Dersin Hedefleri:

• eğitici:
  • bir sayının limiti, bir fonksiyonun limiti kavramını tanıtmak;
  • belirsizlik türleri ile ilgili kavramlar vermek;
  • bir fonksiyonun limitlerini hesaplamayı öğrenir;
  • edinilen bilgiyi sistematik hale getirmek, kendi kendini kontrol etmeyi, karşılıklı kontrolü etkinleştirmek.
• geliştirme:
  • Edindiği bilgileri limitleri hesaplamak için uygulayabilir.
  • matematiksel düşünmeyi geliştirin.
• eğitici: matematiğe ve zihinsel emek disiplinlerine ilgi geliştirmek.

Ders türü: ilk ders

Öğrenci çalışma biçimleri:önden, bireysel

Gerekli ekipman: interaktif beyaz tahta, multimedya projektör, sözlü ve hazırlık alıştırmaları içeren kartlar.

Ders planı

1. zaman düzenleme(3 dakika.)
2. Bir fonksiyonun limiti teorisi ile tanışma. hazırlık egzersizleri. (12 dak.)
3. Bir fonksiyonun limitlerinin hesaplanması (10 dk.)
4. Bağımsız egzersizler (15 dk.)
5. Dersi özetleme (2 dak.)
6. Ödev (3 dk.)

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyonel an

Öğretmeni selamlayın, devamsızlığı işaretleyin, derse hazırlığı kontrol edin. Dersin konusunu ve amacını belirtin. Gelecekte, tüm görevler interaktif beyaz tahtada görüntülenecektir.

2. Bir fonksiyonun limiti teorisi ile tanışma. hazırlık egzersizleri.

fonksiyon sınırı (fonksiyon limiti) belirli bir noktada, bir fonksiyonun tanım alanı için sınırlayıcı, dikkate alınan fonksiyonun argümanı belirli bir noktaya yöneldiğinde eğiliminde olduğu bir değerdir.
Limit aşağıdaki gibi yazılır.

Limiti hesaplayalım:
x - 3 yerine yerine koyarız.
Bir sayının limitinin sayının kendisine eşit olduğuna dikkat edin.

Örnekler: hesaplama limitleri

Eğer fonksiyonun tanım kümesinin bir noktasında bir limit varsa ve bu limit fonksiyonun verilen noktadaki değerine eşitse fonksiyona sürekli (verilen noktada) denir.

Fonksiyonun x 0 = 3 noktasındaki değerini ve bu noktadaki limitinin değerini hesaplayalım.

Bu noktadaki limit değeri ile fonksiyonun değeri çakışır, bu nedenle fonksiyon x 0 = 3 noktasında süreklidir.

Ancak limitleri hesaplarken, genellikle değeri tanımlanmamış ifadeler görünür. Bu tür ifadelere denir belirsizlikler

Başlıca belirsizlik türleri:

Belirsizliklerin Açıklanması

Belirsizlikleri gidermek için aşağıdakiler kullanılır:

• işlevin ifadesini basitleştirin: çarpanlara ayırın, kısaltılmış çarpma formülleri, trigonometrik formüller kullanarak işlevi dönüştürün, daha fazla azaltmanıza izin veren eşlenikle çarpın, vb.;
• belirsizliklerin açıklanmasında bir limit varsa, fonksiyonun belirtilen değere yakınsadığı, böyle bir limit yoksa fonksiyonun ıraksadığı söylenir.

Misal: limiti hesaplayın.
payı çarpanlarına ayıralım

3. Bir fonksiyonun limitlerinin hesaplanması

örnek 1. Fonksiyon limitini hesaplayın:

Doğrudan ikame ile belirsizlik elde edilir:

4. Bağımsız egzersizler

Limitleri hesaplayın:

5. Dersi özetlemek

Bu ders ilk

Plan I Bir fonksiyonun limiti kavramı II geometrik anlamda limit III Sonsuz küçük ve harika özellikler ve özellikleri IV Limit hesaplamaları: 1) En sık kullanılan limitlerden bazıları; 2) Sürekli fonksiyonların limitleri; 3) Limitler karmaşık fonksiyonlar; 4) Belirsizlikler ve çözüm yöntemleri

