Skaler fonksiyonunun türevinin formülünü λ yönünde düşünün.

İkinci faktörler, λ kirişi tarafından yönlendirilen tek bir vektörün projeksiyonlarıdır.

Koordinat eksenlerinde, seçilen T. P (X, Y, Z) içindeki özel türevlerin değerleri olacak şekilde vektörü alıyoruz.

Bu vektör, U (x, y, z) fonksiyonunun degradi olarak adlandırılır ve mezuniyet

Tanım. U (x, y, z) fonksiyonunun degradası, bu fonksiyonun özel türevlerinin değerleri olan projeksiyonlar, yani, yani.

İşlevin bu yöndeki türevi, bu yönün birim vektörü başına fonksiyonun gradyanının skaler ürününe eşittir.

Skaler ürününü ortaya çıkarmak, biz

,

burada φ vektör arasındaki açıdır mezun. ve kiriş λ.

En büyük değere ulaşır

Bu nedenle, bu TR'deki türevin en yüksek değeri var ve Grad U yönü, fonksiyonun daha hızlı değiştiği, denemeden ayrılma yönü ile çakışıyor.

İşlevin gradyanının yönü ile skaler alanın yüzeyleri arasındaki ilişkiyi kuruyoruz.

Teorem. Her noktadaki U (x, y, z) işlevinin degradesi, bu noktadan geçen skaler alan seviyesinin yüzeyine normal ile çakışır.

Kanıt. Keyfi T. P 0 (X 0, Y 0, Z 0) seçin.

Yüzey denklemi

geçiş seviyesi

t. U (x, y, z) \u003d,

u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)

Denklem bu yüzeye T için normaldir.

Buradan normal olan rehber vektörün projeksiyonları olan (x, y, z) fonksiyonunun bir degradidir. P 0, BT.D.

Böylece, her noktadaki degrade, teğet düzlemine bu noktadan geçen seviyenin yüzeyine diktir, yani. Bu uçaktaki projeksiyonu sıfırdır.

Bu nedenle: Bu noktadan geçen seviyenin yüzeyini dikkate alarak herhangi bir yöndeki türev sıfırdır.

Degrade fonksiyonunun ana özellikleri:

2) Grad. nerede Sabit.

4) Grad.

Tüm özellikler, bir degrade işlevinin tanımı kullanılarak kanıtlanmıştır.

Misal. T. M (1, 1, 1) Skaler alanındaki en büyük değişimin yönünü ve bu değişikliğin büyüklüğünü bulun.

Kavram yönde türev İki ve üç değişken fonksiyonları için kabul edilir. Türevinin anlamını yönde anlamak için, türevleri tanımdan karşılaştırmanız gerekir.

Dolayısıyla

Şimdi formüle göre bu fonksiyon yönünde bir türev bulabiliriz:

Ve şimdi - ödev. Üç değil, ancak sadece iki değişken bir fonksiyon verilir, ancak birkaç aksi halde kılavuz vektörü belirtilir. Yani tekrar tekrarlamak zorundasın vektör cebir .

Örnek 2.Noktada bir türev fonksiyon bul M.0 (1; 2) Vektör yönünde nerede M.1 - Koordinatlarla işaret (3; 0).

Türevin yönünü tanımlayan vektör, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, bu formda verilebilir. ortop koordinat eksenleri tarafından ayrışma Ancak bu, vektör cebirinin başlangıcından itibaren tanıdık bir tema.

Örnek 3.Türev İşlev Bulun Noktada M.0 (1; 1; 1) Vektör yönünde.

Karar. Kılavuzu Cosines Vector bul

Noktada özel türevleri bulun M.0 :

Bu nedenle, formüle göre bu fonksiyon yönünde bir türev bulabiliriz:

.

Gradyan fonksiyonu

Degrade fonksiyonu noktada çoklu değişkenler M.0 Bu fonksiyonun maksimum büyümesinin yönünü karakterize eder. M.0 ve bu maksimum büyümenin büyüklüğü.

Degrade Nasıl Bulunur?

Belirlemeniz gerek vektör, projeksiyonlar koordinat ekseninde değerler özel türevler ,, bu özellik uygun noktada:

.

Yani, olmalı vektörin ortop koordinat eksenlerinin üzerine sunumu Özel türevin her bir Ort tarafından çarpıldığı.

