İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgi amaçlıdır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

ders türü

ders kullanır Bilgi Teknolojisi : ders için metodolojik destek - Microsoft Power Point programında sunum.

Dersler sırasında

Her beceri emekle verilir

BENCE. Ders hedefi belirleme(2 numaralı slayt )

Bu dersimizde “Üslü denklemler, çözümleri” konusunu özetleyip genelleyeceğiz. Tipik ile tanışalım KULLANIM görevleri Bu konuda farklı yıllar.

Üstel denklemleri çözme problemleri, sınav görevlerinin herhangi bir bölümünde bulunabilir. Parçada " " genellikle en basit üstel denklemleri çözmeyi teklif ederler. Parçada " İLE " çözümü genellikle görevin aşamalarından biri olan daha karmaşık üstel denklemler bulabilirsiniz.

Örneğin ( 3 numaralı slayt ).

• Birleşik Devlet Sınavı - 2007

S 4 - En büyük ifade değerini bulun x y, nerede ( X; de) - sistem çözümü:

• Birleşik Devlet Sınavı - 2008

B 1 - Denklemleri çözün:

a) x 6 3x – 36 6 3x = 0;

b) 4 x +1 + 8 4x= 3.

• Birleşik Devlet Sınavı - 2009

S 4 - İfadenin anlamını bulun x + y, nerede ( X; de) - sistem çözümü:

• Birleşik Devlet Sınavı - 2010

Ekran şunları gösterir: destekleyici özet teorik malzeme Bu konuda.

Aşağıdaki konular tartışılmaktadır:

1. Hangi denklemler denir gösterge?
2. Bunları çözmenin ana yollarını adlandırın. türlerine örnekler veriniz ( 4 numaralı slayt )

(Her yöntem için önerilen denklemleri bağımsız olarak çözün ve slaytı kullanarak kendi kendini test edin)

3. Formun en basit üstel denklemlerini çözmek için hangi teorem kullanılır: ve f (x) = a g (x)?
4. Üstel denklemleri çözmek için başka hangi yöntemler var? ( 5 numaralı slayt )

• çarpanlara ayırma yöntemi
(derecelerin özelliklerine göre aynı temeller, kabul: en küçük üslü derece parantezlerden çıkarılır).
• Homojen üstel denklemleri çözerken sıfırdan farklı bir üstel ifade ile bölme (çarpma) alımı
.

1. Denklemleri son iki yöntemle ve ardından yorumlarla çözme

(6 numaralı slayt ).

4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, T > 0, 2T 2 - 3T - 5 = 0,T= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, x= ?...

Öğrenciler, 3 numaralı slaytta dersin başında önerilen görevleri, çözüm talimatlarını kullanarak bağımsız olarak çözer, çözümün derslerini ve sunumu kullanarak cevaplarını kontrol eder ( 7 numaralı slayt). Çalışma sırasında çözüm seçenekleri ve yöntemleri tartışılır, çözümdeki olası hatalara dikkat çekilir.

Çözüm. ,

x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …

Yanıt vermek: x= -5/2, x = 1/2.

5 5 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. x= 5 tg y , …

5 kilo y = -1 (?...), 5 kilo y = 1/5.

TG'den beri y= -1 ve cos y< 0, o zaman de II koordinat çeyreği

Yanıt vermek: de= 3/4 + 2k, k n.

Yüksek düzeyde bir eğitimin görevi kabul edilir - 8 numaralı slayt... Bu slayt yardımıyla öğretmen ve öğrenciler arasında bir diyalog gerçekleşir ve çözümün geliştirilmesine katkıda bulunur.

İzin vermek T= 2 x, nerede T > 0 ... alırız T 2 – 3T + (a 2 – 4a) = 0 .

bir). Denklemin iki kökü olduğundan, D> 0;

2). Çünkü T 1,2> 0, sonra T 1 T 2> 0, yani a 2 – 4a> 0 (?...).

Yanıt vermek: a(- 0,5; 0) veya (4; 4,5).

