Piramit tabanı keyfi bir çokgen olan çokyüzlü denir ve tüm yüzler, piramidin tepesi olan ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir.

Piramit üç boyutlu bir figürdür. Bu nedenle, yalnızca alanını değil, hacmini de bulmak oldukça sık gereklidir. Bir piramidin hacminin formülü çok basittir:

burada S, tabanın alanıdır ve h, piramidin yüksekliğidir.

Boy uzunluğu piramit, tepesinden tabanına dik açıyla indirilen düz bir çizgi olarak adlandırılır. Buna göre bir piramidin hacmini bulmak için tabanında hangi çokgenin bulunduğunu belirlemek, alanını hesaplamak, piramidin yüksekliğini bulmak ve hacmini bulmak gerekir. Bir piramidin hacmini hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Problem: Düzenli bir dörtgen piramit verildi.

Tabanın kenarları a = 3 cm, tüm yan kenarları b = 4 cm'dir. Piramidin hacmini bulunuz.
Başlangıç ​​olarak, hacmi hesaplamak için piramidin yüksekliğine ihtiyacınız olduğunu unutmayın. Bunu Pisagor teoremi ile bulabiliriz. Bunu yapmak için köşegenin uzunluğuna veya daha doğrusu yarısına ihtiyacımız var. Ardından, dik açılı bir üçgenin iki kenarını bilerek yüksekliği bulabiliriz. İlk önce köşegeni bulun:

Değerleri formülde yerine koyalım:


d ve b kenarını kullanarak h yüksekliğini buluruz:


şimdi bulacağız

Bir piramit, tabanında bir çokgen bulunan bir çokyüzlüdür. Tüm yüzler, sırayla, bir tepe noktasında birleşen üçgenler oluşturur. Piramitler üçgen, dörtgen vb. Hangi piramidin önünüzde olduğunu belirlemek için tabanındaki köşe sayısını saymanız yeterlidir. "Piramit yüksekliği" tanımı, geometri problemlerinde çok yaygındır. Okul müfredatı... Makalede, onu bulmanın farklı yollarını düşünmeye çalışacağız.

Piramidin parçaları

Her piramit aşağıdaki unsurlardan oluşur:

• üç köşesi olan ve üstte birleşen yan yüzler;
• özlü söz, tepesinden inen yüksekliktir;
• piramidin tepesi, yan kenarları birleştiren, ancak taban düzleminde yer almayan bir noktadır;
• taban, tepe noktası olmayan bir çokgendir;
• piramidin yüksekliği, piramidin tepesinden geçen ve tabanıyla dik açı oluşturan bir parçadır.

Hacmi biliniyorsa bir piramidin yüksekliği nasıl bulunur

V = (S * h) / 3 formülü ile (V formülünde hacimdir, S taban alanıdır, h piramidin yüksekliğidir), h = (3 * V) / S olduğunu buluruz. Malzemeyi pekiştirmek için sorunu hemen çözelim. Üçgen taban 50 cm2, hacmi 125 cm3'tür. Bulmamız gereken üçgen piramidin yüksekliği bilinmiyor. Burada her şey basit: formülümüze veri ekliyoruz. h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm elde ederiz.

Köşegenin ve kenarlarının uzunluğunu biliyorsanız, bir piramidin yüksekliğini nasıl bulabilirsiniz?

Hatırladığımız gibi, piramidin yüksekliği tabanıyla dik açı oluşturur. Ve bu, köşegenin yüksekliği, kenarı ve yarısının birlikte oluştuğu anlamına gelir.Birçoğu, elbette Pisagor teoremini hatırlar. İki ölçümü bilmek, üçüncü miktarı bulmak zor olmayacaktır. İyi bilinen a² = b² + c² teoremini hatırlayın, burada a hipotenüs ve bizim durumumuzda piramidin kenarı; b - diyagonalin ilk ayağı veya yarısı ve c - sırasıyla ikinci bacak veya piramidin yüksekliği. Bu formülden c² = a² - b².

Şimdi sorun: düzenli bir piramitte köşegen 20 cm, kaburga uzunluğu 30 cm, yüksekliği bulmak gerekiyor. Şunları çözeriz: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Dolayısıyla c = √ 500 = yaklaşık 22.4.

Kesik bir piramidin yüksekliği nasıl bulunur

Tabanına paralel bir kesiti olan bir çokgendir. Kesik bir piramidin yüksekliği, iki tabanını birleştiren bir çizgi parçasıdır. Yükseklik şurada bulunabilir: doğru piramit her iki tabanın köşegenlerinin uzunlukları ve ayrıca piramidin kenarı biliniyorsa. Küçük tabanın köşegeni d2 ve kenar uzunluğu l iken büyük tabanın köşegeni d1 olsun. Yüksekliği bulmak için, diyagramın iki karşıt noktasından yükseklikleri tabanına düşürebilirsiniz. iki tane olduğunu görüyoruz sağ üçgen, bacaklarının uzunluklarını bulmak için kalır. Bunu yapmak için küçük olanı büyük köşegenden çıkarın ve 2'ye bölün. Böylece bir bacak buluyoruz: a = (d1-d2) / 2. Bundan sonra Pisagor teoremine göre sadece piramidin yüksekliği olan ikinci ayağı bulmamız gerekiyor.

Şimdi her şeye pratikte bakalım. Önümüzde bir görev var. Kesik piramidin tabanında bir kare vardır, büyük tabanın köşegen uzunluğu 10 cm, küçüğü 6 cm ve kenarı 4 cm'dir.Yüksekliğini bulması gerekir. Başlangıç ​​olarak, bir bacak buluyoruz: a = (10-6) / 2 = 2 cm.Bir bacak 2 cm ve hipotenüs 4 cm'dir.İkinci bacak veya yüksekliğin 16-4 olacağı ortaya çıktı = 12, yani h = √12 = yaklaşık 3.5 cm.

Herhangi birinin ana özelliği geometrik şekil uzayda onun hacmidir. Bu yazıda, tabanında üçgen olan bir piramidin ne olduğunu ele alacağız ve ayrıca üçgen piramidin hacminin nasıl bulunacağını göstereceğiz - düzenli dolu ve kesik.

Bu nedir - üçgen piramit mi?

Herkes eskileri duydu Mısır piramitleri ancak bunlar üçgen değil, dikdörtgen düzenlidir. Üçgen piramit nasıl elde edilir onu anlatalım.

Rastgele bir üçgen alın ve tüm köşelerini bu üçgenin düzleminin dışında bulunan bir nokta ile birleştirin. Oluşan şekil üçgen piramit olarak adlandırılacaktır. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Gördüğünüz gibi, söz konusu şekil, genellikle farklı olan dört üçgenden oluşuyor. Her üçgen bir piramidin bir tarafı veya yüzüdür. Bu piramide genellikle tetrahedron, yani dört kenarlı hacimsel bir şekil denir.

Kenarlara ek olarak, piramidin ayrıca kenarları (6 tanesi vardır) ve köşeleri (4 tanesi vardır) vardır.

üçgen taban

Rastgele bir üçgen ve uzayda bir nokta kullanılarak elde edilen bir şekil, genellikle düzensiz eğimli bir piramit olacaktır. Şimdi orijinal üçgenin aynı kenarlara sahip olduğunu ve uzaydaki noktanın üçgenin düzleminden h uzaklıkta geometrik merkezinin tam üzerinde bulunduğunu hayal edin. Bu ilk veriler kullanılarak oluşturulan piramit doğru olacaktır.

Açıktır ki, düzgün bir üçgen piramidin kenarları, kenarları ve köşelerinin sayısı, rastgele bir üçgenden yapılmış bir piramidinkiyle aynı olacaktır.

Ancak, doğru rakam bazı ayırt edici özellikleri:

• üstten çizilen yüksekliği, tabanı geometrik merkezde (medyanların kesişme noktası) tam olarak kesecektir;
• böyle bir piramidin yan yüzeyi, ikizkenar veya eşkenar olan üç özdeş üçgenden oluşur.

Doğru Üçgen piramit yalnızca tamamen teorik bir geometrik nesne değildir. Doğadaki bazı yapıların bir şekli vardır, örneğin kristal hücre bir karbon atomunun aynı atomlardan dördüne bağlı olduğu elmas kovalent bağlar veya piramidin tepelerinin hidrojen atomları tarafından oluşturulduğu bir metan molekülü.

Üçgen piramit

Aşağıdaki ifadeyi kullanarak, tabanında rastgele bir n-gon bulunan kesinlikle herhangi bir piramidin hacmini belirleyebilirsiniz:

Burada S o sembolü tabanın alanını gösterir, h, piramidin tepesinden işaretli tabana çizilen şeklin yüksekliğidir.

Rastgele bir üçgenin alanı, bu tarafa bırakılan apothem h a tarafından kenarının uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olduğundan, üçgen piramidin hacmi için formül aşağıdaki biçimde yazılabilir:

V = 1/6 × a × h bir × h

İçin genel tip yüksekliği belirlemek kolay bir iş değildir. Bunu çözmenin en kolay yolu, genel bir denklemle temsil edilen bir nokta (tepe) ve bir düzlem (üçgen taban) arasındaki mesafe için formülü kullanmaktır.

Doğru olanı için belirli bir görünüme sahiptir. Bunun için taban alanı (eşkenar üçgen) şuna eşittir:

Bunu V'nin genel ifadesi ile değiştirerek şunu elde ederiz:

V = √3 / 12 × bir 2 × h

Özel bir durum, bir tetrahedronun tüm kenarlarının aynı eşkenar üçgenlere dönüşmesi durumudur. Bu durumda, hacmi yalnızca a kenarının parametresi bilgisi temelinde belirlenebilir. Karşılık gelen ifade:

kesik piramit

Tepeyi içeren üst kısım düzenli bir üçgen piramit şeklinde kesilirse, kesik bir şekil elde edersiniz. Orijinalinden farklı olarak, iki eşkenar üçgen taban ve üç ikizkenar yamuktan oluşacaktır.

Aşağıdaki fotoğraf, kağıttan yapılmış normal bir kesik üçgen piramidin nasıl göründüğünü göstermektedir.

Kesik üçgen piramidin hacmini belirlemek için, üç doğrusal özelliğinin bilinmesi gerekir: tabanların her bir tarafı ve şeklin yüksekliği, üst ve alt tabanlar arasındaki mesafeye eşittir. Hacim için karşılık gelen formül aşağıdaki gibi yazılır:

V = √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Burada h şeklin yüksekliği, A ve a sırasıyla büyük (alt) ve küçük (üst) eşkenar üçgenlerin kenarlarının uzunluklarıdır.

sorunun çözümü

Makalede verilen bilgileri okuyucu için daha açık hale getirmek için, bazı yazılı formüllerin nasıl kullanılacağını açıklayıcı bir örnekle göstereceğiz.

Üçgen piramidin hacmi 15 cm3 olsun. Rakamın doğru olduğu biliniyor. Piramidin yüksekliğinin 4 cm olduğu biliniyorsa, yan kaburganın a b ifadesi bulunmalıdır.

Şeklin hacmi ve yüksekliği bilindiğinden, tabanının kenar uzunluğunu hesaplamak için uygun formülü kullanabilirsiniz. Sahibiz:

V = √3 / 12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √ (h 2 + a 2/12) = √ (16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm

Şeklin özünün hesaplanan uzunluğu, herhangi bir piramit türü için geçerli olan yüksekliğinden daha büyük olduğu ortaya çıktı.

Teorem. Piramidin hacmi, tabanının alanının ürününe, yüksekliğinin üçte birine eşittir.

İlk önce, bu teoremi üçgen piramit ve sonra çokgen piramit için kanıtlıyoruz.

1) SABC üçgen piramidi temelinde (Şekil 102), yüksekliğin piramidin yüksekliğine eşit olduğu ve bir yan kenarın SB kenarı ile çakıştığı böyle bir SABCDE prizması oluşturuyoruz. Piramidin hacminin bu prizmanın hacminin üçte biri olduğunu ispatlayalım. Bu piramidi prizmadan ayıralım. Bu, SADEC dörtgen piramidini bırakır (açıklık için ayrı olarak gösterilmiştir). S köşesi ve DC tabanının köşegeni boyunca bir kesme düzlemi çizin. Ortaya çıkan iki üçgen piramit, ortak bir S köşesine ve aynı düzlemde uzanan eşit DEC ve DAC tabanlarına sahiptir; bu nedenle, yukarıda kanıtlanan piramit lemmasına göre, bunlar eşit boyutlardır. Bunlardan birini yani SDEC'i bu piramit ile karşılaştıralım. SDEC piramidinin tabanı için \ (\ Delta \) SDE'yi alabilirsiniz; o zaman tepesi C noktasında olacak ve yükseklik verilen piramidin yüksekliğine eşit olacaktır. \ (\ Delta \) SDE = \ (\ Delta \) ABC olduğundan, aynı lemmaya göre, SDEC ve SABC piramitlerinin boyutu eşittir.

ABCDES prizması tarafımızca üç eşit piramide bölünmüştür: SABC, SDEC ve SDAC. (Açıkçası, herhangi bir üçgen prizma böyle bir bölünmeye tabi tutulabilir. Bu, üçgen prizmanın önemli özelliklerinden biridir.) Böylece, belirli bir boyuta eşit üç piramidin hacimlerinin toplamı, prizmanın hacmidir. ; buradan,

$$ V_ (SABC) = \ frak (1) (3) V_ (SDEABC) = \ frak (S_ (ABC) \ cdot H) (3) = S_ (ABC) \ frak (H) (3) $$

burada H, piramidin yüksekliğidir.

2) SABCDE çokgen piramidinin tabanının bazı E köşesi (Şekil 103) boyunca, EB ve EC köşegenlerini çizin.

Daha sonra SE kenarı ve bu köşegenlerin her biri boyunca kesme düzlemleri çiziyoruz. Daha sonra çokgen piramit, bu piramit ile ortak bir yüksekliğe sahip birkaç üçgene bölünecektir. Üçgen piramitlerin taban alanlarını gösteren B 1 , B 2 , B 3 ve H ile yükseklik, şunları elde ederiz:

hacim SABCDE = 1/3 B 1H + 1/3 B 2H + 1/3 B 3H = ( B 1 + B 2 + B 3) H / 3 =

= (alan ABCDE) H / 3.

Sonuç. V, B ve H, herhangi bir piramidin hacmini, taban alanını ve yüksekliğini uygun birimlerle ifade eden sayıları ifade ediyorsa, o zaman

Teorem. Kesik piramidin hacmi, yüksekliği kesik piramidin yüksekliğine eşit olan üç piramidin ve tabanların hacimlerinin toplamına eşittir: biri bu piramidin alt tabanı, diğeri üst kısmıdır. taban ve üçüncü piramidin taban alanı ortalamaya eşittir geometrik alanlarüst ve alt tabanlar.

Kesik piramidin (Şek. 104) taban alanları B olsun ve B, yükseklik H ve hacim V (kesik bir piramit üçgen veya çokgen olabilir - fark etmez).

olduğunu kanıtlamak gerekir

V = 1/3 BH + 1/3 B Y + 1/3 Y √B B= 1/3 H (B + B+ √B B ),

nerede √B B B ile arasındaki geometrik ortalama B.

Daha küçük bir temelde kanıtlamak için, verilen kesilmiş piramidi eksiksiz olana tamamlayan küçük bir piramit yerleştiririz. O zaman, kesik piramidin V hacmini iki hacmin farkı olarak düşünebiliriz - tam piramit ve üst ek.

Harf ile ek piramidin yüksekliğini belirleme NS, bunu bulacağız

V = 1/3 B (H + NS) - 1 / 3 sevgili= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [BH + (B - B)NS].

Yüksekliği bulmak için NS denklemi yazabileceğimiz teoremi kullanıyoruz:

$$ \ frak (B) (b) = \ frak ((H + x) ^ 3) (x ^ 2) $$

Bu denklemi basitleştirmek için her iki taraftan aritmetiğini çıkarıyoruz. Kare kök:

$$ \ frak (\ sqrt (B)) (\ sqrt (b)) = \ frak (H + x) (x) $$

Bu denklemden (orantı olarak görülebilir) şunu elde ederiz:

$$ x \ kare (B) = H \ kare (b) + x \ kare (b) $$

$$ (\ kare (B) - \ kare (b)) x = H \ kare (b) $$

ve bu nedenle

$$ x = \ frak (H \ sqrt (b)) (\ sqrt (B) - \ sqrt (b)) $$

Bu ifadeyi V hacmi için elde ettiğimiz formülde yerine koyarsak şunu buluruz:

$$ V = \ frak (1) (3) \ $$ kaldı

B'den beri - B= (√B + √ B) (√B - √ B), sonra kesri √B - √ farkı kadar azaltarak B elde ederiz:

$$ V = \ frak (1) (3) BH + (\ sqrt (B) + \ sqrt (b)) H \ sqrt (b) = \\ = \ frak (1) (3) (BH + H \ sqrt (Bb) + Hb) = \\ = \ frak (1) (3) H (B + b + \ sqrt (Bb)) $$

yani, kanıtlanması gereken formülü elde ederiz.

Teorem.

Piramidin hacmi taban alanının yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir..

Kanıt:

1. Üçgen bir piramit düşününOAV'lerhacim V ile, taban alanıS ve yükseklik H... Bir eksen çizelim o (OM2- yükseklik), bölümü düşününA1 B1 C1eksene dik piramit düzlemAhve bu nedenle taban düzlemine paraleldir. ile belirtelimNS nokta apsisi m1 bu düzlemin oh ekseni ile kesişimi ve içindenS (x)- kesit alanı. ifade edelim S (x) karşısında S, H ve NS... A üçgenlerinin olduğuna dikkat edin.1 V1 İLE BİRLİKTE1 ve ABC benzer. Gerçekten, bir1 V1 II AB, dolayısıyla üçgen AE 1 V 1 OAB üçgenine benzer. İLE BİRLİKTEÖyleyse A1 V1 : AB = AE 1: AE .

dikdörtgen üçgenler AE 1 V 1 ve OAV da benzerdir (köşe O ile ortak bir dar açıya sahiptirler). Bu nedenle, OA 1: OA = O 1 m1 : OM = x: H. Böylece A 1 V 1 : A B = x: H.Benzer şekilde kanıtlanabilir kiB1 C1:Güneş = NS: H ve A1 C1:AC = NS: H.yani üçgenA1 B1 C1 ve ABCbenzerlik katsayısı ile benzerdir NS: H.Bu nedenle, S(x): S = (x: H)² veya S(x) = S x ² / H².

Şimdi cisimlerin hacimlerini hesaplamak için temel formülü uygulayalım.a= 0, b =H alırız

Böylece orijinal piramidin hacmi 1 / 3Sh'dir.... Teorem ispatlandı.

Sonuç:

Yüksekliği h olan ve taban alanları S ve S'ye eşit olan kesik bir piramidin Hacmi V1 , formülle hesaplanır

h - piramidin yüksekliği

Durmak. - üst tabanın alanı

S alt - alt tabanın alanı