ikinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Nasıl görünüyor? Dönem içi ikinci dereceden denklem anahtar kelime "Meydan". Demek ki denklemde mutlaka bir x kare olmalıdır. Buna ek olarak, denklemde olabilir (veya olmayabilir!) Sadece x (birinci dereceye kadar) ve sadece bir sayı (Ücretsiz Üye). Ve ikiden büyük bir derecede x olmamalıdır.

Matematiksel olarak, ikinci dereceden bir denklem, formun bir denklemidir:

Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ama fakat- sıfırdan başka bir şey. Örneğin:

Burada fakat =1; B = 3; C = -4

Burada fakat =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada fakat =-3; B = 6; C = -18

Pekala, anladınız...

Bu ikinci dereceden denklemlerde, solda, tam setüyeler. x kare katsayılı fakat, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tamamlamak.

Ve eğer B= 0, ne elde edeceğiz? Sahibiz X birinci derecede kaybolacaktır. Bu, sıfırla çarpılarak olur.) Örneğin:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Vb. Ve eğer her iki katsayı B Ve C sıfıra eşittir, o zaman daha da basittir:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir. tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen tüm denklemlerde x karenin mevcut olduğuna dikkat edin.

bu arada neden fakat sıfır olamaz mı Ve sen yerine fakat sıfır.) Karedeki X kaybolacak! Denklem lineer hale gelecektir. Ve farklı yapılır...

Tüm ana ikinci dereceden denklem türleri budur. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve net basit kurallara göre. İlk aşamada, verilen denklemi standart forma getirmek gerekir, yani. görünüm için:

Denklem zaten bu formda size verilmişse ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Asıl mesele tüm katsayıları doğru belirlemek, fakat, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir. ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazlası aşağıda. Gördüğünüz gibi x'i bulmak için sadece a,b ve c. Onlar. ikinci dereceden denklemden katsayılar. Sadece değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c bu formüle girin ve sayın. Yerine geçmek senin işaretlerinle! Örneğin, denklemde:

fakat =1; B = 3; C= -4. Buraya yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Her şey çok basit. Ve ne düşünüyorsun, yanlış gidemezsin? Evet, nasıl...

En yaygın hatalar, değerlerin işaretleri ile karıştırılmasıdır. a, b ve c. Veya daha doğrusu, işaretleri ile değil (nerede karıştırılacak?), Ama kökleri hesaplamak için formüle negatif değerlerin ikame edilmesiyle. Burada formülün ayrıntılı bir kaydı belirli sayılarla kaydedilir. Hesaplamalarda sorun varsa, öyleyse yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada a = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt aldığınızı biliyorsunuz.

Tembel olma. Fazladan bir satır yazmak 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde düşecek. Bu yüzden tüm parantezler ve işaretlerle ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli boyamak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece görünüyor. Dene. Ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Ayrıca, seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli boyamaya gerek kalmayacak. Sadece doğru çıkacak. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri uygularsanız. Bir sürü eksi içeren bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülecek!

Ancak, genellikle ikinci dereceden denklemler biraz farklı görünür. Örneğin, bunun gibi:

Biliyor muydunuz?) Evet! Bu eksik ikinci dereceden denklemler.

Eksik ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Genel formülle de çözülebilirler. Burada neyin eşit olduğunu doğru bir şekilde bulmanız gerekiyor. a, b ve c.

Gerçekleştirilmiş? İlk örnekte a = 1; b = -4; fakat C? Hiç yok! Evet, doğru. Matematikte bunun anlamı şudur: c = 0 ! Bu kadar. Formülde yerine sıfırı yerine koyun. C, ve her şey bizim için yoluna girecek. İkinci örnekte de benzer şekilde. Sadece sıfır burada yok itibaren, fakat B !

Ancak eksik ikinci dereceden denklemler çok daha kolay çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi düşünün. Sol tarafta ne yapılabilir? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Çıkaralım.

Ve ondan ne? Ve çarpımın sıfıra eşit olduğu gerçeği, eğer ve sadece faktörlerden herhangi biri sıfıra eşitse! İnanmıyor musun? Öyleyse, çarpıldığında sıfır verecek sıfır olmayan iki sayı bul!
Çalışmıyor? Bir şey...
Bu nedenle, güvenle yazabiliriz: x 1 = 0, x 2 = 4.

Her şey. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygun. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda, 0 = 0 doğru kimliğini elde ederiz. Gördüğünüz gibi, çözüm genel formülden çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in ilk olacağını ve hangisinin ikinci olacağını not ediyorum - kesinlikle kayıtsız. Sırayla yazmak kolay x 1- hangisi daha azsa x 2- daha fazla olan.

İkinci denklem de kolayca çözülebilir. 9'u sağa kaydırıyoruz. Alırız:

Kökü 9'dan çıkarmak için kalır ve bu kadar. Elde etmek:

ayrıca iki kök . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tüm eksik ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantez içinden alarak ya da sadece sayıyı sağa aktararak ve ardından kökü çıkartarak.
Bu yöntemleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda, bir şekilde anlaşılmaz olan X'ten kökü çıkarmanız gerekecek ve ikinci durumda parantezlerden çıkarılacak hiçbir şey yok ...