Öğrenciler gerçekleştirmek doğrulama çalışması kağıt parçaları üzerinde, kendi kendini kontrol etme ve bir sunum yardımıyla yapılan çalışmanın öz değerlendirmesini yapma, konuyu teyit etme. Çalışma kitaplarında yapılan hatalara dayanarak bilgiyi düzenlemek ve düzeltmek için bağımsız olarak kendileri için bir program belirlerler. Tamamlanmış bağımsız çalışma içeren sayfalar, doğrulama için öğretmene teslim edilir.

Altı çizili sayılar - temel Seviye, yıldız işaretiyle - artan karmaşıklık.

Çözüm ve cevaplar.

3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,

x = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 x 5x+ 5 25 x | : 25 x ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) x+ 5,

3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,

3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (uygun değil),

(3/5) x = 5, x = -1.

• § 11, 12'yi tekrarlayın.
• İtibaren sınav malzemeleri 2008 - 2010 konuyla ilgili görevleri seçmek ve bunları çözmek için.
• Evde test çalışması
:

Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları okurken karşılaşmıştınız.

Örneğin, ihtiyacınız varsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimler.

Birinci ve üçüncünün karelerin farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncü ortak bir üç faktöre sahiptir:

O zaman orijinal ifade buna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden çıkarılacağı artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken yaklaşık olarak böyle davranacağız: terimler arasında "ortaklık" arayın ve parantezlerin dışına koyun, o zaman - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =))

Örnek No. 14

Sağda yedi dereceden uzak (kontrol ettim!) Ve solda - çok daha iyi değil ...

Elbette, birinci terimden ikinciden a faktörünü "kesebilirsin" ve sonra sonuçla ilgilenebilirsin, ama hadi bunu seninle daha ihtiyatlı yapalım.

Kaçınılmaz olarak “vurgulamaktan” gelen kesirlerle uğraşmak istemiyorum, bu yüzden katlanmak daha iyi olmaz mıydı?

O zaman kesirlerim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

İfadeyi parantez içinde sayın.

Büyülü, büyülü bir şekilde ortaya çıkıyor (şaşırtıcı, başka ne bekleyebiliriz ki?).

O zaman denklemin her iki tarafını da bu faktörle iptal edeceğiz. Alırız:, nereden.

İşte daha karmaşık bir örnek (biraz, gerçekten):

Ne zahmet! Burada ortak bir noktamız yok!

Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil.

Elimizden geleni yapalım: önce "dört ayakları" bir tarafa, "beşleri" diğer tarafa taşıyalım:

Şimdi "ortak"ı sola ve sağa kaydıralım:

Peki şimdi ne olacak?

Böyle aptal bir grubun yararı ne? İlk bakışta hiç görünmüyor ama biraz daha derine inelim:

Peki, şimdi öyle yapalım ki solda sadece ile ve sağda - diğer her şey ifadesine sahip olalım.

Bunu nasıl yapabiliriz?

Ve işte nasıl: Denklemin her iki tarafını da önce (bu şekilde sağdaki dereceden kurtuluruz) ve sonra her iki tarafı da (bu şekilde soldaki sayısal faktörden kurtuluruz) bölün.

Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz!

Solda bir ifademiz var ve sağda basit bir ifademiz var.

O zaman hemen şu sonuca varıyoruz:

Örnek No. 15

Onun kısa çözümünü vereceğim (açıklamalarla çok fazla uğraşmadan), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz bulmaya çalışacağım.

Şimdi geçen malzemenin son konsolidasyonu.

Aşağıdaki 7 problemi kendi başıma çözme (cevaplarla)

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:
2. İlk ifadeyi şu şekilde temsil ediyoruz:, her iki parçayı da bölün ve şunu elde edin:
3. , sonra orijinal denklem şu şekle dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bak sen ve ben bu denklemi nerede çözdük!
4. Nasıl, nasıl ve sonra her iki parçayı da böldüğünü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezlerden çıkarın.
6. Parantezlerden çıkarın.