0, Ox ekseninde a noktasının δ komşuluğunu belirtebilirsiniz, öyle ki bu komşuluktaki x=a hariç tüm x'ler için, y'nin karşılık gelen değeri b noktasının ε-komşuluğunda bulunur. matematiksel gösterim: |x-a|" için title="(!LANG:Limitin geometrik anlamı Tanım: Herhangi bir ε>0 için x ekseninde a noktasının δ-komşuluğunu belirtebilirsiniz, öyle ki bundan tüm x için x=a hariç komşuluk, karşılık gelen y değeri b noktasının ε-komşuluğunda bulunur Matematiksel gösterim: |x-a| için" class="link_thumb"> 4 !} Limitin geometrik anlamı Tanım: Herhangi bir ε>0 için Öküz eksenindeki a noktasının δ komşuluğunu belirtebilirsiniz, öyle ki x=a hariç bu komşuluktaki tüm x'ler için, y'nin karşılık gelen değeri b noktasının ε-komşuluğu Matematiksel gösterim: |x-a | 0, Ox ekseninde a noktasının δ komşuluğunu belirtebilirsiniz, öyle ki, x=a hariç bu komşuluktaki tüm x'ler için, y'nin karşılık gelen değeri, a noktasının ε komşuluğunda bulunur. Öküz ekseni, x=a hariç bu komşuluktaki tüm x için, karşılık gelen y değeri b noktasının ε komşuluğunda yer alır, öyle ki bu komşuluktaki x=a hariç tüm x için karşılık gelen y değeri bulunur. b noktasının ε-komşuluğunda δ- Öküz ekseni üzerindeki a noktasının komşuluğu, öyle ki x=a hariç bu komşuluktaki tüm x'ler için, karşılık gelen y değeri b noktasının ε-komşuluğunda yer alır Matematiksel gösterim: |x-a| için"> title="Limitin geometrik anlamı Tanım: Herhangi bir ε>0 için Öküz eksenindeki a noktasının δ komşuluğunu belirtebilirsiniz, öyle ki x=a hariç bu komşuluktaki tüm x'ler için, y'nin karşılık gelen değeri b noktasının ε-komşuluğu Matematiksel gösterim: |x-a |"> !}

Temel limit teoremleri Teorem 1: A sayısının f(x)'de fonksiyonunun limiti olabilmesi için, bu fonksiyonun sonsuz küçük olduğu şeklinde gösterilmesi gerekli ve yeterlidir. Sonuç 1: Bir fonksiyon bir noktada 2 farklı limite sahip olamaz. Teorem 2: Bir sabitin limiti, sabitin kendisine eşittir.

Temel limit teoremleri (devamı) Teorem 4: Eğer f 1 (x) ve f 2 (x) fonksiyonunun limitleri varsa, o zaman f 1 (x) + f 2 (x) toplamlarında, f 1 çarpımı da limitler (x) * f 2 (x) ve bölüm f 1 (x) / f 2 (x)'e tabidir ve Sonuç 2: f (x) fonksiyonunun bir limiti varsa, o zaman, burada n - doğal sayı. Sonuç 3: Sabit faktör limitin işaretinden çıkarılabilir

Limit hesaplama kuralları lim f(x) = b ve lim g(x) =c ise, x 1) Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Çarpımın limiti limitlerin çarpımına eşittir: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Bölümün limiti, limitlerin bölümüne eşittir: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x

Soyut plan y=1/x ve y=1/x fonksiyonlarının grafikleri 2. m çift ve tek için y=1/x m fonksiyonlarının grafikleri. kavram Yatay asimptot. +, -, üzerinde bir fonksiyonun limiti kavramı. +, -, üzerindeki bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun limitlerini hesaplama kuralları. Bir fonksiyonun limitini hesaplamak için formüller. Bir fonksiyonun limitlerini hesaplama teknikleri.

Ders özeti Sonsuzda bir fonksiyonun limitinin varlığı ne anlama gelir? y=1/ x 4 fonksiyonunun asimptotu nedir? Bir fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini hesaplamak için hangi kuralları biliyorsunuz? Sonsuzdaki limitleri hesaplamak için hangi formülleri öğrendiniz? lim (5-3x 3) / (6x 3 +2) nasıl bulunur? x

Referanslar: - A.G. Mordkovich. Cebir ve başlangıçlar matematiksel analiz sınıflar. Mnemosyne M A.G. Mordkovich., P.V. Semenov. araç setiöğretmen için. Cebir ve erken matematik dersi. Temel düzeyde. M. Mnemozina. 2010

slayt 2

Başlık sayfası İçindekiler Giriş Bir değişkenin limiti Limitlerin temel özellikleri Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti Dikkat çekici limitler Sonuç

slayt 3

Değişken limiti

Limit, matematiksel analizin temel kavramlarından biridir. Limit kavramı, 17. yüzyılın ikinci yarısında Newton tarafından ve 18. yüzyılın Euler ve Lagrange gibi matematikçiler tarafından kullanıldı, ancak sınırı sezgisel olarak anladılar. Sınırın ilk kesin tanımları 1816'da Bolzano ve 1821'de Cauchy tarafından yapılmıştır.

