Sonsuz ve sonsuz fonksiyonun sonsuzdaki sonsuz sınırlarının tanımları Cauchy tarafından. Bilateral ve tek taraflı sınırların tanımları (sol ve sağ). Cauchy'nin tanımını kullanarak, sonsuzluk sınırının belirtilen değere eşit olduğunu göstermek için gerekli olan görev çözümlerinin örnekleri.

Ayrıca bakınız: Nokta çevresi
Heine ve Cauchy üzerindeki fonksiyon sınırının evrensel tayini

Sonsuzluk üzerindeki fonksiyonun son sınırı

Sonsuzlukta Sınırlama Fonksiyonu:
| F (x) - A |< ε при |x| > N.

Cauchy limit tanımı
A numarasının fonksiyonun sınırı olarak adlandırılır. F. (x) x arayan sonsuzluk () ile
1) Böyle | x | \u003e
2) Herhangi biri için keyfi olarak küçük pozitif sayı ε > 0 , Böyle bir sayı var n ε \u003e K.ε'a bağlı olarak, tüm X, | x | \u003e N ε, fonksiyonun değerleri ε'a aittir - noktanın mahallesi:
| F. (x) - A |< ε .
Sonsuzluktaki fonksiyonun sınırı aşağıdaki gibi belirtilmiştir:
.
Veya at.

Ayrıca aşağıdaki isimleri de kullandı:
.

Bu tanım, varoluş ve evrenselliğin mantıksal sembollerini kullanarak yazıyoruz:
.
Burada değerlerin fonksiyon tanım alanına ait olduğu anlaşılmaktadır.

Tek taraflı sınırlar

Sonsuzlukta sol limit fonksiyonu:
| F (x) - A |< ε при x < -N

Fonksiyonun yalnızca X değişkenin pozitif veya negatif değerleri için (noktanın mahallesinde daha kesin olarak veya) tanımlandığında genellikle durumlar vardır. Ayrıca pozitif ve negatif değerler için sonsuzluğun sınırları farklı değerlere sahip olabilir. Sonra tek taraflı sınırlar kullanın.

Sonsuz bir uzak noktada sol limit ya da x ile limit eksi infinity () gibi görünüyordu şöyle belirlenir:
.
Sonsuz bir uzak noktada doğru limit veya Plus Infinity () için x için X'in sınırı:
.
Sonsuzluğundaki tek taraflı sınırlar genellikle aşağıdaki gibi belirtilir:
; .

Sonsuzluktaki sonsuz fonksiyon sınırı

Sonsuzluktaki fonksiyonun sonsuz sınırı:
| F (x) | \u003e M ile m | x | \u003e N.

Sonsuz Cauchy Sınırının Tanımı
Funtion Sınırı F. (x) X, Infinity () aradığında, sonsuzluğa eşittir, Eğer bir
1) Böyle bir uzaktan kumandadaki bir mahalle var | x | \u003e K, fonksiyonun belirlendiği (burada K pozitif bir sayıdır);
2) Herhangi biri için keyfi olarak büyük sayı m > 0 , böyle bir sayı var n m var \u003e K.M'ye bağlı olarak, tüm X, | x | \u003e N m, fonksiyonun değerleri, sonsuz bir uzak noktanın mahallesine aittir:
| F. (x) | \u003e M..
X'in görünen sonsuzluğu için sonsuz limit aşağıdaki gibi belirtilmiştir:
.
Veya at.

Mantıksal varoluş ve evrensellik sembollerinin yardımıyla, fonksiyonun kesin sınırı aşağıdaki gibi yazılabilir:
.

Benzer şekilde, bazı işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımları eşittir ve tanıtılır.
.
.

Sonsuzluktaki tek taraflı sınırların tanımları.
Sol limitler.
.
.
.
Doğru sınırlar.
.
.
.

Heine tarafından fonksiyonun sınırını belirleme

A numaralı (sonlu veya sonsuz uzaktan kumanda), limit fonksiyonu olarak adlandırılır. (x) X noktasında. 0 :
,
Eğer bir
1) Böyle bir uzak noktadan oluşan bir mahalle var x 0 fonksiyonun tanımlandığı (burada veya veya veya);
2) Herhangi bir dizi için (xn)X'e yakınlaştırma 0 : ,
Elemanları mahallede, sekansa ait (F (xn)) bir dönüştürme:
.

Bir mahalle olarak bir işaret olmadan sonsuz bir uzak noktanın çevresini alırsanız: Sonra X sonsuzluğunu ararken işlevin sınırını elde ederiz. Sonsuz uzak bir noktadan sol taraflı veya sağ elden bir mahalle alırsanız X 0 : Veya, Sırasıyla eksi sonsuzluğa ve artı sonsuzluğa başvuran, X ile sınırın belirlenmesini elde ediyoruz.