KEŞİF DENKLEMLERİ. ORTALAMA SEVİYE

Sanırım ilk makaleyi okuduktan sonra üstel denklemler nelerdir ve nasıl çözülür, en basit örnekleri çözmek için gereken minimum bilgiye hakim oldunuz.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yöntemi analiz edeceğim, bu ...

Yeni bir değişken (veya değiştirme) tanıtma yöntemi

Üstel denklemler konusundaki "zor" problemlerin çoğunu çözer (ve sadece denklemleri değil).

Bu yöntem bunlardan biridir en sık pratikte kullanılır.Öncelikle konuya aşina olmanızı tavsiye ederim.

Adından da anlaşılacağı gibi, bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde zaten kolayca çözebileceğiniz bir değişkene dönüşeceği bir değişken değişikliği getirmektir.

Bu çok “basitleştirilmiş denklemi” çözdükten sonra size kalan tek şey “ters değiştirme” yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene geri dönmek.

Az önce söylediğimizi çok basit bir örnekle açıklayalım:

Örnek 16. Basit ikame yöntemi

Bu denklem kullanılarak çözülür "Basit değiştirme", matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi.

Gerçekten de, buradaki değiştirme en bariz olanıdır. Sadece bunu görmek gerekir

Sonra orijinal denklem şuna dönüşür:

Ek olarak nasıl olduğunu hayal ederseniz, neyin değiştirilmesi gerektiği tamamen açıktır ...

Tabii ki, .

O zaman orijinal denklem neye dönüşecek? Ve işte ne:

Köklerini kolayca kendi başınıza bulabilirsiniz:.

Şimdi ne yapmalıyız?

Orijinal değişkene geri dönme zamanı.

Neyi belirtmeyi unuttum?

Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani, bir görünümü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler!

Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz.

Böylece, sen ve ben ilgilenmiyoruz, ancak ikinci kök bizim için oldukça uygun:

Sonra nereye.

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, önceki örnekte, değiştirme elimizi soruyordu. Ne yazık ki, bu her zaman böyle değildir.

Ancak, doğrudan üzücü olana gitmeyelim, ancak oldukça basit bir değiştirme ile bir örnek daha ile pratik yapın.

Örnek 17 Basit Değiştirme Yöntemi

Büyük olasılıkla değiştirilmesi gerekeceği açıktır (bu, denklemimize dahil edilen derecelerin en küçüğüdür).

Bununla birlikte, değiştirmeyi tanıtmadan önce, denklemimiz bunun için "hazırlanmalıdır", yani:,.

Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi alıyorum:

Oh dehşet: çözümü için tamamen ürkütücü formüllere sahip kübik bir denklem (genel anlamda konuşursak).

Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapacağımızı düşünelim.

Aldatmayı önereceğim: “Güzel” bir cevap almak için, onu bir üçlünün gücü şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (neden böyle olsun, ha?).

Denklemimizin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (üçün kuvvetleriyle tahmin etmeye başlayacağım).

İlk varsayım. Bu bir kök değil. Ne yazık ki...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !

Var! İlk kökü tahmin ettiniz. Şimdi işler daha kolay olacak!

“Köşe” bölme şeması hakkında bilginiz var mı? Elbette, bir sayıyı diğerine böldüğünüzde kullandığınızı biliyorsunuz.

Ancak çok az insan aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor.

Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulandığında, bu bana neyin bölünebileceğini söyler.

Bölünme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Hangi tek terimliyi elde etmek için çarpmam gerektiğine bakıyorum

Açıktır ki, o zaman:

Ortaya çıkan ifadeyi şundan çıkarın, şunu alın:

Şimdi elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor?

Açıktır ki, o zaman alacağım:

ve elde edilen ifadeyi kalan ifadeden tekrar çıkarın:

Pekala, son adım, bununla çarpacağım ve kalan ifadeden çıkaracağım:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik?

Kendi kendine: .

Sonra orijinal polinomun aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

Sonra orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Elbette, sıfırdan küçük olduğu için son kökü atacağız.

Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Yanıt vermek: ..

Bu örnekle sizi korkutmak istemedim!

