın bir noktada kesişimi.

.

Sistem tek bir çözüme sahiptir, bu nedenle, üç uçak bir ortak noktaya sahiptir.

Örnek 7. Önceden belirlenmiş iki düzlemin oluşturduğu bir dihedral açının bisektörünü bulma.

İzin vermek ve - Bir nokta sapması
birinci ve ikinci uçaklardan.

Uçakların bisektöründen birinde (kökenin koordinatın başlangıcı olduğu köşeye karşılık gelen), bu sapmalar modüle eşittir ve işarete ve diğer tarafta, modüle eşittir ve tersidir. işaret.

Bu, ilk bisektural düzlemin denklemidir.

Bu, ikinci bisektural düzlemin denklemidir.

Örnek 8. İki veri noktasının yerini belirleme ve bu uçakların oluşturduğu Dugrani açılarına göre.

İzin vermek
. Belirleme: Birinde, bitişik veya dikey açılarda, noktalar vardır. ve .

fakat). Eğer bir ve bir yoldan yalan söylemek ve , sonra bir doched köşesinde uzanırlar.

b). Eğer bir ve bir yoldan yalan söylemek ve farklı , sonra bitişik açılarda uzanırlar.

içinde). Eğer bir ve farklı taraflara yatmak ve , sonra dikey açılarda uzanırlar.

Koordinat sistemleri 3.

Uçaktaki çizgiler 8

Birinci dereceden satır. Düz uçakta. 10

Düz 12 arasındaki köşe

Genel Denklem Direct 13

Birinci dereceden tamamlanmamış denklemi 14

Denklem düz "segmentlerde" 14

İki düz çizginin denklemlerinin ortak çalışması 15

Doğrudan 15 için normal

İki düz 16 arasındaki köşe

Kanonik denklem doğrudan 16

Parametrik Denklemler Doğrudan 17

Normal (normalleştirilmiş) denklem doğrudan 18

Noktadan doğrudan 19'a kadar olan mesafe

Doğrudan 20 ışının denklemi

"Uçağa Doğrudan" konuyla ilgili görev örnekleri 22

Vektör sanat vektörleri 24

Vektör Ürün Özellikleri 24

Geometrik Özellikler 24.

Cebirsel Özellikler 25.

Vektör ürünün faktörlerin koordinatları ile ifadesi 26

Üç vektörün karışık işleri 28

Karışık işin geometrik anlamı 28

Karışık işin ifadesi vektörlerin koordinatları ile 29

Çözme problemlerinin örnekleri

, Rekabet "Dersin sunumu"

Sınıf: 11

Dersin sunumu

İleri geri

Dikkat! Önizleme slaytları sadece bilgilendirme amaçlı kullanılır ve tüm sunum yetenekleri hakkında fikirler vermeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümü indirin.

Hedefler:

• Öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistematizasyonu;
• analiz etme, karşılaştırma, sonuçlar çizme becerilerin geliştirilmesi.

Ekipman:

• multimedya Projektörü;
• bir bilgisayar;
• görev metinleri olan sayfalar

Yapı Meslek

I. Organizasyon Anı

II. Bilginin gerçekleşmesinin aşaması (Slayt 2)

Noktadan uçağa olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrar ediyoruz.

III. Ders (6-15 sınıf)

Sınıfta, noktadan uçağa olan mesafeyi bulmanın çeşitli yollarını görüyoruz.

İlk yöntem: aşamalı

M-Point'ten uçağa olan mesafe α:
- Α düzleme α, raptar bir noktadan, doğrudan a noktasında yatan ve α düzlemine paralel olarak geçen bir rasgele noktadan bir mesafeye eşittir;
- Α düzlemden α, m noktasından geçen ve α düzlemine paralel düzlemde yatan keyfi bir nokta p'den mesafeye eşittir.

Aşağıdaki görevlere izin verin:

№1. Küba'da a ... D 1 Noktadan 1'den Uçağa 1 C'ye olan mesafeyi bulun.

1 N bölümünün uzunluğunun uzunluğunu hesaplamak için kalır.

№2. Doğru altıgen prizma a ... F 1, tüm kenarlar 1, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi alır.

Bir sonraki yöntem: yöntem hacmi.

AVSM piramitinin hacmi V'ye eşitse, M'nin M-P noktasına ΔAV içeren α (m; α) \u003d ρ (m; AVC) \u003d ρ (M; AVC) ile hesaplanır.
Sorunları çözerken, iki farklı şekilde ifade edilen bir rakamın eşitliğini kullanıyoruz.

Aşağıdaki görevi belirtin:

№3. AD Piramit DABC, ABC tabanının düzlemine diktir. AU, AU, AC ve Reklamın ortasından geçen uçağın mesafesini bulun.

Görevleri çözerken koordinat yöntemi M M noktasından uçağa olan mesafe α (m; α) \u003d formülle hesaplanabilir. burada m (x 0; y 0; z 0) ve düzlem denklem baltası + tarafından + CZ + D \u003d 0 tarafından ayarlanır.

Aşağıdaki görevi belirtin:

№4. Tek bir küpte ... D 1, Nokta A 1'den VDC 1'in düzlemine gidin.

Koordinat sistemini A'nın başlangıcında tanıtıyoruz, a ekseni, RBBar AU, Reklamın kenarı boyunca X ekseni boyunca, A ekseni A AA 1 boyunca geçecektir. Daha sonra noktaların koordinatları (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) Cı (1; 1; 1)
Uçağın denklemini B, D, C1 noktalarından geçerek yapacağız.

Sonra - DX - DY + DZ + D \u003d 0 x + y - z - 1 \u003d 0. Bu nedenle, ρ \u003d

Bu türdeki görevleri çözerken kullanılabilecek aşağıdaki yöntem - referans görevleri yöntemi.

Bu yöntemin kullanımı, teoremler olarak formüle edilen bilinen destek görevlerini uygulamaktır.

Aşağıdaki görevi belirtin:

№5. Bekar bir Küba'da ... D 1, D 1 noktasından 1 S'lik uçağa olan mesafeyi alın.

Uygulamayı düşünün vektör yöntemi.

№6. Tek bir küpte ... D 1, Nokta A 1'den VC 1 düzlemine kadar mesafeyi alın.

Bu yüzden, bu tür görevleri çözerken kullanılabilecek çeşitli yollara baktık. Bunun veya bu yöntemin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.

İv. Gruplarla çalışmak

Sorunu farklı şekillerde çözmeye çalışın.

№1. Küba A ... D 1 eşittir. Yukarıdan BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№2. AVD'nin sağ tetrahedra bir kenarı ile, A noktasından BDC uçağına olan mesafeyi alın

№3. Bütün kenarların 1 S 1'inde 1 S 1'de Absa 1'in doğru üçgen prizmanında, A'dan BCA 1'in düzlemine olan mesafeyi bulun.

№4. Doğru dörtgen SABCD piramidinde, tüm kenarları 1'e eşit olan, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.

V. Sonuç dersi, ödev, yansıma