Heine ve Cauchi'deki sınırın belirlenmesi eşdeğerdir.

Örnek

Örnek 1.

Cauchy Tanım Şovunu Kullanma
.

Notasyonu tanıtıyoruz:
.
İşlev tanımı alanını bulun. Fraksiyonun sayısal ve paydası polinomlar olduğundan, fonksiyon, payın sıfıra eklediği noktaların yanı sıra tüm x için tanımlanır. Bu noktaları bulun. Kare denklemini çözüyoruz. ;
.
Kökü denklemler:
; .
O zamandan beri.
Bu nedenle, işlev tanımlanır. Bu gelecekte kullanacağız.

Fonksiyonun nihai sınırının tanımını Cauchy tarafından sonsuzlukta icat ediyoruz:
.
Farkı değiştiriyoruz:
.
Numarayı ve paydayı açıp çoğalırız -1 :
.

İzin vermek .
Sonra
;
;
;
.

Böylece, ne zaman bulduk.
.
.
Dolayısıyla bunu takip ediyor
ve ve.

Her zaman artırabileceğinizden, sonra alın. Sonra herkes için
AT.
Bu demektir .

Örnek 2.

İzin vermek .
Bunu göstermek için Cauchy limitinin sınırını kullanarak:
1) ;
2) .

1) x eksi sonsuzluğa çabalayan x ile çözüm

O zamandan beri, işlev tüm x için tanımlanır.
İşlevin sınırının belirlenmesini eksi sonsuzluğa eşittir:
.

İzin vermek . Sonra
;
.

Böylece, ne zaman bulduk.
.
Pozitif sayılar tanıtıyoruz ve:
.
Herhangi bir pozitif sayı için, bir sayı var, böylece
.

Bu demektir .

2) X'in artı sonsuzluğa çaba gösterme ile çözüm

Kaynak işlevini dönüştürüyoruz. Kesirin makası ve paydaşını çarpın ve kare fark formülü:
.
Sahibiz:

.
Fonksiyonun doğru sınırının tanımını şu durumlarda icat ediyoruz:
.

Tanımını tanıtıyoruz :.
Farkı değiştiriyoruz:
.
Sayısal ve paydayı ile çarpın:
.

İzin vermek
.
Sonra
;
.

Böylece, ne zaman bulduk.
.
Pozitif sayılar tanıtıyoruz ve:
.
Dolayısıyla bunu takip ediyor
Ne zaman ve.

Herhangi bir pozitif numara için yapıldığından, o zaman
.

Referanslar:
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz kursu. Cilt 1. Moskova, 1983.

Bu yazıda sınırları nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz?

Sınırların çözeltisi, matematiksel ve hesaplama analizinin önemli bölümlerinden biridir. Birçok öğrenci ve üniversiteler öğrencisi, diğerleri sürekli olarak aynı soruyu sorduğunda özgürce başa çıkıyor: "Sınırları nasıl çözeceksiniz?". Sınırları bulmak konu konuyla ilgilidir. Sınırları çözmenin birçok yolu vardır. Lopital yasalara göre aynı sınırlar ve yardımı olmadan bulunabilir. Ancak, ilk başta limitin ne olduğunu çözmeliyiz?

Sınırın üç kısmı var

Birincisi, tüm ünlü LIM simgesine, ikincisi, bunun altında yazılmış olan budur.

Örneğin: x -\u003e 1. Bu giriş okunacak (X 1 için çalışıyor).

Üçüncü kısım, lim imzasından sonra duran fonksiyondur.

Netleştirmek istiyorum, X'in değeri 1 için çabalıyor, bu değerdir. x.hangi h. Bir veya neredeyse aynı olan belirli değerleri alır.

Sınırlarınızı belirleyin, çözerseniz kolaydır.

Çözüm sınırlarının ilk kuralı

İşlev bize verilirse, işlevdeki numarayı değiştirin. Bu, örneklerde ve çok sık bulunan temel sınırlardır.

X-\u003e 'nin sınırları var mı? Sonsuzluk, X'in sonsuz şekilde arttığı işlevdir. Böyle bir fonksiyonun değeri (1). Bu sınırı çözmek için, değeri (1) işlevi yerine koymak ve cevabı almak için ilk kuralımızı takip etmeliyiz.

Yukarıda olandan en zor sınırları çözmeyi öğrenmek İlköğretim sınırlarının çözümünün kurallarını hatırlamanız gerekir.

• Önce kural: Bir fonksiyon verilir, numarayı fonksiyona değiştirin.
• İkinci kural: Sonsuzluk verilir, (1) fonksiyona değiştiririz.