Aksine, amacım, oldukça basit bir ikamemiz olmasına rağmen, çözümü bizden bazı özel beceriler gerektiren oldukça karmaşık bir denkleme yol açtığını göstermekti.

Eh, hiç kimse bundan bağışık değildir. Ancak bu durumda değiştirme oldukça açıktı.

Örnek # 18 (daha az belirgin bir değiştirme ile)

Ne yapmamız gerektiği hiç açık değil: sorun şu ki denklemimizde iki tane var. farklı sebepler ve bir vakıf diğerinden (makul, doğal olarak) herhangi bir dereceye yükseltilerek elde edilmez.

Ancak, ne görüyoruz?

Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklıdır ve ürünleri, bire eşit olan karelerin farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde baz olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllıca bir hareket Denklemin her iki tarafını eşlenik sayı ile çarpın.

Örneğin, sonra denklemin sol tarafı eşitlenir ve sağ taraf olur.

Bir ikame yaparsak, orijinal denklemimiz şöyle olur:

kökleri, o zaman ve bunu hatırlayarak, bunu anlıyoruz.

Yanıt vermek: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi "okul" üstel denklemlerinin çoğunu çözmek için yeterlidir.

Artan karmaşıklık düzeyindeki aşağıdaki görevler, sınavın sürümlerinden alınmıştır.

Sınav seçeneklerinden artan karmaşıklığa sahip üç görev

Bu örnekleri bağımsız olarak çözmek için zaten yeterince yetkinsiniz. Sadece gerekli değişimi vereceğim.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün:. Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Ve şimdi, kısa açıklamalar ve cevaplar:

Örnek No. 19

Burada şunu not etmemiz yeterli ve.

O zaman orijinal denklem buna eşdeğer olacaktır:

Bu denklem değiştirilerek çözülür.

Diğer hesaplamaları kendiniz yapın.

Sonunda, göreviniz en basit trigonometriyi (sinüs veya kosinüs'e bağlı olarak) çözmeye indirgenecektir. Bu tür örneklerin çözümünü diğer bölümlerde inceleyeceğiz.

Örnek No. 20

Burada değiştirmeden bile yapabilirsiniz ...

Çıkarılanı sağa hareket ettirmek ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil etmek ve sonra doğrudan ikinci dereceden denkleme gitmek yeterlidir.

Örnek No. 21

Ayrıca oldukça standart bir şekilde çözülür: nasıl olduğunu hayal edin.

Ardından, yerine ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: sonra,

Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musunuz? Değil? O halde acilen konuyu okuyun!

İlk kök, açıkçası, segmente ait değil ve ikincisi anlaşılmaz!

Ama çok yakında öğreneceğiz!

O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!)

Her iki kısımdan da çıkar, sonra şunu elde ederiz:

Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

her iki parçayı da şununla çarpın:

ile çarpılabilir, o zaman

O zaman karşılaştıralım:

o zamandan beri:

Sonra ikinci kök gerekli aralığa aittir.

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmaların özellikleri hakkında yeterince derin bir bilgi gerektirir. bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim.

Tahmin edebileceğiniz gibi, matematikte her şey birbirine bağlıdır!

Matematik öğretmenimin dediği gibi: "matematik, tarih gibi, bir gecede okuyamazsınız."

Kural olarak, tüm artan karmaşıklık düzeyindeki problemleri çözmedeki zorluk, tam olarak denklemin köklerinin seçimidir.

Eğitime bir örnek daha...

Örnek 22

Denklemin kendisinin çözülmesinin oldukça basit olduğu açıktır.

Değiştirmeyi yaparak, orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyeceğiz:

İlk olarak, düşünelim ilk kök.

Karşılaştır ve: o zamandan beri. (Emlak logaritmik fonksiyon, de).

O zaman ilk kökün de bizim aralığa ait olmadığı açıktır.

Şimdi ikinci kök:. Açıktır ki ('deki fonksiyon arttığı için).

Karşılaştırmak için kalır ve.

o zamandan beri, aynı zamanda.

Bu şekilde ve arasında "peg kullanabilirim".

Bu mandal bir sayıdır.

