Özel türevler, birkaç değişken fonksiyonlarıyla görevlerde uygulanır. Konum kuralları, yalnızca bir değişkenin fonksiyonlarıyla aynıdır, sadece değişkenlerden birinin sabit (sabit) farklılaşma sırasında değerlendirilmelidir.

Formül

İki değişkenin fonksiyonu için özel türevler $ Z (x, y) $, aşağıdaki formda $ Z "_x, z" _y $ 'de yazılmıştır ve formüllere göre bulunur:

İlk siparişin özel türevleri

$$ z "_x \u003d \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel x) $$

$$ z "_y \u003d \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel y) $$

İkinci dereceden özel türevler

$$ z "" _ (xx) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ 2 z) (\\ parsiyel x \\ parsiyel x) $$

$$ z "" _ (yy) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ 2 z) (\\ parsiyel y \\ parsiyel y) $$

Karışık türev

$$ z "" _ (xy) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ 2 z) (\\ parsiyel x \\ parsiyel y) $$

$$ z "" _ (yx) \u003d \\ frac (\\ parsiyel ^ 2 z) (\\ parsiyel y \\ parsiyel x) $$

Karmaşık fonksiyonun kısmi türevi

a) $ z (t) \u003d f (x (t), y (t)) $ izin verin, daha sonra karmaşık fonksiyonun türevi formül tarafından belirlenir:

$$ \\ frac (dz) (dt) \u003d \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel x) \\ cdot \\ frac (dx) (dt) + \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel y) \\ cdot \\ frac (DY) (DT) $$

b) $ z (u, v) \u003d z (x (u, v), y (u, v) $) izin verin, sonra kısmi türevler formüldedir:

$$ \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel u) \u003d \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel x) \\ cdot \\ frac (\\ parsiyel x) (\\ parsiyel u) + \\ frac (\\ parsiyel z) ( \\ Parsiyel y) \\ cdot \\ frac (\\ parsiyel y) (\\ parsiyel u) $$

$$ \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel v) \u003d \\ frac (\\ parsiyel z) (\\ parsiyel x) \\ cdot \\ frac (\\ parsiyel x) (\\ parsiyel v) + \\ frac (\\ parsiyel z) ( \\ Parsiyel y) \\ cdot \\ frac (\\ parsiyel y) (\\ parsiyel v) $$

Özel türevler dolaylı olarak belirtilen işlev

a) $ f (x, y (x)) \u003d 0 $, sonra $$ \\ frac (dy) (dx) \u003d - \\ frac (f "_x) (f" _y) $$

b) $ f (x, y, z) \u003d 0 $, sonra $$ z "_x \u003d - \\ frac (f" _x) (f "_z); z" _y \u003d - \\ frac (f "_y) (f" _y) ( F "_z) $$

Çözüm örnekleri

Her özel türev (tarafından x. ve y.) İki değişkenin fonksiyonları, bir değişkenin fonksiyonunun başka bir değişkenin sabit bir değeri ile normal bir türevidir:

(Nerede y.\u003d Const)

(Nerede x.\u003d Const).

Bu nedenle, özel türevler tarafından hesaplanır bir değişkenin türetilmiş fonksiyonlarını hesaplamak için formüller ve kurallar , diğer değişken sabiti (sabit) göz önüne alındığında.

Örneklerin analizine ve bunun için gerekli teorinin analizine ihtiyacınız yoksa ve yalnızca görevinizin çözümü gereklidir, sonra gidin. online özel türevlerin hesap makinesi .

Sabit fonksiyonun nerede olduğunu, ardından herhangi bir sayıyı değiştirmek için sabit bir değeri olan bir değişken yerine, örneğin taslak örneğinde, herhangi bir sayıyı değiştirmek için bir değişken örneğinde, daha sonra özel türevini hesaplamak mümkün olacaktır. bir değişkenin sıradan bir türev fonksiyonu olarak. Sadece sabitin konumuna geri dönmenin (sabit bir değere sahip değişken) ne zaman mümkün olduğunu unutmamak gerekir.