1 0 Degrade normal boyunca düzlük yüzeye (veya düz alan ise seviye çizgisine) yönlendirilir.

2 0 Degrade, alan işlevinde bir artışa yöneliktir.

3 0 Degrade modülü, alan yönünde en yüksek türevine eşittir:

Bu özellikler degradenin değişmez özelliklerini verir. Gradutu vektörünün, bu noktadaki Skaler alanındaki en büyük değişikliklerin yönünü ve büyüklüğünü gösterdiğini gösteriyorlar.

Not 2.1.U (x, y) işlevi iki değişkenin bir fonksiyonu ise, sonra vektör

oksi düzleminde yatıyor.

U \u003d U (X, Y, Z) ve V \u003d V (X, Y, Z), fonksiyonun M 0 (x, y, z) noktasında farklılaştırılmıştır. Sonra aşağıdaki eşitlikler gerçekleşir:

a) grad () \u003d; b) Grad (UV) \u003d Vgradu + Ugradv;

c) Grad (u v) \u003d Gradu Gradv; d) g) grad \u003d, v;

e) Gradu (\u003d Gradu, nerede, u \u003d u () bir yazılım türevi vardır.

Örnek 2.1.U \u003d x 2 + y2 + z2 işlevi verilir. İşlevin gradyanını M (-2; 3; 4) noktasında belirleyin.

Karar. Formula'ya (2.2) göre

Bu skaler alanın seviyesinin yüzeyleri, Kürelerin ailesidir x 2 + y2 + z2, vektör Gradu \u003d (- 4; 6; 8), uçakların normal bir vektörüdür.

Örnek 2.2.Skaler alanının degradını bulun U \u003d X-2Y + 3Z.

Karar. Formula'ya (2.2) göre

Bu Skaler Alanın seviyesinin yüzeyleri uçaktır

x-2Y + 3Z \u003d C; Vektör Gradu \u003d (1; -2; 3) Bu ailenin düzlemlerinin normal bir vektörü var.

Örnek 2.3. M (2; 2; 4) noktasında U \u003d x Y yüzeyinin en büyük dikliğini bulun.

Karar. Sahibiz:

Örnek 2.4. Skaler alanının seviyesinin yüzeyine normalin tek bir vektörünü bulun U \u003d x 2 + y2 + z2.

Karar.Bu Skaler Alan-Küre X 2 + Y2 + Z 2 \u003d C (C\u003e 0) yüzey seviyeleri.

Degrade, seviyenin yüzeyine normal şekilde yönlendirilir, bu nedenle

Normalin vektörünü M (x, y, z) noktasındaki seviyenin yüzeyine belirler. Tek normal vektör için ifade elde ettik

Örnek 2.5. U \u003d, nerede ve kalıcı vektörler, r -Dius vektör noktalarının degradını bulun.

Karar. İzin vermek

Sonra:. Belirleyicinin farklılaşma kuralına göre

Dolayısıyla

Örnek 2.6.P (x, y, z) alanın çalışılan noktası olduğu bir mesafe degrade bulun, P 0 (X 0, Y 0, Z 0) bazı sabit noktadır.

Karar. Biz var - tek yön vektör.

Örnek 2.7. M 0 (1,1) noktasındaki fonksiyonların gradyanları arasındaki açıyı bulun.

Karar. Bu fonksiyonların gradyanlarını M 0 (1,1) noktasında buluyoruz,

; M 0 noktasındaki Gradu ve Gradv arasındaki açı eşitlikten belirlenir

Bu nedenle \u003d 0.

Örnek 2.8. Türev yönünü bulun, yarıçapı - vektör eşittir

Karar.Bu fonksiyonun degradını buluruz:

(2.5) 'in (2.4)' ı değiştirdikten sonra

Örnek 2.9. M 0 (1; 1; 1) noktasında bulun. Skaler alanındaki en büyük değişimin yönü U \u003d XY + YZ + XZ ve bu noktadaki bu en büyük değişikliğin büyüklüğü.

Karar. Alandaki en büyük değişikliklerin yönü, LINK U (M) vektörü ile gösterilir. Bul onu:

Ve bu demek. Bu vektör, bu alandaki en büyük artış yönünü M 0 (1; 1; 1) noktasında tanımlar. Bu noktadaki alandaki en büyük değişimin büyüklüğü

Örnek 3.1.-Tren vektörün vektör satırı vektör alanları bulun.