İlk ifade daha küçük ve ikincisi daha büyük.

O zaman ikinci ifade birinciden daha büyüktür ve kök aralığa aittir.

Yanıt vermek: .

Özetlemek gerekirse, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım.

Örnek 23 (Standart olmayan ikameli denklem!)

Hemen ne yapabileceğinizle başlayalım ve ne - prensipte yapabilirsiniz, ancak yapmamak daha iyidir.

Her şeyi üç, iki ve altının kuvvetleriyle temsil edebilirsiniz.

Nereye götürüyor?

Evet, hiçbir şeye yol açmayacak: bir derece karmakarışıklığı ve bazılarından kurtulmak oldukça zor olacak.

O zaman neye ihtiyaç var?

not edelim ki bir

Ve bize ne verecek?

Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği!

İlk önce denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Pekala, şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve yanlış yola sapmamanız için onlara sadece kısa yorumlar yapacağım! İyi şanlar!

Örnek No. 24

En zor!

Burada bir yedek bulmak kolay değil! Ancak yine de, bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir tam kare seçimi.

Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin için bir yedek:

(Lütfen burada, değiştirme işlemimiz sırasında negatif kökü bırakamayacağımızı unutmayın !!! Ve neden düşünüyorsunuz?)

Şimdi, örneği çözmek için iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de "standart değiştirme" ile çözülür (ancak bir örnekte ikincisi!)

Örnek 25

2. Bunu not edin ve yenisini yapın.

Örnek No. 26

3. Sayıyı asal çarpanlara ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

Örnek No. 27

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve veya ile değiştirin.

Örnek No. 28

5. Sayıların ve sayıların eşlenik olduğuna dikkat edin.

AÇIK DENKLEMLERİN LOGARIFLEME YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ. İLERİ DÜZEY

Ek olarak, başka bir yol düşünelim - logaritma yöntemiyle üstel denklemlerin çözümü.

Bu yöntemle üstel denklemlerin çözümünün çok popüler olduğunu söyleyemem, ancak bazı durumlarda sadece bizi denklemimizin doğru çözümüne götürebilir.

Özellikle sık sık sözde çözmek için kullanılır " karışık denklemler": Yani, farklı türdeki işlevlerin buluştuğu yerler.

Örnek No. 29

genel durumda, sadece her iki tarafın logaritması (örneğin, taban tarafından) alınarak çözülebilir, burada orijinal denklem aşağıdakine dönüşür:

Aşağıdaki örneğe bir göz atalım:

Logaritmik fonksiyonun ODZ'sine göre sadece ilgilendiğimiz açıktır.

Bununla birlikte, bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, başka bir nedenden dolayı da gelir.

Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafını da tabana yazalım:

Gördüğünüz gibi, orijinal denklemimizin logaritmasını yeterince hızlı almak bizi doğru (ve güzel!) cevaba götürdü.

Bir örnekle daha çalışalım.

Örnek No. 30

Burada da endişelenecek bir şey yok: denklemin her iki tarafını da tabana göre logaritma yaparız, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak, bir şeyi kaçırıyoruz! Nerede yanlış yaptığımı fark ettin mi? Sonuçta, o zaman:

hangi gereksinimi karşılamaz (nereden geldiğini düşünün!)

Yanıt vermek:

Aşağıda verilen üstel denklemlerin çözümünü kendiniz yazmaya çalışın:

Şimdi çözümünüzü buna karşı kontrol edin:

Örnek No. 31

Aşağıdakileri dikkate alarak, her iki tarafı tabana göre logaritma:

(ikinci kök, yer değiştirme nedeniyle bize uymuyor)

Örnek No. 32

Logaritma tabanı:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürelim:

KEŞİF DENKLEMLERİ. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

üstel denklem

Formun denklemi:

aranan en basit üstel denklem.

Güç özellikleri

Çözüme yönelik yaklaşımlar

• Aynı temele zorlama
• Aynı üsse dönüştürme
• Değişken ikame
• Yukarıdakilerden birinin ifadesinin basitleştirilmesi ve uygulanması.