Yukarıda açıklanan özel türevlerin aşağıdaki özelliği, inceleme konularında yakalanabilecek özel bir türev tanımından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, aşağıdaki tanımla tanıyın, teorik yardımı açabilirsiniz.

Süreklilik Fonksiyonu Kavramı z.= f.(x., y.) Noktada, bir değişkenin işlevi için bu konsepte benzer şekilde belirlenir.

İşlev z. = f.(x., y.) Noktadan sürekli olarak adlandırılırsa

Fark (2) fonksiyonun tam artışı denir. z.(Her iki argümanın artışlarının bir sonucu olarak elde edilir).

İşlevin belirtilmesine izin verin z.= f.(x., y.) ve nokta

İşlev değiştirilirse z.Örneğin, argümanlardan sadece birini değiştirirken oluşur. x., başka bir argümanın sabit bir değeri ile y.Sonra fonksiyon artış alacak

özel artış denir f.(x., y.) tarafından x..

İşlevdeki değişikliği göz önüne alarak z.değişime bağlı olarak, argümanlardan sadece birindeki değişime bağlı olarak, aslında bir değişkenin işlevine gidiyoruz.

Sonlu bir sınır varsa

sonra özel bir türev fonksiyon denir f.(x., y.) Argüman tarafından x.ve karakterlerden biri tarafından belirtilir.

(4)

Benzer şekilde, özel artışlar belirlenir z.tarafından y.:

ve özel türev f.(x., y.) tarafından y.:

(6)

Örnek 1.

Karar. "X" değişkeninde özel bir türev buluyoruz:

(y.sabit);

"Igrek" değişkeninde özel bir türev buluyoruz:

(x.sabit).

Görülebileceği gibi, sabit olan bir değişkenin ne ölçüde olduğu önemli değildir: bu durumda, bir çarpan (ortak bir türev durumunda olduğu gibi) bir değişken olan, bir değişkeni olan belirli bir sayıdır. özel türev. Sabit bir değişken, özel bir türev bulduğumuz bir değişkenle çarpılmazsa, bu tek sabit, normal bir türev durumunda olduğu gibi, sıfıra kadar olduğu gibi, ne ölçüde kayıtsızdır.

Örnek 2.Dana özelliği

Özel türevleri bulun

(icsu tarafından) ve (igrek'de) ve noktadaki değerlerini hesaplar FAKAT (1; 2).

Karar. Sabit olarak y. Birinci terimin türevi, güç fonksiyonunun bir türevidir ( bir değişkenin türetilmiş fonksiyonlarının tablosu):

.

Sabit olarak x. Birinci terimin türevi, gösterge fonksiyonunun bir türevidir ve ikincisi, sabitin bir türevidir:

Şimdi bu özel türevlerin değerlerini noktada hesaplıyoruz FAKAT (1; 2):

Özel türevlerle görevlerin çözümünü kontrol edin hesap Makinesi Özel Türevleri çevrimiçi .

Örnek 3. Özel türetilmiş fonksiyonları bulun

Karar. Bir adımda buluruz

(y. x.Sanki sinüs argümanı 5 yaşındaymış gibi x.: Aynı şekilde 5, bir özellik işlevi olarak ortaya çıkıyor);

(x. Sabit ve bu durumda bir çarpanı olduğunda y.).

Özel türevlerle görevlerin çözümünü kontrol edin hesap Makinesi Özel Türevleri çevrimiçi .

Benzer şekilde, üç veya daha fazla değişkenin özel türevleri belirlenir.

Her değer grubu varsa ( x.; y.; ...; t.) Setten bağımsız değişkenler D.belirli bir değere karşılık gelir usetten E.T. udeğişkenlerin işlevi olarak adlandırılır x., y., ..., t.ve belirtir u= f.(x., y., ..., t.).

Üç ve daha fazla değişken fonksiyonları için geometrik yorum yoktur.

Birkaç değişkenin özel türevleri belirlenir ve ayrıca bağımsız değişkenlerden yalnızca birinin değiştiğini, diğerleri düzeltildiği varsayım olarak da hesaplanır.