Ayrımcı. Diskriminant formülü.

sihirli kelime ayrımcı ! Nadir bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymadı! “Ayrımcı aracılığıyla karar verin” ifadesi güven verici ve güven vericidir. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözümün en genel formülünü hatırlatırım. herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Ayrımcı genellikle harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:

D = b 2 - 4ac

Ve bu ifadede bu kadar özel olan ne? Neden özel bir ismi hak ediyor? Ne ayrımcı anlamı? Hepsinden sonra -B, veya 2a bu formülde özel olarak isim vermiyorlar ... Harfler ve harfler.

Mesele şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken, sadece üç vaka.

1. Ayrımcı pozitiftir. Bu, kökü ondan çıkarabileceğiniz anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Prensipte neyin çıkarıldığı önemlidir. O zaman ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Açıkçası, bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak, basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. bir çözüm.

3. Ayrımcı negatiftir. Negatif bir sayı karekökünü almaz. İyi tamam. Bu, çözüm olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, basit çözüm ikinci dereceden denklemler, diskriminant kavramı özellikle gerekli değildir. Formüldeki katsayıların değerlerini değiştiriyoruz ve dikkate alıyoruz. Orada her şey kendi kendine ortaya çıkıyor ve iki kök ve bir ve tek değil. Ancak, daha fazlasını çözerken zor görevler, bilgisiz anlam ve diskriminant formülü yeterli değil. Özellikle - parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler GIA ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)

Böyle, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığınız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrenilmiş, ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde tanımlayacağınızı biliyorsunuz. a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun dikkatlice bunları kök formülde değiştirin ve dikkatlice sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin - dikkatlice?

Şimdi, hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananlar ... Bunun için acı verici ve aşağılayıcı ...

İlk resepsiyon . İkinci dereceden bir denklemi standart bir forma getirmek için çözmeden önce tembel olmayın. Ne anlama geliyor?
Herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiğinizi varsayalım:

Köklerin formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle ihtimalleri karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru bir şekilde oluşturun. Önce x kare, sonra karesiz, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! x kareden önceki eksi sizi çok üzebilir. Unutmak kolay... Eksilerden kurtul. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Tüm denklemi -1 ile çarpmamız gerekiyor. Alırız:

Ve şimdi köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz. Kendi başına karar ver. Kök 2 ve -1 ile bitmelisiniz.

İkinci resepsiyon. Köklerini kontrol et! Vieta teoremine göre. Endişelenme, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. köklerin formülünü yazdığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kolayca kontrol edin. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Ücretsiz bir süre almalısınız, yani. bizim durumumuzda -2. Dikkat edin, 2 değil -2! Ücretsiz Üye senin işaretinle . İşe yaramadıysa, zaten bir yerleri karıştırmışlar demektir. Bir hata arayın.

İşe yaradıysa, kökleri katlamanız gerekir. Son ve son kontrol. bir oran olmalı B itibaren zıt imza. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B x'ten önceki , -1'e eşittir. Yani, her şey doğru!
Sadece x karenin bir katsayılı saf olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü. bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Daha az hata olacak.

Resepsiyon üçüncü . Denkleminizin kesirli katsayıları varsa, kesirlerden kurtulun! denklemi ile çarp ortak payda, "Denklemler nasıl çözülür? Kimlik dönüşümleri" dersinde anlatıldığı gibi. Kesirlerle çalışırken, hatalar, bir nedenden dolayı tırmanır ...

Bu arada, basitleştirmek için bir sürü eksi ile kötü bir örnek söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerde kafa karıştırmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Alırız:

Bu kadar! Karar vermek eğlencelidir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik İpuçları:

1. Çözmeden önce, ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, kuruyoruz Sağ.

2. Karede x'in önünde negatif bir katsayı varsa, denklemin tamamını -1 ile çarparak onu eleriz.

3. Katsayılar kesirli ise, tüm denklemi karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm Vieta teoremi ile kolayca kontrol edilebilir. Yap!

Artık karar verebilirsiniz.)

Denklemleri Çöz:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Cevaplar (kargaşa içinde):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - herhangi bir sayı

x 1 = -3
x 2 = 3

çözüm yok

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0,5

Her şey uyuyor mu? İyi! İkinci dereceden denklemler baş ağrınız değildir. İlk üçü çıktı, gerisi çıkmadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değildir. Sorun, denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir bak, işine yarar.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç çalışmıyor mu? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır.Orada, tüm bu örnekler kemiklere göre sıralanmıştır. gösteriliyor anaçözümdeki hatalar. Elbette, çeşitli denklemlerin çözümünde özdeş dönüşümlerin uygulanması da açıklanmıştır. Çok yardımcı olur!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.