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzemeler.
Çok "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok eşit ..." olanlar için

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Not! Derecelerin bazında (aşağıda) - Sadece sayılar... V göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Birdenbire denklemde göstergeden başka bir yerde bir x belirirse, örneğin:

bu zaten karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözerek en saf haliyle.

Aslında, saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmez. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli üstel denklem türleri vardır. Bu türleri ele alacağız.

En basit üstel denklemlerin çözümü.

Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile, basit bir seçimden x = 2 olduğu açıktır. Artık yok, değil mi!? Başka x değeri rulosu yok. Şimdi bu kurnaz üstel denklemin çözümünün kaydına bir göz atalım:

Ne yaptık? Aslında, aynı üsleri (üçler) attık. Tamamen attılar. Ve ne mutlu, işareti vur!

Gerçekten de, sol ve sağdaki üstel denklem şunları içeriyorsa, aynısı herhangi bir güçteki sayılar, bu sayılar çıkarılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: tabanları ancak sol ve sağdaki taban sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Diyelim ki denklemlerde:

2 x +2 x + 1 = 2 3 veya

ikililer kaldırılamaz!

Neyse, en önemli şeyde ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. "Testlerde ve sınavlarda kim böyle bir ilkel verecek !?"

Katılıyorum. Kimse vermeyecek. Ama artık kafa karıştırıcı örnekleri çözerken nereye çabalamanız gerektiğini biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda forma getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasiğidir. Orijinal örneği alıp istenene dönüştürüyoruz. Biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

Bunları en basitine indirgemek için ekstra çaba gerektiren örneklere bakalım. onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemleri çözme. Örnekler

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: derece ile eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve ustalık eklenmelidir. Aynı temel sayılara ihtiyacımız var mı? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım pratikte bu nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x + 1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar ... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ve sekiz derece akrabadır.) Şunu yazmak oldukça mümkündür:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Güçleri olan eylemlerden formülü hatırlarsanız:

(bir n) m = bir nm,

genel olarak harika çıkıyor:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Orijinal örnek şimdi şöyle görünüyor:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

transfer ediyoruz 2 3 (x + 1) sağa (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Hemen hemen hepsi bu. Bazları kaldırıyoruz:

Bu canavarı çözüyoruz ve

Bu doğru cevap.

Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifreli bir iki var. Bu teknik (genel gerekçelerin şifrelenmesi farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Ve logaritmalarda da. Rakamlarda diğer sayıların güçlerini tanıyabilmelidir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir güce yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ü beşinci güce yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Fakat üstel denklemlerde çok daha sıklıkla bir kuvvete yükseltmemek gerekir, tam tersine... hangi numara hangi derecede 243 veya 343 sayısının arkasına gizlenmiştir ... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmen gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?

Hangi güçlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (doğal olarak kargaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız, garip bir gerçeği görebilirsiniz. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Şey, olur... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2'nin tümü 64'tür.

Sayılara aşinalık ile ilgili bilgileri not ettiğinizi varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı hatırlatmama izin verin. bütün matematiksel bilgi stoku. Küçük-orta sınıflardan olanlar dahil. Hemen liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak faktörü parantezlerin dışına yerleştirmek genellikle yardımcı olur (merhaba, 7. sınıf!). Bir örnek görelim:

3 2x + 4 -11 9x = 210

Ve yine, ilk bakışta - temellerde! Derecelerin tabanları farklı... Üç ve dokuz. Ve biz onların aynı olmasını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle uğraşmak için aynı kuralları takip etmek:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Bu harika, şunu yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Örneği de aynı gerekçeye taşıdık. Peki, sırada ne var!? Üçler atılmamalı... Çıkmaz mı?

Hiç de bile. En çok yönlü ve güçlü karar kuralını hatırlamak hepsinden matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!

Bakın, her şey oluşacak).

Bu üstel denklemde ne var? Yapabilmek yapmak? Evet sol tarafta direk parantez istiyor! Ortak faktör 3 2x bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim ve sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek daha iyi ve daha iyi olmaya devam ediyor!