Örnek 4. Özel türetilmiş fonksiyonları bulun

.

Karar. y. ve z. Sabit:

x. ve z. Sabit:

x. ve y. Sabit:

Özel türevleri bağımsız olarak bulun ve ardından çözümleri gör

Örnek 5.

Örnek 6.Özel türetilmiş fonksiyonları bulun.

Birkaç değişkenin fonksiyonunun özel türevi aynı bir değişkenin türev fonksiyonu olarak mekanik anlam - Bu, argümanlardan birinin değişimine göre işlevi değiştirme hızıdır.

Örnek 8. Akışın nicel değeri Praylı yolcular fonksiyonla ifade edilebilir

nerede P- yolcu sayısı, N.- İlgili eşyaların sakinlerinin sayısı, R.- Öğeler arasındaki mesafe.

Özel Türev Fonksiyonu Ptarafından R.eşit

yolcu akısındaki düşüşün, aynı sayıda sakinlerdeki karşılık gelen eşyalar arasındaki mesafenin karesi ile ters orantılı olduğunu göstermektedir.

Özel türev Ptarafından N.eşit

yolcuların akışındaki bir artışın, noktalar arasındaki aynı mesafede iki katına çıkan yerleşim yerleri ile orantılı olarak bir artış olduğunu göstermektedir.

Özel türevlerle görevlerin çözümünü kontrol edin hesap Makinesi Özel Türevleri çevrimiçi .

Tam diferansiyel

Özel türevin, ilgili bağımsız değişkenin artışı üzerindeki ürünü özel diferansiyel olarak adlandırılır. Özel diferansiyeller şu şekilde adlandırılır:

Tüm bağımsız değişkenlerdeki özel diferansiyellerin miktarı tam bir fark verir. İki bağımsız değişkenin işlevi için, tam diferansiyel eşitlik ile ifade edilir.

(7)

Örnek 9.Tam bir diferansiyel işlev bul

Karar. Formül (7) kullanmanın sonucu:

Bazı alanın her bir noktasında tam bir diferansiyel olan bir fonksiyon bu alanda farklı denir.

Tam bir diferansiyel bul, ve sonra kararı gör

Bir değişkenin bir fonksiyonu durumunda olduğu gibi, bazı bölgedeki fonksiyonun farklılığından bu alandaki sürekliliğini takip eder, ancak bunun tersi değil.

Fonksiyonun farklılığının yeterli bir durumunu kanıtlamadan formüle ediyoruz.

Teorem.Eğer işlev z.= f.(x., y.) sürekli özel türevlere sahiptir

bu alanda, bu alanda farklılaştırılır ve farkı formül (7) ile ifade edilir.

Bir değişkenin bir işlevi durumunda olduğu gibi, farklı fonksiyonun fonksiyonun artışının ana doğrusal parçası olduğu ve birkaç değişkenin işlevi durumunda, tam diferansiyelin ana doğrultusunda olduğu gösterilebileceği gösterilmiştir. , fonksiyonun tam artışının bir parçası olan bağımsız değişkenlerin artışlarına göre doğrusal.

İki değişkenin işlevi için, fonksiyonun tam artışıdır.

(8)

α ve β'nın sonsuz küçük olduğu ve.

Yüksek siparişlerin özel türevleri

Özel Türevler ve İşlevler f.(x., y.) Kendileri kendileri aynı değişkenlerin bazı işlevleridir ve sırayla, daha yüksek emirlerin özel türevleri olarak adlandırılan farklı değişkenlere göre türevlere sahip olabilir.

İki değişkenin işlevi belirtilmesine izin verin. Bir argüman artışı veriyoruz ve argüman değişmeden bırakılacak. Ardından, işlev, değişkenle özel artış olarak adlandırılan ve belirtilen bir artış alacaktır:

Benzer şekilde, argümanı sabitlemek ve argümanı artışa vermek, işlevin özel artışını değişken tarafından elde ediyoruz:

Değer, noktadaki tam övgü işlevi olarak adlandırılır.