Karar.Biz var ki

İlk fraksiyonun numarasını ve payını x, ikincisi, üçüncü harf ve uzanarak çarpın. Oranın özelliğini kullanma

Dolayısıyla XDX + YDY + ZDZ \u003d 0, bu demektir ki

x 2 + y2 + z 2 \u003d a 1, 1 -Const\u003e 0. Şimdi birinci fraksiyonun (3.3) sayısının sayısını ve payını C1'de, ikincisi olan 2, 3 olan üçüncü olan ve ölçümü katlayarak,

1 DX + C 2 DY + C3 DZ \u003d 0

Ve bu nedenle, 1 x + c2 y + c3 z \u003d a ile 2. 2 -Const.

Vektör çizgilerinin istenen denklemleri

Bu denklemler, vektör hatlarının, koordinatların başında ortak bir merkeze sahip alanların kesiştiği sonucu elde edildiğini göstermektedir. Buradan, vektör çizgilerinin daireler olduğu, merkezlerin, menşeden geçen düz bir çizgide vektör p yönünde bulunan düz bir çizgide bulunduğunu takip eder. Dairelerin düzlemleri belirtilen doğrudan yönde diktir.

Örnek 3.2.Noktadan geçen alanların bir vektör hattı bulun (1.0.0).

Karar. Diferansiyel denklemler vektör hatları

Buradan biz var. İlk denklemi çözme. Veya T parametresini girerseniz, bu durumda denklem, Z \u003d BT + C2'sinden, Form veya DZ \u003d BDT'yi alır.

Ders 15. "Birkaç değişkenin fonksiyonunun farklılaşması"

İki değişkenin degrade fonksiyonu ve yönde türev.

Tanım. Gradyan fonksiyonu

vektör denilen

.

Fonksiyon gradyanının belirlenmesinden görülebileceği gibi, degrade vektörün bileşenleri özel türevlerdir.

Misal. Fonksiyon gradyanını hesaplayın

noktası A'da (2,3).

Karar. Özel türevleri hesaplayın.

Genel olarak, kalite degrade:

=

Noktasının koordinatlarını (2,3) özel türevlerin ifadelerinde ikame ediyoruz.

Bir noktadaki fonksiyonun gradyanı (2,3) formuna sahiptir:

Benzer şekilde, üç değişkenin işlevlerinin degradi kavramını belirlemek mümkündür:

Tanım. Üç değişkenden fonksiyonun gradyanı

vektör denilen

Aksi takdirde, bu vektör aşağıdaki gibi kaydedilebilir:

Tanım yönde türev.

İki değişkenin işlevi belirtilmesine izin verin

ve keyfi vektör

Bu vektörün bu vektörün artışını düşünün

Şunlar. Vektörle vektör ile ilgili kolliniar. Argümanın artışının uzunluğu

Bir yöndeki türev, argümanın uzunluğu 0 için çalıştığında, argüman artışının uzunluğu için fonksiyonun artışının artışının sınırının sınırını denir.

Türevini yönde hesaplamak için formül.

Degradenin tanımına dayanarak, yöndeki türev fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

bazı vektör. Aynı yönde vektör ancak tek Çağrı uzunlukları

Bu vektörün koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır:

Türev yönünün belirlenmesinden itibaren, yöndeki türev aşağıdaki formüle göre hesaplanabilir:

Bu formülün sağ tarafı iki vektörün skaler bir ürünüdür.

Bu nedenle, yöndeki türev aşağıdaki formül olarak gösterilebilir:

Bu formülden, degrade vektörün birkaç önemli özelliği vardır.

Gradyanın ilk özelliği, iki vektörün skaler ürününün, vektör yönünde çakıştığında en büyük değeri aldığı gerçeğinden sonra takip eder. İkinci mülk, dikey vektörlerin skaler ürününün sıfır olduğu gerçeğinden itibaren takip eder. Ek olarak, ilk mülkten, gradyanın geometrik anlamını izler - degrade, en yüksek yönün türevinin yönünde bir vektördür. Yöndeki türev, eğim açısının fonksiyonun yüzeyine teğetini belirlediğinden, gradyan en büyük eğik dil boyunca yönlendirilir.

Örnek 2. İşlev için (Örnek 1'den)

Türevini yönde hesaplar

noktası A'da (2,3).