slayt 4

1. Değişken limiti

Aşağıdaki değerleri alırken x değişkeninin değişim sürecinde süresiz olarak 5 sayısına yaklaşmasına izin verin: 4.9; 4.99; 4.999; ... veya 5.1; 5.01; 5.001;… Bu durumlarda, fark modülü sıfır olma eğilimindedir: = 0.1; 0.01; 0.001;... Yukarıdaki örnekteki 5 sayısına x değişkeninin limiti denir ve lim x = 5 yazılır. Tanım 1. a sabit değerine x değişkeninin limiti, x olduğunda farkın modülü ise x değişkeninin limiti denir. değişiklikler keyfi olarak küçük pozitif sayıdan daha az olur ve kalır e.

slayt 5

2. Limitlerin temel özellikleri

1. Sonlu sayıda değişkenin cebirsel toplamının limiti, terimlerin limitlerinin cebirsel toplamına eşittir: lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t. 2. Sonlu sayıda değişkenin çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir: lim(x y…t) = lim x lim y…lim t. 3. Sabit faktör limit işaretinden çıkarılabilir: lim(cx) = lim c lim x = c lim x. Örneğin, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3. 4. Paydanın limiti eşit değilse, iki değişkenin oranının limiti limitlerin oranına eşittir. sıfır: lim = lim y 5. Bir tamsayının limiti pozitif derece değişken, aynı değişkenin aynı limit derecesine eşittir: lim = (lim x)n Örneğin: = = x3 + 3 x2 = (-2)2 + 3 (-2)2 = -8 + 12 = 4 6. Eğer x, y, z değişkenleri x ve xzy eşitsizliklerini sağlıyorsa

slayt 6

3. Bir fonksiyonun bir noktada limiti

Tanım 2. b sayısı, a noktasındaki bir fonksiyonun limiti* olarak adlandırılır, eğer x'in tüm değerleri için a'ya yeterince yakın ve a'dan farklıysa, fonksiyonun değerleri b sayısından keyfi olarak çok az farklıysa . 1.Bul: (3x2 - 2x). Karar. Limitin 1,3 ve 5 özelliklerini arka arkaya kullanarak (3x2 - 2x) = (3x2) - (2x) = 3x2 - 2x = 3 - 2x = 3 22 - 2 2 = 8 elde ederiz.

Slayt 7

4. Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı

2. Çözümü hesaplayın. x = 1 için, paydası sıfır olmadığı için kesir tanımlanır. Bu nedenle limiti hesaplamak için argümanı limit değeriyle değiştirmek yeterlidir. Daha sonra aşağıdaki durumlarda limitleri hesaplamak için belirtilen kural uygulanamaz: 1) x = a'daki fonksiyon tanımlı değilse; 2) x \u003d a değiştirilirken kesrin paydasının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkarsa; 3) Kesirin payı ve paydası, x = a yerine koyarken, aynı anda sıfıra veya sonsuza eşit çıkıyorsa. Bu gibi durumlarda çeşitli yapay yöntemler kullanılarak fonksiyonların limitleri bulunur.

Slayt 8

5. Bir fonksiyonun sonsuzda limiti

3. Çözüm Bulun. x'te, payda x + 5 de sonsuzluğa eğilimlidir ve bunun tersi 0'dır. Bu nedenle, x ise · 3 = çarpımı sıfır olma eğilimindedir. yani = 0

Slayt 9

6. Olağanüstü sınırlar

Bazı limitler yukarıda özetlenen şekillerde bulunamaz. Örneğin, bulmak istediğinizi varsayalım. Limit argümanı için doğrudan ikame, 0/0 biçiminin belirsizliğini verir. Ayrıca pay ve paydayı vurgulayacak şekilde dönüştürmek de mümkün değildir. ortak faktör, limiti sıfır olan. Aşağıdaki gibi devam edelim. Yarıçapı 1'e eşit olan bir daire alalım ve 2x radyana eşit bir AOB merkez açısı oluşturalım. AB kirişini ve AD ve BD teğetlerini çembere A ve B noktalarında çizin. Açıkçası |AC| = |CB| = sinx, |AD| = |DB| = tgx = 1 - İlk dikkate değer sınır. x = e 2.7182…,. x - İkinci dikkate değer sınır. Karar. Pay ve paydayı x'e bölerek x = ()x = = = elde ederiz.