Tanım 4. İki değişken fonksiyonunun bu değişkenlerden biri tarafından özel türevi, bu değişkenin bu değişkene yükselmesi için, fonksiyonun karşılık gelen özel artışının, bu değişkene (bu limit varsa). Özel türev tarafından gösterilir: veya veya veya.

Böylece, tanım gereği:

Özel türevler, aynı kurallara ve formüllere göre bir değişkenin fonksiyonu olarak hesaplanır, bir değişkene göre farklılaşma sırasında bir sabit olarak kabul edilir ve değişken bir sabit olarak farklılaştırırken bir sabit olarak kabul edilir.

Örnek 3. Özel türetilmiş fonksiyonları bulun:

Karar. a) Sabit değeri olduğunu ve bir değişkenin bir işlevi olarak farklılaştığımızı bulmak için:

Benzer şekilde, kalıcı değerler göz önüne alındığında, buluruz:

Tanım 5. Toplam diferansiyel fonksiyon, karşılık gelen bağımsız değişkenlerin artışları üzerine bu fonksiyonun özel türevlerinin eserleri olarak adlandırılır, yani.

Bağımsız değişkenlerin farklılıklarının artışlarıyla çakıştığını göz önünde bulundurarak, yani. , tam diferansiyel formül olarak yazılabilir

Örnek 4. Tam bir diferansiyel işlev bulun.

Karar. Çünkü, tam diferansiyel formüle göre, buluruz

Yüksek siparişlerin özel türevleri

Özel türevler ve özel birinci dereceden türevler veya ilk özel türevler denir.

Belirleme 6. Fonksiyonun kısmi türevleri, birinci dereceden özel türevlerden özel türevler denir.

İkinci dereceden özel türevler dört. Aşağıdaki gibi belirtilirler:

Benzer şekilde, 3., 4. ve daha yüksek emirlerin özel türevleri belirlenir. Örneğin, sahip olduğumuz işlev için:

Çeşitli değişkenlere göre alınan ikinci veya daha yüksek bir emrin özel türevleri, karışık özel türevler denir. Fonksiyonlar için türevlerdir. Karışık türevlerin sürekli olduğu durumlarda, eşitlik var.

Örnek 5. İkinci sipariş fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun

Karar. Örnek 3'te bulunan bu fonksiyon için ilk siparişin özel türevleri:

Farklılaştırmak ve değişkenler ve y, biz

İşlevin belirtmesine izin verin. X ve Y'den bağımsız değişkenler olduğundan, bunlardan biri değişebilir, diğeri değerini tasarruf etmek için. Bağımsız bir değişken X artışını veriyoruz, B değişikliğinin değerini tutuyoruz. Daha sonra Z, X'e göre Z'nin özel artışı olarak adlandırılan bir artış alacak ve belirtilir. Yani, .

Benzer şekilde, y üzerinde özel bir artış bulunduk:.

Z işlevinin tam artışı eşitlik tarafından belirlenir.

Bir sınır varsa, X değişkeninde noktada özel bir türev fonksiyon denir ve karakterlerden biri tarafından belirtilir:

.

Noktadaki X tarafından özel türevler genellikle sembollerle gösterilir. .

Benzer şekilde, Y değişkeninin özel türevi ile belirlenir ve gösterilir:

Böylece, birkaç (iki, üç ve daha fazla) değişken fonksiyonunun belirli bir türevi, kalan bağımsız değişkenlerin değerlerinin sabit olması şartıyla, bu değişkenlerden birinin bir türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, özel türevler, bir değişkenin türevlerini hesaplamak için formüller ve kurallardır (sırasıyla, X veya Y sabit bir değer olarak kabul edilir).

Özel türevler ve özel birinci dereceden türevler denir. İşlevler olarak kabul edilebilirler. Bu fonksiyonlar, ikinci dereceden özel türevler olarak adlandırılan özel türevlere sahip olabilir. Onlar belirlenir ve aşağıdaki gibi adlandırılırlar:

; ;

; .