Bunu anladıktan hemen sonra, hemen temel sınırları fark etmeye başlayın ve bunları çözebilir.Bu yüzden ışık sınırlarını çözmeyi öğrendik. Şimdi daha karmaşık sınırların çözümüyle tanışın.

Birçok sınır var mı? Bu seçeneklerden biri limittir? /?

Böyle bir işlev, X-\u003e?, Ve limit bir kesir olarak ifade edildiğinde mümkündür.

Birçoğu böyle bir sınırı çözüp çözmekle ilgileniyorlar?

Hatırlatmanız gereken ilk şey, kıdemde X nüce nüce bulmaktır. Numarator'taki tüm X derecelerinde.

LIM + (X -\u003e?)? ((2x ^ 2-3x-4) / (3x ^ 2 + 1 + x)) ^?

Numarator'daki en büyük derecenin 2 olduğunu görüyoruz.

Şimdi, en çok mezheple yapmamız gerekiyor. Korominatörde, daha büyük derece de 2.

Prensip: Bu işlevi çözmek için, sınırdaki en eski dereceye kadar X'e bölünmeyi ve bölünmeyi de ayırmalıyız. Eğer 2'ye eşit olsaydı 2'ye eşit olsaydı, 4'ün derecesi 4 idi ve denominator 2, o zaman 4. seçerdik çünkü bize verilen fonksiyonlardaki en büyük derecedir. Türlerin sınırlarını çözmeyi ne kadar çabuk öğrendik? /?

Şimdi en zor sınırların çözümünü düşünün. Bu, 0/0 tipidir.

Bu tür sınırlar bize, sonsuzluğun sonsuzluğunun çözümünü hatırlatıyor. Ancak çözülürken hatırlanması gereken bir fark var. X sonsuzluk için çabaladığında, sonsuz şekilde artmaktadır ve burada 0, yani 0'a eşittir. sonlu sayı.

Benzer bir işlevi çözmek için, ve sayılar ve paydalar çarpanlarda ayrışır. 6. sınıftan bize bilinen ilköğretim ayrımcılığı elde etmek. Ayrımcıyı hesaplayın ve işlevlerimizin cevaplarını değiştirin. Sonlu bir cevap bulun.

Kural: Bir numaraya veya payda varsa, bu braket için bir tür numara alabilirsiniz, o zaman düşünmeden, dayandığınızdan emin olun.

Daha karmaşık sınırları çözmenin birçok farklı yolu vardır. Bunlardan biri yedek yöntemidir. Herhangi bir değişkeni sürekli olarak çarpanlara yerleştirin. Çok sık bu yöntem, karmaşık limitten ilk harika sınırı yapmak için kullanılır.

Örneğin daha ayrıntılı görünelim.

Misal: lIM + (X-\u003e 0)? (ARCTG4X / 7X) ^?

Karar: İşlevimizin, geçtiğimiz 0/0 belirsizlik biçiminde sunulduğunu görüyoruz.

LIM + (X-\u003e 0)? (ARCTG4X / 7X) ^? \u003d 0/0.

Arctangent sınırında, kurtulmak için gereken kötü bir işlev görüyoruz. Basit ve hafif bir harfe dönüşmek için Archangent olursak bizim için çok rahat olacak.

Değiştireceğiz: ARCTG Y'nin yerine. Ve çözme sürecinde, arctangens y olarak adlandırılacaktır. Eğer ximiz sıfır için çaba gösteriyorsa, arctangenes y üzerinde değiştirdik, sonra Y'nin sıfır için çaba göstermesini de yazın. Her şey, mezhepte kaldığımız bu arsız boyunca x ifade etmek için. Bunu yapmak için, her iki eşitlikte de tg ekliyoruz

İfadeler bu türleri elde edecektir:

Tg (arctg4x) \u003d tgy

Sol tarafta, kaldırdığımız iki işlev, dönüştürülür ve kaybolurlar.

Bizde hala var:

4x \u003d tgu, bu nedenle: x \u003d tgy / 4

Ve şimdi en ilkinci:

LIM + (X-\u003e 0)? (Y / (7 * TGY / 4)) ^?

Devam et. İçinde sadece bir harika sınır yoktur ve onlar ikisidir. Şimdi biz sadece ikinci bir harika sınır kavramıyla çözmeyeceğiz, aynı zamanda karar vermeyi de öğreneceğiz. Türlerin belirsizliğini çözmek için ikinci olan ikinci, 1 ^? Matematikte, böylece bir (x) -\u003e? Bu fonksiyonun bu türü en kolay olanıdır, işlevleri ve daha zor olan, sonsuzluğa çeken en önemli şey var.