Slayt 10

7. Limit hesaplamaları

1. (x2 - 7x + 4) = 32 - 7 3 + 4 = - 8. Çözüm. Doğrudan bulmanın limitini bulmak için, bir noktada fonksiyonun limitlerini değiştiririz. 2. . Karar. İşte x'in sıfıra eşit olması için pay ve paydanın sınırları. Pay ve paydayı paya eşlenik ifadesiyle çarparız, = = = = Dolayısıyla, = = = = elde ederiz.

slayt 11

Çözüm

ile birlikte bu projede teorik malzeme ve pratik. Pratik uygulamada limitleri hesaplamanın her türlü yolunu düşündük. Yüksek matematiğin ikinci bölümünün incelenmesi, geçen yıldan bu yana “Matrisler” konusundan beri büyük ilgi görüyor. Matris Özelliklerinin Denklem Sistemlerinin Çözümüne Uygulanması”, sadece sonucun kontrol edilebilir olması nedeniyle basitti. Burada böyle bir kontrol yok. Yüksek Matematik Bölümlerinin incelenmesi olumlu sonucunu verir. Bu kurstaki sınıflar sonuçlarını getirdi: - büyük miktarda teorik ve pratik materyal çalışıldı; - limiti hesaplamak için bir yöntem seçme yeteneği geliştirildi; - her bir hesaplama yönteminin yetkin kullanımı üzerinde çalışıldı; - bir görev algoritması tasarlama yeteneği düzeltildi. Yüksek matematik bölümlerini incelemeye devam edeceğiz. Bunu çalışmanın amacı, yüksek matematik dersinin yeniden incelenmesi için iyi hazırlanmış olmamızdır.

Tüm slaytları görüntüle

Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Bir fonksiyonun limitlerinin hesaplanması. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti. İki harika sınır. "e" sayısının hesaplanması. (pratik ders)

Dersin amacı: "Bir fonksiyonun sınırlarının hesaplanması" konusundaki bilgileri tekrarlamak, genelleştirmek ve sistematik hale getirmek ve pratikte uygulamalarını yapmak

Ders ilerlemesi: 1. Organizasyonel an 2. Kontrol ödev 3. Temel bilgilerin tekrarı 4. Yeni materyal öğrenme 5. Bilgiyi güncelleme 6. Ödev 7. Ders sonuçları. Refleks

Ödevi kontrol etme Sınırları hesaplayın: 1. seçenek 2. seçenek 1) 1) 2) 2) 3) 3)

Ödev kontrolü Cevaplar: 1) -1.2; 0.4; -√5 2) 25, 4/3, 1/5√2

Temel bilgilerin tekrarı Bir fonksiyonun bir noktadaki limitine ne denir? Bir fonksiyonun sürekliliğinin tanımını yazınız. Limitlerle ilgili temel teoremleri formüle edin. Hangi limit hesaplama yöntemlerini biliyorsunuz?

Temel bilgilerin tekrarı Limit tanımı. b sayısı f(x) fonksiyonunun limitidir, çünkü x her e pozitif sayısı için a'ya eğilimlidir, öyle ki tüm x'ler için a'dan farklı ve eşitsizliği sağlayan | x-a |

Temel bilgilerin tekrarı Limitlerle ilgili temel teoremler: TEOREM 1 . x'in a'ya eğilimi olarak iki fonksiyonun toplamının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin toplamına eşittir, yani TEOREM 2. x'in a'ya eğilimi olarak iki fonksiyonun çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir, yani TEOREM 3 . x'in a'ya yöneldiği iki fonksiyonun bölümünün limiti, payda limiti sıfır değilse limitlerin bölümüne eşittir, yani payda limiti 0 ise artı (eksi) sonsuza eşittir, ve pay sınırı sonludur ve sıfır değildir.

Temel bilgilerin tekrarı Limit hesaplama yöntemleri: Doğrudan ikame ile Pay ve paydayı çarpanlara ayırma ve kesirleri azaltma Mantıksızlıktan kurtulmak için eşleniklerle çarpma

Yeni malzeme öğrenme Sonsuzda sınır: A sayısına, y \u003d f (x) fonksiyonunun sonsuzda (veya x sonsuza eğilimindeyken) limiti denir, eğer x argümanının yeterince büyük tüm değerleri için, karşılık gelen f (x) fonksiyonunun değerleri, A'dan keyfi olarak farklıdır.

Yeni malzeme öğrenme Kesrin payını ve paydasını değişkenin en yüksek gücüne bölün:

Yeni materyal öğrenmek İlk dikkate değer sınır İkinci dikkate değer sınır

Olağanüstü Sınırları Kullanarak Yeni Malzeme Öğrenmek Birinci Olağanüstü Sınır: İkinci Olağanüstü Sınır:

Yeni materyal öğrenmek

Bilgi güncellemesi

Ödev Hesaplama Limitleri: Ödev

Bugün öğrendim… Zordu… İlginçti… Fark ettim… Şimdi yapabilirim… Deneyeceğim… Öğrendim… İlgilendim… Şaşırdım… Yansıtma

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Matematikte uygulamalı derslerin düzenlenmesi ve yürütülmesi için metodolojik öneriler. Konu: Birinci ve ikinci harika limitleri kullanarak fonksiyonların limitlerini hesaplama.