Gerekçeleri ortadan kaldırmak için katsayısız saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu unutmayın. 70 sayısı yolumuza çıkıyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey yolunda gitti!

Bu son cevap.

Bununla birlikte, aynı gerekçelerle taksi yapma elde edilir, ancak bunların ortadan kaldırılması değildir. Bu, başka bir tür üstel denklemlerde olur. Bu tipte ustalaşalım.

Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak, her zamanki gibi. Tek bir temele geçmek. İkiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ve burada donacağız. Önceki teknikler ne kadar havalı olursa olsun işe yaramaz. Başka bir güçlü ve çok yönlü yolun cephaneliğinden çıkmamız gerekecek. denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Karmaşık bir simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Böyle görünüşte anlamsız bir değiştirme şaşırtıcı sonuçlara yol açar!) Sadece her şey net ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

t ile denklemimizde tüm güçleri x ile değiştirin:

Peki, şafak söküyor mu?) ikinci dereceden denklemler hala unutmadın mı Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:

Burada asıl mesele olduğu gibi durmak değil ... Bu henüz cevap değil, t'ye değil X'e ihtiyacımız var. X'lere dönüyoruz, yani. iade değişimi yapıyoruz. İlk t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. t 2'den ikinciyi arıyoruz:

Um ... Sol 2 x, sağ 1 ... Bir sorun mu var? Hiç de bile! (Güçlü eylemlerden, evet ...) birinin olduğunu hatırlamak yeterlidir. herhangi sıfır dereceye kadar sayı. Kimse. İhtiyaç olanı teslim edeceğiz. Bir ikiliye ihtiyacımız var. Anlamına geliyor:

Şimdi bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

saat üstel denklemleri çözme bazen garip bir ifadeyle sonuçlanırız. Tip:

Yediden, ikiden birinci dereceye kadar çalışmaz. Akraba değiller ... Burada nasıl olunur? Birinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece dikkatli bir şekilde gülümser ve kesinlikle doğru cevabı kesin bir el ile yazar:

Sınavdaki "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada, belirli bir numara gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.

Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sağlar. Ana şeyi vurgulayalım.

Pratik tavsiye:

1. Her şeyden önce, temeller derece. Onları yapmanın mümkün olup olmadığını düşünüyoruz. aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışıyoruz. derece ile eylemler. x'siz sayıların da kuvvetlere dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Sol ve sağ olduğunda üstel denklemi forma indirgemeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir derecede sayılar. Kullanırız dereceli eylemler ve çarpanlara ayırma. Sayılarla ne sayılabilir - sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramadıysa, değişken ikamesi uygulamaya çalışırız. Sonuç, kolayca çözülebilecek bir denklemdir. Çoğu zaman karedir. Veya kareye indirgeyen kesirli.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için, "görerek" bazı sayıların güçlerini bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeniz istenir.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Köklerin ürününü bulun:

2 3-x + 2x = 9

Olmuş?

İyi o zaman en zor örnek(ancak akılda çözüldü ...):

7 0.13x + 13 0.7x + 1 + 2 0.5x + 1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte size kötü bir örnek. Artan zorluğa oldukça çekildi. Bu örnekte, tüm matematik problemlerini çözmek için ustalık ve en evrensel kuralın olduğunu ima edeceğim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Dinlenmek için bir örnek daha basittir):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karışık bir denklem! Bu derste dikkate almadık. Ve dikkate alınmalı, çözülmeli!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Pekala, anlayışlı olmak gerekiyor ... Ve yedinci sınıf size yardımcı olabilir (bu bir ipucu!).

Cevaplar (düzensiz, noktalı virgülle ayrılmış):

bir; 2; 3; 4; çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey yolunda mı? İyi.

Bir problem var? Sorun yok! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler detaylı açıklamalarla çözülmüştür. Ne, neden ve neden. Ve elbette, her tür üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son bir komik soru. Bu derste üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında bir şey söylemedim? Bu arada denklemlerde bu çok önemli bir şey...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama testi. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.