Sınırımızın bir dereceye kadar olduğunda, böyle bir ifadenin ikinci harika sınırı çözmemize yardımcı olacağı ana işarettir olduğu unutulmamalıdır. Şimdi, çok sık bulunan örnekte daha ayrıntılı olarak tartışacağız, detaylı olarak öğrenmesini tavsiye ederim.

Dan ABD Sınırı: LIM + (X -\u003e?)? ((X-2) / (x + 1)) ^ (2x + 3)?

Bu tür tür (?/?)^ ? İkinci harika limit, böyle bir tür, bildiğimiz gibi, 1 ^?, Bunun türünü çözer, bunun için fonksiyonumuz başka bir görünüme dönüştürülmelidir. Korominatorda, x + 1'i görüyoruz, bu, numberatörde de x + 1 olması gerektiği anlamına geliyor.

LIM + (X -\u003e?)? ((X + 1-3) / (x + 1)) ^ (2x + 3)?

Şimdi bize numarayı paydaşa pürüzsüzleştirmek gerekir. O zaman vakfımız belirsizliğimize benzer, ancak bizi rahatsız eden bir eksi işareti var. Üç katlı fraksiyon yapıyoruz ve belirsizliğimizi görüyoruz? /? Ve böyle bir işlevi nasıl hesaplayacağınızı zaten biliyoruz. Kesirin her iki bölümünü x üzerinde böleriz ve hazırız. Bir cevabımız var.

Seni tebrik etmek istiyorum, sevgili okuyucular, sınırları çözmeyi öğrendin. Umarım makalem bilgilendirici, heyecan verici ve ilginçti!

İlköğretim fonksiyonları ve grafikleri.

Ana temel fonksiyonlar şunlardır: bir güç fonksiyonu, bir gösterge edici fonksiyon, bir logaritmik fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ve ters trigonometrik fonksiyonların yanı sıra iki polinomun oranı olan bir polinom ve rasyonel fonksiyondur.

İlköğretim fonksiyonları, ana dört aritmetik eylemi ve karmaşık bir fonksiyonun oluşumunu uygulayarak temelden elde edilen işlevleri içerir.

İlköğretim fonksiyonlarının çizelgeleri

	Düz - Doğrusal fonksiyon programı y \u003d AX + B. Monik olarak Monotonik olarak artar, a\u003e 0'da azalır ve< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabol - Kare Üç Kişilik Fonksiyonunu Zamanlayın y \u003d AH 2 + BX + ile. Dikey bir simetri ekseni vardır. A\u003e 0 ise, minimum varsa,< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения aX 2 + BX + C \u003d 0
	Hiperbol - İşlev Takvimi. A\u003e o, I ve III'ün çeyreğinde bulunur.< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) veya y - - x (a< 0).
	Üstel fonksiyon. Katılımcı (e temelinde gösterge işlevi y \u003d e x. (Diğer yazı y \u003d Ехр (x)). Asymptotta - Abscissa ekseni.
	Logaritmik fonksiyon y \u003d log a x (A\u003e 0)
	y \u003d sinx. Sinüsoid - T \u003d 2π periyotlu periyodik fonksiyon

Sınırlama işlevi.

Y \u003d F (x) fonksiyonu, x k a, eğer herhangi bir sayı için ε\u003e 0 gibi bir sayı δ\u003e 0 olması durumunda sınırın bir numarasına sahiptir. Y - A | \u003cΕ if | x - a | \u003cΔ,

veya lim y \u003d a

Süreklilik fonksiyonu.

Y \u003d F (x) işlevi, LIM F (x) \u003d f (a), yani

x \u003d A noktasındaki fonksiyonun sınırı, bu noktadaki fonksiyonun değerine eşittir.

İşlevlerin sınırlarını bulmak.

Fonksiyonların sınırları hakkındaki ana teoriler.

1. Sabit değerin sınırı bu sabite eşittir:

2. Cebirik miktarın sınırı, bu fonksiyonların sınırlarının cebirsel toplamına eşittir:

lIM (F + G - H) \u003d LIM F + LIM G - LIM H

3. Birkaç fonksiyonun ürününün sınırı, bu fonksiyonların sınırlarına eşittir:

lIM (F * G * H) \u003d LIM F * LIM G * LIM H

4. Özel iki fonksiyonun sınırı, eğer payda sınırı 0'a eşit değilse, bu fonksiyonların özel sınırlarına eşittir:

lIM ------- \u003d ----------

İlk Harika Sınır: LIM --------- \u003d 1

İkinci harika limit: LIM (1 + 1 / x) x \u003d e (E \u003d 2, 718281 ..)

Bulma fonksiyonlarının örnekleri.

5.1. Misal:

Herhangi bir sınır üç bölümden oluşur:

1) Bilinen tüm limit rozeti.

2) Sınır simgesinin altındaki kayıtlar. "X bir tane için çabalıyor". En sık - x, "IKSA" yerine başka bir değişken olabilir. Ünitenin sitesinde, tamamen herhangi bir sayı, sonsuzluk 0 veya.

3) Bu durumda sınırın işareti altında işlevler.

Kendini kaydetme Bunun gibi okunur: "X'deki fonksiyonun sınırı bir tane arıyor."

Çok önemli bir soru - "x ifadesi ne? çaba göstermek birim "? İfade "ix çaba göstermek Birliğe "" X "olarak anlaşılmalıdır, sürekli olarak değerler alır, bunlardan birine sonsuz bir şekilde yakın ve neredeyse bir tanesi çakışıyor.

Yukarıdaki örneği nasıl çözebilirim? Yukarıdakilere dayanarak, bir birimin limitin işareti altında duran bir fonksiyona ayırması gerekir:

Yani, ilk kural : Sınır verildiğinde, önce numarayı fonksiyona değiştirmeniz gerekir.

5.2. Sonsuzluk ile Örnek:

Ne olduğunu anlıyoruz? Bu, süresiz olarak arttığında durum budur.

Yani: eğer , sonra işlev eksi sonsuzluk için çaba gösterir:

İlk kuralımıza göre, "iksa" yerine fonksiyona ikame ediyoruz. sonsuzluk ve cevabı al.

5.3. Sonsuzluk ile başka bir örnek:

Yine, sonsuzluğa yükselmeye başlıyoruz ve fonksiyonun davranışına bakıyoruz.
Sonuç: Harf işlevleri artıyor

5.4. Örnek serisi:

Aşağıdaki örnekleri bağımsız olarak analiz etmeye çalışın ve en basit sınır türlerini çözmeye çalışın:

, , , , , , , , ,

Hatırlanması ve yukarıdakilerden anlaması gerekenler?

Herhangi bir sınır verildiğinde, önce numarayı fonksiyona ayırın. Aynı zamanda, gibi en basit sınırları anlamanız ve derhal çözmelisiniz. , , vb.

6. Türün belirsizliği ile sınırlar ve onları çözmek.

Şimdi, limit grubuna ne zaman bakacağız ve fonksiyon, sayısındaki bir fraksiyon ve polinomlar olan bir fraksiyondur.

6.1. Misal:

Sınırı hesapla

Kuralımıza göre, fonksiyona sonsuzluğa bakıyor. En üste ne alıyoruz? Sonsuzluk. Ve altta ne olur? Ayrıca sonsuzluk. Böylece, türlerin sözde belirsizliğine sahibiz. Bununla birlikte \u003d 1 ve cevabın hazır olduğunu düşünmek mümkün olacaktır, ancak genel olarak hiç olmadığı ve şimdi düşündüğümüz bazı kararlar uygulamanız gerekir.

Bu türün sınırlarını nasıl çözebilirim?

İlk önce sayıya bakıyoruz ve yüksek dereceye bakıyoruz:

Numarator'daki daha büyük derece iki.

Şimdi payda bakıyoruz ve ayrıca yüksek dereceye bakıyoruz:

Daha eski küçük payda iki eşittir.

Ardından, sayısının en büyüğünü ve payın en büyük derecesini seçiyoruz: bu örnekte örtüştüler ve iki kez eşittir.

Böylece, çözüm yöntemi aşağıdaki gibidir: belirsizliği ortaya çıkarmak için numarayı ve paydayı üzerine bölmek için gereklidir. yüksek derecede.

Böylece, cevap ve hiç değil.

Misal

Bir sınır bul

Yine numberator ve payderinizde üst dereceye kadar buluruz:

Sayısaldaki maksimum derece: 3

Mezarlıkta maksimum derece: 4

Seç Çoğu Bu durumda değer dört.
Algoritmamıza göre, belirsizliği açıklamak için sayısal ve paydayı açın.

Misal

Bir sınır bul

Numarator'da maksimum "iksa" derecesi: 2

Mezarlıkta maksimum "iksa" derecesi: 1 (olarak yazılabilir)
Belirsizliği açıklamak için, sayısal ve paydayı açmanız gerekir. Son işlem çözeltisi şöyle görünebilir:

Numarayı ve paydayı üzerine böldük

Sıra ve fonksiyonun sınırlarının belirlenmesi, limitlerin özellikleri, birinci ve ikinci harika limitler, örnekler.

Sabit sayı fakat aranan sınırlamak dizi(xn), keyfi olarak küçük pozitif sayı için ε\u003e 0 ise, tüm değerlerin n sayısı var. x N. hangi n\u003e n eşitsizliği tatmin eder

Bu şu şekilde yazılmıştır: veya x n → a.

Eşitsizlik (6.1), çift eşitsizliğe eşdeğerdir

a - ε.< x n < a + ε которое означает, что точки x N.Bazı sayı n\u003e n, aralığın içinde yatın (a-ε, a + ε), yani Noktanın küçük ε-mahallesini dahil et fakat.

Bir sınıra sahip olan sekans denir yakınlaşan, aksi takdirde - Bozulmuş.

İşlevin sınırı kavramı, dizi sınırı konseptinin bir genelleştirilmesidir, çünkü dizi sınırı, tamsayı argümanının x n \u003d f (n) işlevinin sınırı olarak kabul edilebilir. n..

F (x) işlevine izin verin ve izin verin a. - sınırlama noktası Bu işlevi tanımlama alanları D (f), yani. Böyle bir nokta, herhangi bir mahalle, d (f) setinin (f) noktalarının noktalarını içeren a.. Nokta a. D (f) setine ait olabilir ve ait olmayabilir.

Tanım 1. Sabit sayı ve denilen sınırlamak fonksiyonlar f (x) için X → A, eğer için argümanın değerlerinin herhangi bir sırası (xn) için fakatOnlara karşılık gelen diziler (F (x N)) aynı sınıra sahiptir.

Bu tanım denir heine tarafından fonksiyonun sınırının belirlenmesi veya " dizilerin dilinde”.

Tanım 2.. Sabit sayı ve denilen sınırlamak fonksiyonlar f (x) için X → A, eğer, eğer, boş pozitif sayı olarak, ε olarak ayarlanmışsa, Δ\u003e 0 (ε'a bağlı olarak), hangisi x.Numaranın ε-mahallesinde yatmak fakat. için x.tatmin edici eşitsizlik
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Bu tanım denir cauchy fonksiyonunun sınırını belirleme,veya "Dilde ε - δ"

Tanımlar 1 ve 2 eşdeğerdir. F (x) X → A'daki işlevi varsa sınırlamakA'ya eşit, formda yazılmıştır.

Dizinin (f (xn)) herhangi bir yaklaşım yolunda süresiz olarak (veya azalır) artar olması durumunda x. Sınırına fakat, sonra f (x) fonksiyonunun sahip olduğunu söylüyoruz. sonsuz limit Ve formu yazın:

Değişken değer (yani sıra veya işlev), limiti sıfır olan, denir sonsuz düşük büyüklük.

Sınırı sonsuz olan değişken değer denir sonsuz büyük büyüklük.

Uygulamadaki sınırı bulmak için aşağıdaki teoremlerin tadını çıkarın.

Teorem 1. . Her limit varsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Yorum Yap. Form 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞ 0 * ∞ ifadeleri belirsizdir, örneğin, iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerlerin oranı ve bu türün sınırını bulmak "belirsizlik açıklaması" olarak adlandırılır.

Teorem 2.

şunlar. Derecenin altındaki sınıra sabit bir göstergede, özellikle de hareket edebilirsiniz.

Teorem 3.

(6.11)

nerede E.» 2.7 - Doğal logaritmanın temeli. Formüller (6.10) ve (6.11) ilk harika ve ikinci harika limit denir.

Formül (6.11) 'nın pratikte ve sonuçları:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Özellikle sınır

Eğer x → a ve aynı anda x\u003e a, daha sonra x → a + 0 yazar. Özellikle, A \u003d 0, sonra karakter 0 + 0 yazma +0. Benzer şekilde, eğer x → a ve aynı anda x ve sırasıyla denir sağdaki sınır ve solun Sınırı fonksiyonlar f (x) Noktada fakat. X → A'da F (x) limit fonksiyonu var olmak için gereklidir. . F (x) işlevi denir Sürekli noktadax 0 sınırı ise

(6.15)

Durum (6.15) formda yeniden yazılabilir:

yani, bu noktada sürekli ise, işlevin işareti altında mümkündür.

Eğer eşitlik (6.15) kırılırsa, öyleyse için x \u003d x o işlev f (x) var boşluk.Y \u003d 1 / x işlevini düşünün. Bu fonksiyonun tanımı alanı settir R., x \u003d 0 hariç x \u003d 0, herhangi bir mahallede, yani D (F) 'nin sınır noktasıdır. Bir nokta 0 içeren herhangi bir açık aralıkta, D (f) 'den işaretler vardır, ancak bu sete ait değildir. F (x o) \u003d f (0) değeri tanımlanmamıştır, bu nedenle x o \u003d 0 noktasında fonksiyonun bir mola vardır.

F (x) işlevi denir noktadan sağda sürekli Sınır varsa x o

ve noktada sürekli sol Sınır varsa x o

Noktadaki Süreklilik Fonksiyonu x O. Bu noktadaki sürekliliğine aynı anda sağ ve solda eşdeğerdir.

İşlevin noktada sürekli olması için x O.Örneğin, sağda, öncelikle, son bir limit var ve ikincisi, bu limitin f (x o) eşittir. Bu nedenle, bu iki koşuldan en az biri gerçekleştirilirse, işlev bir boşluk olacaktır.

1. Sınır varsa ve F (x o) eşit değilse, bunu söylüyorlar. işlev f (x) noktada X o ilk tür boşluğu veya atlamak.

2. Sınırı + ∞ veya -∞ ise veya yoksa, nokta X O. İşlevin bir mola var İkinci yarış.

Örneğin, X → +0'daki Y \u003d CTG X işlevi + ∞'a eşit bir sınıra sahiptir, bu noktada X \u003d 0, ikinci tür bir boşluğa sahip olduğu anlamına gelir. Y \u003d E (x) işlevi (bütün kısmı x.) Bütün aplikyonlar olan noktalarda, ilk boşluklar veya atlar.

İşlev, boşluğun her noktasında sürekli, denir Sürekli içinde . Sürekli fonksiyon, sağlam bir eğri ile gösterilir.

İkinci olağanüstü sınıra, herhangi bir değerin sürekli büyümesiyle ilgili birçok görev verilmektedir. Bu tür görevler, örneğin şunları içerir: karmaşık ilgi yasası, ülkenin nüfusunun büyümesi, radyoaktif maddenin parçalanması, bakterilerin çoğaltılması, vb.

Düşünmek Örnek YA. I. PERELMANsayının yorumlanması yapmak e. Kompleks yüzdeleri görevinde. Numara e.bir sınır var . Sberbanks'ta faiz parası, müdür başkentine yıllık olarak katılır. Eğer katılım daha sık yapılırsa, sermaye, ilgi eğitimine büyük miktarda rol oynar, çünkü sermaye daha hızlı büyür. Tamamen teorik, çok basitleştirilmiş bir örnek alın. 100 den, bankaya gitsin. birimler. Yıllık% 100 oranında. Faiz parası ana sermayeye yalnızca yılın sona ermesinden sonra, ardından bu terim 100 den. birimler. 200 denir. Şimdi bakalım, 100 den ne olacak. Un., faiz parası, her altı ayda bir ana sermayeye eklenecek. 100 yılın yarısından sonra. birimler. 100 × 1.5 \u003d 150'de ve yarım yıl sonra büyüyecek - 150 × 1,5 \u003d 225 (den. Birimler). Katılın her 1/3 yılda birini yapacaksa, 100 den sonra. birimler. 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. birimler) dönüşür. Faiz parasını 0,1 yıla, 0,01 yıla kadar 0,001 yıla kadar, vs. eklemek için zamana katılacağız. Sonra 100 den. birimler. Bir yıl sonra ortaya çıkacak:

100 × (1 + 1/10) 10 ≈ 259 (den. Birimler),

100 × (1 + 1/100) 100 ≈ 270 (den. Birimler),

100 × (1 + 1/1000) 1000 ≈271 (den. Birimler).

Çıkarlanma süresinde sınırsız azalma durumunda, artan sermaye giderek artan bir şekilde artmıyor, ancak yaklaşık 271'i yaklaşık 2,71 kat daha fazladır. Çünkü limit

Örnek 3.1.. Sayısal dizinin sınırının belirlenmesini kullanarak, x n \u003d (n - 1) / n dizisinin 1'e eşit bir sınır olduğunu kanıtlamak için.

Karar. Bunu kanıtlamamız gerekiyor, ne olursa olsun, ne olursa olsun, doğal bir numaraya sahip olacağız, böylece tüm n\u003e N eşitsizdir. X n -1 |< ε

Herhangi bir ε\u003e 0'dır. X n -1 \u003d (n + 1) / n - 1 \u003d 1 / n, daha sonra N'yi bulmak için uygunsuzluğu çözmek için yeterlidir.<ε. Отсюда n>1 / ε ve bu nedenle N için, 1 / ε n \u003d e (1 / ε) bir bütün olarak alınabilir. Böylece sınırın olduğunu kanıtladık.

Karar. Tutar miktarını teoremini uygulayın ve her terimin sınırını bulun. N → ∞ için, her bir terimin sayısal ve paydası sonsuzluğa meyillidir ve özel sınırın teoremini doğrudan uygulayamayız. Bu nedenle ilk önce dönüştürüyoruz x N., ilk terimin rakamını ve payını bölmek n 2.ve ikinci n.. Ardından, teoremini özel ve miktarın sınırını uygulayarak, bulacağız:

Örnek 3.3.. . Bulmak .

Burada Derecesi Limiti Teoremi'nden faydalandık: Derecenin sınırı temel sınırına eşittir.

Örnek 3.4.. Bulmak ( ).

Karar. Teorem'i uygulayın Fark sınırı imkansızdır, çünkü ∞-∞ formunun belirsizliğine sahibiz. Genel bir üye formülü dönüştürüyoruz:

Örnek 3.5.. F (x) \u003d 2 1 / x işlevi verilir. Sınırın mevcut olmadığını kanıtlamak.

Karar. Fonksiyonun 1 limitinin tanımını sırayla kullanıyoruz. Sırasını (xn) Convergent'e 0, yani alın. F (x n) \u003d farklı diziler için değerinin farklı davrandığını gösteriyoruz. X n \u003d 1 / n olsun. Açıkçası, sonra sınırı Şimdi seçin x N. Genel eleman X N \u003d -1 / N olan sıra, aynı zamanda sıfır için çabalıyor. Bu nedenle, limit yoktur.

Örnek 3.6.. Sınırın mevcut olmadığını kanıtlamak.

Karar. Bet x 1, x 2, ..., x n, ... - hangi sıradaki
. Dizilin nasıl davrandığı (f (x n)) \u003d (günah x n) farklı x n → ∞

Eğer x n \u003d p n, sonra günah x n \u003d günah (p n) \u003d 0 herkes için n. ve eğer sınırı
x n \u003d 2p N + p / 2, sonra günah x n \u003d günah (2 p n + p / 2) \u003d günah p / 2 \u003d 1 herkes için n. Ve bu nedenle sınır. Böylece yok.

Karar fonksiyon sınırları çevrimiçi. İşlevin veya fonksiyonel dizinin sınır değerini, noktadaki hesaplayın, hesaplayın sınırlamak Sonsuzluktaki fonksiyonun değeri. Çevrimiçi hizmetimiz sayesinde sayısal bir serinin yakınsamanını belirler ve çok daha fazlası yapılabilir. Çevrimiçi özelliklerin sınırlarını hızlı ve kusursuz bulmanıza izin veriyoruz. Kendiniz, işlev değişkeni ve çaba sarf ettiği limiti girin, Anash Service sizin için tüm hesaplamaları yürütür, doğru ve basit bir cevap veriyor. Dahası online günlüğe kaydetme Sabitler içeren hem sayısal satırları hem de analitik fonksiyonları alfabetik terimlerle girebilirsiniz. Bu durumda, bulundu fonksiyonu bu sabitleri ifadede kalıcı argümanlar olarak içerecektir. Hizmetimiz bulmak için karmaşık bir görevle çözüldü Çevrimiçi sınırlar, hesaplamak için ihtiyacınız olan işlevi ve noktayı belirtmek için yeterlidir. limit değeri işlevi. Bilgi işlem online sınırlar, sonuçları için çeşitli yöntem ve kuralları kullanabilirsiniz, sonuçlanırken sonuçlanırken Çözüm çevrimiçi sınırları Başarılı bir göreve yol açacak olan www.site üzerinde kendi hatalarınızı ve açıklamalarınızı önleyeceksiniz. Ya bize tamamen güveniyorsunuz ve fonksiyonun sınırını bağımsız olarak hesaplamak için ekstra çaba ve zaman harcamaksızın, işinize sonucu kullanırsınız. Bu tür limit değerlerinin sonsuzluk olarak tanıtılmasına izin veriyoruz. Sayısal dizinin ortak bir üyesini tanıtmak gereklidir ve www.syt. Değeri hesapla Çevrimiçi sınır Bir artı veya eksi sonsuzlukta.

Matematiksel analizin temel kavramlarından biridir limit özellikleri ve dizi sınırı Nokta ve sonsuzlukta, doğru çözülebilmek önemlidir. sınırlar. Hizmetimizle hiçbir zorluk olmayacak. Karar verildi Çevrimiçi sınırlar Birkaç saniye boyunca, cevap doğru ve dolu. Matematiksel analiz çalışması ile başlar sınır geçişi, sınırlar Daha yüksek matematiğin hemen hemen tüm bölümlerinde kullanılır, bu nedenle el için bir sunucuya sahip olmak faydalıdır. Çevrimiçi sınırların çözümleriMATEMATIKAM.RU nedir?