Karar. Türevini yönde hesaplamak için, degrade vektörünü belirtilen noktada ve birim yönü vektöründe hesaplamak gerekir (yani normalize edin).

Degrade vektör Örnek 1'de hesaplandı:

Tek yön vektör hesaplamak:

Türevini yönde hesaplayın:

# 2. Birkaç değişkenin maksimum ve minimum fonksiyonları.

Tanım. İşlev

Noktasında maksimum (yani ve), eğer

Tanım. Oldukça benzer şekilde fonksiyonu söylüyor

Asgari noktada (yani, ve), eğer

tüm noktalar için, noktaya kadar yakın ve ondan farklı.

Fonksiyonların maksimum ve minimum, fonksiyonun ekstremumları denir, yani bu fonksiyonun maksimum veya en azından noktada olması durumunda, işlevin belirli bir noktada bir aşırıya sahip olduğu söylenir.

Örneğin, bir fonksiyon

X \u003d 1 ve y \u003d 2'de belirgin bir minimum Z \u003d -1'e sahiptir.

X \u003d 0 ve y \u003d 0'daki noktada maksimum bir maksimum sahiptir.

Teorem. (Ekstremyumun gerekli koşulları).

İşlev, bir aşırıya ulaşırsa, birinci sıranın her bir özel türevine Z'den her bir özel türevi veya argümanların bu değerlerinde sıfıra döner veya yoktur.

Yorum Yap. Bu teoremi, fonksiyonun aşırı değerleri sorusunu incelemek için yeterli değildir. Bazı noktalarda sıfır özel türevlere sahip olan fonksiyonların örnekleri verilebilir, ancak bu noktada bir aşırılık yoktur.

Misal. Sıfır özel türevleri olan fakat bir aşırıya sahip olmayan işlevler.

Aslında:

Yeterli ekstremum koşulları.

Teorem. Bir nokta içeren bazı bölgelere izin verin, fonksiyonun üçüncü siparişe dahil olmak üzere sürekli özel türevlere sahiptir; Buna ek olarak, nokta, işlevin kritik bir işlevidir, yani.

Sonra ne zaman

Örnek 3.2. Maksimum ve minimum işlevi keşfedin

Kritik noktaları bulacağız, yani. İlk özel türevlerin sıfıra eşit olduğu veya var olmadığı noktalar.

İlk önce, özel türevleri kendilerini hesaplayın.

Özel türevleri sıfır eşitleyin ve aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözün

İkinci denklemi 2 için çarptık ve ilk ile katlandık. Denklemi sadece Y'dan çıkıyor.

İlk denklemde buluruz ve değiştiriyoruz

Dönüştürmek

Sonuç olarak, nokta () kritiktir.

İkinci sıranın ikinci türevlerini hesaplıyoruz ve kritik noktaların koordinatlarını yerine getiriyoruz.

Bizim durumumuzda, ikinci türevler sayılar olduğundan, kritik noktaların değerlerinin yerine geçilmesi gerekli değildir.

Sonuç olarak, biz var:

Sonuç olarak, bulunan kritik nokta bir aşırılık noktasıdır. Üstelik, o zamandan beri

sonra bu nokta minimumdur.

Kısa teori

Degrade, yönü, yönü, f (x) fonksiyonundaki maksimum hızlı artışın yönünü belirtir. Bu vektör değerini bulmak, özel türetilmiş fonksiyonların tanımı ile ilişkilidir. Yönteki türev bir skaler değerdir ve bazı vektör tarafından belirtilen yön boyunca sürüş sırasında fonksiyon değişikliği oranını gösterir.

Sorunu çözme örneği

Görev

Danies özelliği, nokta ve vektör. Bulmak:

Sorunun çözümü

Bir degrade işlevini bulmak

1) Noktadaki işlevin degradını bulacağız:

İstenen gradyan:

Vektör yönünde bir türev bulma

2) Vektörin yönünde bir türev bulun:

nerede-Çin, vektör ve eksen tarafından oluşan

Noktadaki istenen türev:

Fiyat, çözeltinin aciliyetini güçlü bir şekilde etkiler (günden birkaç saate kadar). Sınav / STANDING'TA SINAVI YARDIMCISI Randevu ile gerçekleştirilir.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atarak ve ihtiyacınız olan kararı bildiren sohbette bırakılabilir. Cevap zamanı - birkaç dakika.