İki değişkenin 1 ve 2'si fonksiyonun diferansiyelleri.

Tam diferansiyel işlev (Formula 2.5), birinci dereceden diferansiyel olarak adlandırılır.

Tam diferansiyel hesaplamak için formül aşağıdaki gibidir:

(2.5) veya nerede

Özel Diferansiyel Fonksiyonlar.

İşlevin sürekli özel ikinci dereceden türevlere sahip olduğunu varsayalım. İkinci sipariş farkı, formül tarafından belirlenir. Onu bul:

Buradan: . Bu şekilde sembolik olarak yazılmıştır:

.

Belirsiz integral.

Pred-like işlevi, belirsiz bir integral, özellikler.

F (x) işlevi denir pedo şeklindebu fonksiyon için F (x), F "(x) \u003d f (x) ise veya, DF (x) \u003d f (x) DX ise aynıdır.

Teorem. F (x), sonlu veya sonsuz uzunluğun bir aralığında (x) belirlenen fonksiyon, bir ilkel, F (x), daha sonra ve sonsuz bir şekilde pek çok ilkeline sahiptir; Hepsi, C (x) + c ifadesinde bulunur, burada C'nin keyfi bir sabittir.

Bazı aralıklarla tanımlanan veya final veya sonsuz uzunluğun bazı bölümlerinde F (x) tüm birincil fonksiyonların kombinasyonu denir. belirsiz ayrılmaz F (x) işlevinden [veya f (x) dx] ifadesinden ve sembolle belirtilir.

F (x) f (x) için ilkellerden biri ise, primer teoremlere göre

Nerede rastgele bir sabittir.

İlkel F "(x) \u003d f (x) ve dolayısıyla, DF (x) \u003d f (x) dx tanımına göre. Formül (7.1) 'de, F (x) kılavuz fonksiyonu olarak adlandırılır ve F (x ) DX, ifade edilmiştir.

Özel türevlerin bir değişkenin "sıradan" türevlerini bulmaktan elde edilmesini özetleyelim:

1) Özel bir türev bulduğumuzda T. değişken sabit olarak kabul edilir.

2) Özel bir türev bulduğumuzda T. değişken sabit olarak kabul edilir.

3) Türev temel fonksiyonların kuralları ve tablosu geçerlidir ve herhangi bir değişken için geçerlidir ( , ya da başka bir başkası), hangi farklılaşmanın yapıldığı.

İkinci adım. İkinci siparişin özel türevlerini buluyoruz. Dört onları.

Adımlar:

Veya - "x" ikinci türevi

Veya "igarek" nin ikinci türevidir.

Veya - karışık"İxes tarafından" türev

Veya - karışık"İK'lerde" türevi

İkinci türev kavramında karmaşık bir şey yoktur. Basit dilde, İkinci türev, ilk türevin bir türevidir.

Netlik için, zaten bulundu ilk dereceli özel türevleri yeniden yazacağım:

Önce karışık türevleri bulacağız:

Gördüğünüz gibi, her şey basittir: Özel bir türev alır ve tekrar ayırırız, ancak bu durumda zaten "igarek".

Benzer şekilde:

Pratik örnekler için, tüm özel türevler sürekli olduğunda, aşağıdaki eşitlik doğrudur:

Böylece, ikinci sıranın karışık türevleri sayesinde, kontrol edilmesi çok uygundur ve ilk siparişin özel türevlerini doğru bulup doğru bulabilirsiniz.

"X" nin ikinci türevini buluruz.

Hiçbir icat alamaz Ve tekrar "x" ile farklılaştırın:

Benzer şekilde:

Bulduğunuzda, göstermeniz gerektiği belirtilmelidir. artan dikkatKontrol için harika bir eşya olmadığından var.

Örnek 2.

Birinci ve ikinci dereceden fonksiyonun özel türevlerini bulun

Bu, bağımsız bir karar için bir örnektir (dersin sonunda cevap).

Belirli bir deneyimle, örneklerin sayısı 1,2 numaralı özel türevler sözlü olarak çözülecektir.

Daha karmaşık örneklere gidin.

Örnek 3.

Şunu kontrol et. Tam bir ilk sipariş farkını yazın.

Çözüm: İlk siparişin özel türevlerini bulun:

İkame Endeksi'ne dikkat edin:, "IKS" yanında, sabit olan parantez içinde yeniden oluşturulmaz. Bu işaret, yeni başlayanlar için kararda gezinmeyi kolaylaştırması için çok faydalı olabilir.

Daha fazla yorum:

(1) Türevinin belirtisi için tüm sabitlere dayanıyoruz. Bu durumda, ve çalışmaları sürekli bir sayı olarak kabul edilir.

(2) Köklerin nasıl ayırt edileceğini unutmayın.

(1) Türevin işareti için tüm sabitlere dayanıyoruz, bu durumda sabittir.

(2) İnme altında, iki fonksiyonun ürününü terk ettik, bu nedenle işin türetilmesini kullanmanız gerekir. .

(3) Bunun karmaşık bir fonksiyon olduğunu unutmayın (en basit karmaşık olmasına rağmen). Uygun kuralı kullanıyoruz: .

Şimdi ikinci siparişin karışık türevlerini buluyoruz:

Böylece, tüm hesaplamalar yerine getirilir.

Tam bir diferansiyel yazıyoruz. Görevi olarak kabul edilen görev bağlamında, iki değişkenin tam bir diferansiyel fonksiyonunun olduğunu söylemeye mantıklı değildir. Bunun en diferansiyelinin pratik görevlerde kaydetmek için çok sık olduğu önemlidir.

İki değişken fonksiyonunun ilk sırasının tam farkı:

.

Bu durumda:

Yani, formülde, daha önce bulunduğunuz ilk siparişli özel türevleri yerine getirmeniz gerekir. Farklı simgeler ve bu ve benzeri durumlarda, mümkünse sayısallara daha iyi kaydedilebilir.

Örnek 4.

İlk sipariş fonksiyonunun özel türevlerini bulun . Şunu kontrol et. Tam bir ilk sipariş farkını yazın.

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Komple çözüm ve örnek tasarım görevi - dersin sonunda.

Karmaşık fonksiyonlar içeren bir dizi örneği düşünün.

Örnek 5.

(1) Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulayın . Dersden Türev Kompleksi FonksiyonuÇok önemli bir nokta hatırlanmalı: Sinüsü masanın üzerine (dış fonksiyon) kosinüs içine çevirdiğimizde, daha sonra yatırım (dahili fonksiyon) değişmez.

(2) Burada köklerin özelliklerini kullanıyoruz:, türevin işareti için bir sabit tutarız ve kök farklılık için gerekli olan formda bulunur.

Benzer şekilde:

İlk siparişin tam farkını yazıyoruz:

Örnek 6.

İlk sipariş fonksiyonunun özel türevlerini bulun .

Tam bir diferansiyel yaz.

Bu, bağımsız bir karar için bir örnektir (dersin sonunda cevap). Tam çözüm, oldukça basit olduğu için getirmeyin

Oldukça sık, yukarıdaki kuralların tümü kombinasyon halinde uygulanır.

Örnek 7.

İşlevin ilk sırasının kısmi türevlerini bulun.

(1) Miktar farklılaşma kuralını kullanın.

(2) Bu durumda birinci terimin bir sabit olduğu kabul edilir, çünkü "IKS" ifadesinde "IKS" - yalnızca "Ignorax" ifadesine bağımlı bir şey olmadığı için.

(Kesir sıfıra girebildiğinde, her zaman hoş biliyorsunuz).

İkinci bileşen için, ürün farklılaşmasının bir türevini kullanıyoruz. Bu arada, algoritamda değişmeyecek, eğer işlev verildiyse - burada bulunmamız önemlidir. her biri "x" e bağlı olan iki fonksiyonun ürünüBu nedenle, ürünün bir türevini kullanmak gerekir. Üçüncü bileşen için, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulayın.