belirleyiciler

Belirleyici kavramı

n. sıradaki herhangi bir kare matris, adı verilen bir sayı ile ilişkilendirilebilir. determinant (belirleyici) matris A ve aşağıdaki gibi gösterilir: , veya , veya det A.

Birinci dereceden bir matrisin determinantı, veya birinci dereceden belirleyici, elemandır

İkinci dereceden belirleyici(ikinci dereceden bir matrisin determinantı) aşağıdaki gibi hesaplanır:

Böylece, ikinci dereceden determinant 2=2 toplamıdır! her biri 2 faktörün bir ürünü olan terimler - her satırdan ve her sütundan bir tane olmak üzere A matrisinin öğeleri. Terimlerden biri “+” işaretiyle, diğeri “-” işaretiyle alınır.

determinantı bul

Üçüncü dereceden determinant (üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı) şu şekilde verilir:

Böylece, üçüncü dereceden belirleyici toplam 6=3'tür! her biri 3 faktörün bir ürünü olan terimler - A matrisinin elemanları, her satırdan ve her sütundan birer tane. Terimlerin bir yarısı “+”, diğer yarısı “-” işareti ile alınır.

Üçüncü dereceden belirleyiciyi hesaplamak için ana yöntem, sözde üçgenler kuralı (Sarrus kuralı): Toplamda "+" işareti bulunan üç terimden birincisi ana köşegenin elemanlarının çarpımı, ikincisi ve üçüncüsü iki üçgenin köşelerinde bulunan elemanların çarpımıdır. ana köşegene paralel tabanlarla; Toplama “-” işareti ile dahil edilen üç terim benzer şekilde, ancak ikinci (ikincil) köşegen ile ilgili olarak tanımlanır. Aşağıda, üçüncü dereceden belirleyicileri hesaplamak için 2 şema bulunmaktadır.

b)

Pirinç. 3. dereceden belirleyicileri hesaplama şemaları

Belirleyici bulun:

n. dereceden (n 4) bir kare matrisin determinantı, determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır.

Determinantların temel özellikleri. Belirleyicileri hesaplama yöntemleri

Matris belirleyicileri aşağıdaki ana özelliklere sahiptir:

1. Matris transpoze edildiğinde determinant değişmez.

2. Determinantta iki satır (veya sütun) değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

3. İki orantılı (özellikle eşit) satıra (sütunlara) sahip bir determinant sıfıra eşittir.

4. Determinanttaki satır (sütun) sıfırlardan oluşuyorsa, determinant sıfıra eşittir.

5. Ortak çarpan herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanları determinant işaretinden çıkarılabilir.

6. Bir satırın (veya sütunun) tüm öğeleri, başka bir satırın (veya sütunun) karşılık gelen öğelerine aynı sayı ile çarpılarak eklenirse, determinant değişmez.

7. Köşegen ve üçgen (üst ve alt) matrislerin determinantı köşegen elemanların çarpımına eşittir.

8. Kare matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir.

Hem problemdeki ilk verilerin hem de çözümün temsili - bir sayı veya sayı kümesi olarak

Teknik uzmanlık mühendislerinin eğitim sisteminde önemli bir bileşendir.

Hesaplamalı yöntemlerin temelleri şunlardır:

• lineer denklem sistemlerini çözme
• fonksiyonların enterpolasyonu ve yaklaşık hesaplanması
• adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü
• kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü (matematiksel fizik denklemleri)
• optimizasyon problemlerini çözme

Ayrıca bakınız

notlar

Edebiyat

• Kalitkin N.N. Sayısal yöntemler. M., Bilim, 1978
• Amosov A.A., Dubinsky Yu.A., Kopchenova N.V. "Mühendisler için hesaplama yöntemleri", 1994
• Fletcher K "Akışkanlar Dinamiğinde Hesaplamalı Yöntemler", ed. Mir, 1991, 504 sayfa
• E. Alekseev "Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 paketlerinde hesaplamalı matematik problemlerinin çözümü", 2006, 496 sayfa.
• Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. "Hatalı problemleri çözmek için sayısal yöntemler" (1990)
• Bakushinsky A.B., Goncharsky A.V. Kötü tasarlanmış problemler. Sayısal Yöntemler ve Uygulamalar, ed. Moskova Üniversitesi Yayınları, 1989
• N.N. Kalitkin, A.B. Alshin, E.A. Alshina, V.B. Rogov. Yarı-düzgün ızgaralar üzerinde hesaplamalar. Moskova, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 s.
• Yu. Ryzhikov "Hesaplamalı yöntemler" ed. BHV, 2007, 400 s., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Uygulamalı Matematikte Hesaplamalı Yöntemler, International Journal, ISSN 1609-4840

Bağlantılar

• Bilimsel dergi “Hesaplamalı Yöntemler ve Programlama. Yeni Bilgi İşlem Teknolojileri»

Wikimedia Vakfı. 2010 .

• Hesaplamalı matematik ve matematiksel fizik
• bilgi işlem hattı

Diğer sözlüklerde "Hesaplamalı Yöntemler" in ne olduğunu görün:

Elektroanalitik kimya yöntemleri- İçindekiler 1 Elektroanalitik kimya yöntemleri 2 Giriş 3 Teorik kısım ... Wikipedia

Dijital sinyalleri kodlama yöntemleri- Bu makale, bilgi kaynaklarına bağlantılardan yoksundur. Bilgiler doğrulanabilir olmalıdır, aksi takdirde sorgulanabilir ve kaldırılabilir. Şunları yapabilirsiniz ... Vikipedi

GAZ DİNAMİKLERİ SAYISAL YÖNTEMLER- hesaplama algoritmalarına dayalı gaz dinamiği problemlerini çözme yöntemleri. Gaz dinamiği problemlerini çözmek için sayısal yöntemler teorisinin ana yönlerini ele alalım, gaz dinamiği denklemlerini atalet halinde koruma yasaları şeklinde yazalım ... ... Matematik Ansiklopedisi

DİFÜZYON YÖNTEMLERİ- kinetik çözme yöntemleri. difüzyon yaklaşımının denklemlerini değiştiren nötronların (veya diğer parçacıkların) taşınması için denklemler. Difüzyon yaklaşımı verdiği için doğru biçim asimptotik taşıma denklemini çözme (kaynaklardan uzak ve ... ... Matematik Ansiklopedisi

RAVAGE FONKSİYONLARI MİNİMİZASYON YÖNTEMLERİ- Birkaç değişkenli fonksiyonların minimumlarını bulmak için sayısal yöntemler. Belirli bir vektör (dönüştürme işareti) için aldığı bilinen, argümanlarında sürekli olarak iki kez türevlenebilen aşağıdan sınırlı bir fonksiyon verilsin ... ... Matematik Ansiklopedisi

GOST R 53622-2009: Bilgi teknolojileri. Bilgi ve bilgisayar sistemleri. Yaşam döngüsünün aşamaları ve aşamaları, belgelerin türleri ve eksiksizliği- Terminoloji GOST R 53622 2009: Bilişim teknolojisi. Bilgi işlem sistemleri. Yaşam döngüsünün aşamaları ve aşamaları, belgelerin türleri ve eksiksizliği orijinal belge: 3.1 donanım ve yazılım platformu: Tek bir araç seti ... ...

Uygulamalı Hesaplama Sistemleri- Uygulamalı Hesaplama Sistemleri veya ABC, kombinatoryal mantık ve lambda hesabını temel alan nesne hesap sistemlerini içerir. Bu sistemlerde esas olarak geliştirilen tek şey nesnenin temsilidir. ... ... Vikipedi'de

GOST 24402-88: Veri tele işleme ve bilgisayar ağları. Terimler ve tanımlar- Terminoloji GOST 24402 88: Veri tele işleme ve bilgisayar ağları. Terimler ve tanımlar orijinal belge: SİSTEM VE AĞ TÜRLERİ 90. Abone bilgi işlem sistemi Abone sistemi Abone sistemi Veri işleme sistemi, ... ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

ST SEV 4291-83: Bilgisayar makineleri ve veri işleme sistemleri. 100 ve 200 MB kapasiteli manyetik disk paketleri. Teknik gereksinimler ve test yöntemleri- Terminoloji ST SEV 4291 83: Bilgisayar makineleri ve veri işleme sistemleri. 100 ve 200 MB kapasiteli manyetik disk paketleri. Teknik gereksinimler ve test yöntemleri: 8. VTAA bilgi yüzeyinden gelen sinyal genliği Tüm ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

Jeofizik arama yöntemleri- yapının incelenmesi yerkabuğu maden arama ve araştırma amaçlı fiziksel yöntemler; keşif jeofiziği bileşen jeofizik (Bkz. Jeofizik). G.m. fiziksel alanların çalışmasına dayanarak ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Kitabın

• Hesaplamalı yöntemler. Ders Kitabı, Amosov Andrey Avenirovich, Dubininsky Julius Andreevich, Kopchenova Natalya Vasilievna. Kitap, uygulamalı ve bilimsel ve teknik hesaplamaların pratiğinde en yaygın olarak kullanılan hesaplama yöntemlerini tartışıyor: doğrusal cebir problemlerini çözme yöntemleri, doğrusal olmayan denklemler, ...

İkinci ve üçüncü mertebeden determinant kavramlarına dayanarak, mertebe determinant kavramını benzer şekilde tanıtabiliriz. n. Üçüncü mertebeden daha yüksek mertebe determinantları, kural olarak, Bölüm 1.3'te formüle edilen ve herhangi bir mertebenin determinantları için geçerli olan determinantların özellikleri kullanılarak hesaplanır.

9 0 numaralı determinantın özelliğini kullanarak, 4. dereceden determinantın tanımını sunuyoruz:

Örnek 2 Uygun genişlemeyi kullanarak hesaplayın.

5., 6. vb. determinantı kavramı da benzer şekilde tanıtılır. sipariş. Yani n mertebesinin determinantı:

.

2. ve 3. mertebenin determinantlarının daha önce ele alınan tüm özellikleri, n'inci mertebenin determinantları için de geçerlidir.

Belirleyicileri hesaplamak için ana yöntemleri düşünün n-inci sıra.

Yorum: Bu yöntemi uygulamadan önce, belirleyicilerin temel özelliklerini kullanarak, belirli satır veya sütunun öğelerinden biri dışında tümünü sıfıra ayarlamak yararlıdır. (Verimli sipariş azaltma yöntemi)

Üçgen bir forma indirgeme yöntemi ana köşegenin bir tarafında bulunan tüm elemanları sıfıra eşit olduğunda, determinantın böyle bir dönüşümünden oluşur. Bu durumda determinant, ana köşegeninin elemanlarının çarpımına eşittir.

Örnek 3Üçgen bir forma indirgeyerek hesaplayın.

Örnek 4 Etkin sipariş azaltma yöntemini kullanarak hesaplayın

.

Çözüm: Belirleyicilerin 4 0 özelliğine göre, ilk satırdan 10 faktörünü çıkaracağız ve ardından ikinci satırı sırayla 2, 2, 1 ile çarpacağız ve sırasıyla birinci, üçüncü ve dördüncü satırlar (özellik 8 0).

.

Ortaya çıkan determinant, birinci sütunun elemanlarına ayrıştırılabilir. Sarrus (üçgen) kuralına göre hesaplanan üçüncü dereceden bir determinanta indirgenecektir.

Örnek 5 Determinantı üçgen bir forma indirgeyerek hesaplayın.

.

Örnek 3 Yineleme bağıntılarını kullanarak hesaplayın.

.

.

Ders 4. Ters matris. Matris sıralaması.

1. Ters matris kavramı

Tanım 1. Kare n dereceli A matrisi denir dejenere olmayan, belirleyici ise | A| ≠ 0. | A| = 0, matris A denir dejenere.

Yalnızca kare tekil olmayan matrisler A için, ters matris A -1 kavramı tanıtılır.

tanım 2 . Matris A -1 denir tersi tekil olmayan bir kare A matrisi için, eğer A -1 A = AA -1 = E ise, burada E mertebenin birim matrisidir n.

tanım 3 . Matris isminde ekli, elemanları cebirsel tamamlayıcılardır transpoze edilmiş matris
.

Adjoint matris yöntemiyle ters matrisi hesaplamak için algoritma.

, nerede
.

A -1 A \u003d AA -1 \u003d E hesaplamasının doğruluğunu kontrol ediyoruz. (E kimlik matrisidir)

Matrisler A ve A -1 karşılıklı. Eğer bir | A| = 0, o zaman ters matris bulunmuyor.

örnek 1 Bir A matrisi verildi. Tekil olmadığından emin olun ve ters matrisi bulun
.

Karar:
. Dolayısıyla matris dejenere değildir.

Ters matrisi bulalım. A matrisinin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini oluşturalım.

alırız

.

Hesaplamalı problemlerin bazı önemli özelliklerini tartıştıktan sonra, problemleri bilgisayarda uygulamaya uygun bir forma dönüştürmek için hesaplamalı matematikte kullanılan yöntemlere dikkat edelim ve hesaplamalı algoritmalar oluşturmamıza izin verin. Bu yöntemlere hesaplamalı diyeceğiz. Bir dereceye kadar geleneksel olarak, hesaplama yöntemleri aşağıdaki sınıflara ayrılabilir: 1) eşdeğer dönüşüm yöntemleri; 2)

yaklaşım yöntemleri; 3) doğrudan (kesin) yöntemler; 4) yinelemeli yöntemler; 5) istatistiksel test yöntemleri (Monte Carlo yöntemleri). Belirli bir sorunun çözümünü hesaplayan yöntem oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir, ancak temel adımları kural olarak bu yöntemlerin uygulanmasıdır. Onlar hakkında genel bir fikir verelim.

1. Eşdeğer dönüşüm yöntemleri.

Bu yöntemler, orijinal sorunu aynı çözüme sahip başka bir sorunla değiştirmenize olanak tanır. Yeni problem orijinalinden daha basitse veya daha iyi özelliklere sahipse veya bir bilinen yöntemçözümler ve belki de bitmiş bir program.

Örnek 3.13. eşdeğer dönüşüm ikinci dereceden denklem forma (tam kare seçimi) sorunu hesaplama sorununa indirger kare kök ve kökleri ile bilinen formüllere (3.2) yol açar.

Eşdeğer dönüşümler bazen orijinal hesaplama probleminin çözümünü tamamen farklı türde bir hesaplama probleminin çözümüne indirgemeyi mümkün kılar.

Örnek 3.14. Kök bulma sorunu Doğrusal Denklem fonksiyonun global minimum noktasını bulmaya eşdeğer bir probleme indirgenebilir. Gerçekten de, fonksiyon negatif değildir ve minimum değerine sıfıra eşittir ve sadece x için olanlar için ulaşır.

2. Yaklaşım yöntemleri.

Bu yöntemler, orijinal problemi, çözümü bir anlamda orijinal problemin çözümüne yakın olan başka bir probleme yaklaştırmayı (yaklaşıklaştırmayı) mümkün kılar. Böyle bir değiştirmeden kaynaklanan hataya yaklaşım hatası denir. Kural olarak, yaklaşım problemi, yaklaşım hatasının değerini kontrol etmenize veya problemin diğer özelliklerini etkilemenize izin veren bazı parametreler içerir. Yaklaşım hatası, yöntem parametreleri belirli bir sınır değerine eğilim gösterdiğinden, yaklaşıklık hatası sıfıra yönelirse, yaklaşım yönteminin yakınsadığını söylemek adettendir.

Örnek 3.15. İntegrali hesaplamanın en basit yollarından biri, değeri olan dikdörtgenler formülüne dayalı integrali yaklaşık olarak hesaplamaktır.

Adım burada bir yöntem parametresidir. Tanımdan özel bir şekilde oluşturulmuş bir integral toplam olduğu için kesin integral dikdörtgen yöntemi yakınsak olduğunda,

Örnek 3.16. Bir fonksiyonun türevinin tanımı verildiğinde, yaklaşık hesaplaması için formülü kullanabilirsiniz.

Yaygın yaklaşım yöntemlerinden biri ayrıklaştırmadır - orijinal problemin sonlu boyutlu bir problemle yaklaşık olarak değiştirilmesi, yani. Girdi verileri ve istenen çözümü sonlu bir sayı kümesiyle benzersiz bir şekilde belirtilebilen bir problem. Sonlu boyutlu olmayan problemler için, bir bilgisayar sadece sonlu sayıda sayı ile çalışabildiğinden, bu adım bir bilgisayarda sonraki uygulama için gereklidir. Ayrıklaştırma, yukarıdaki Örnek 3.15 ve 3.16'da kullanılmıştır. İntegralin tam olarak hesaplanması, sonsuz sayıda değerin kullanılmasını içermesine rağmen (herkes için, yaklaşık değeri, noktalarda sonlu sayıda değer kullanılarak hesaplanabilir), türevin ikiye göre yaklaşık bir hesaplamasına indirgenir. fonksiyonun değerleri.

Doğrusal olmayan problemleri çözerken, orijinal problemin daha basit doğrusal problemlerle yaklaşık olarak değiştirilmesinden oluşan çeşitli doğrusallaştırma yöntemleri yaygın olarak kullanılır. Örnek 3.17. En basitini gerçekleştirebilen bir bilgisayarda değerini yaklaşık olarak hesaplamak istensin. Aritmetik işlemler. Tanım olarak x'in lineer olmayan denklemin pozitif kökü olduğuna dikkat edin.

apsisli nokta Bu teğetin eksenle kesişme noktası, yaklaşımdan daha iyi bir yaklaşım verir ve lineer denklemden bulunur Bunu çözerek, yaklaşık formülü elde ederiz

Örneğin, alırsanız rafine bir değer elde edersiniz.

Farklı sınıflardaki hesaplama problemlerini çözerken, farklı yaklaşım yöntemleri kullanılabilir; Bunlar, kötü niyetli sorunları çözmek için düzenleme yöntemlerini içerir. Düzenlileştirme yöntemlerinin de kötü koşullu sorunları çözmek için yaygın olarak kullanıldığını unutmayın.

3. Doğrudan yöntemler.

Bir problemi çözme yöntemine, sonlu sayıda temel işlem gerçekleştirdikten sonra bir çözüm elde etmeye izin veriyorsa, doğrudan denir.

Örnek 3.18. İkinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplama yöntemi doğrudan bir yöntemdir. Burada dört aritmetik işlem ve bir karekök çıkarma işlemi temel olarak kabul edilir.

Doğrudan yöntemin temel işleminin oldukça karmaşık olabileceğini unutmayın (temel veya özel bir fonksiyonun değerlerinin hesaplanması, doğrusal bir sistemin çözümü cebirsel denklemler, belirli bir integralin hesaplanması, vb.). Temel olarak alınması gerçeği, her durumda, uygulamasının tüm sorunun çözümünü hesaplamaktan çok daha basit olduğunu ima eder.

Doğrudan yöntemler oluştururken, temel işlemlerin sayısını en aza indirmeye büyük önem verilir.

Örnek 3.19 (Horner'ın şeması). Görev, polinomun değerini hesaplamak olsun

verilen katsayılar ve x argümanının değeri ile. Polinomu doğrudan formül (3.12) ile hesaplar ve x ile art arda çarpma ile bulursanız, çarpma ve toplama işlemlerini yapmanız gerekecektir.

Horner şeması adı verilen hesaplama yöntemi çok daha ekonomiktir. Aşağıdaki eşdeğer formda bir polinom yazmaya dayanır:

Parantezlerin yerleştirilmesi aşağıdaki hesaplama sırasını belirler: Burada, değerin hesaplanması için sadece çarpma ve toplama işlemleri gerekir.

Horner'ın şeması ilginçtir, çünkü temel işlemlerin sayısı açısından optimal olan bir yöntem örneği verir. Genelde daha az çarpma ve toplama yapılması sonucunda değer hiçbir yöntemle elde edilemez.

Bazen doğrudan yöntemlere kesin denir; bu, giriş verilerinde hata yoksa ve temel işlemler tam olarak yapılırsa sonucun da doğru olacağını ima eder. Bununla birlikte, yöntemi bir bilgisayarda uygularken, büyüklüğü yöntemin yuvarlama hatalarına duyarlılığına bağlı olan bir hesaplama hatasının ortaya çıkması kaçınılmazdır. Makine öncesi dönemde geliştirilen birçok doğrudan (kesin) yöntemin, tam olarak yuvarlama hatalarına karşı aşırı hassasiyetleri nedeniyle makine hesaplamaları için uygun olmadığı ortaya çıktı. Tüm kesin yöntemler böyle değildir, ancak tamamen başarılı olmayan "tam" teriminin, yöntemin ideal uygulamasının özelliklerini karakterize ettiğini, ancak hiçbir şekilde gerçek hesaplamalarda elde edilen sonucun kalitesini karakterize etmediğini belirtmekte fayda var.

4. Yinelemeli yöntemler.

Bunlar, bir problemin çözümüne ardışık yaklaşımlar oluşturmak için özel yöntemlerdir. Yöntemin uygulanması, bir veya daha fazla başlangıç ​​yaklaşımının seçimi ile başlar. Sonraki yaklaşımların her birini elde etmek için, daha önce bulunan yaklaşımlar - yinelemeler kullanılarak benzer bir dizi eylem gerçekleştirilir. Bu yinelemeli sürecin sınırsız devamı, teorik olarak çözüme sonsuz bir yaklaşım dizisi oluşturmamıza izin verir.

yineleme dizisi. Bu dizi problemin çözümüne yakınsarsa, yinelemeli yöntemin yakınsadığı söylenir. Yöntemin yakınsadığı ilk yaklaşımlar kümesine yöntemin yakınsama bölgesi denir.

Yinelemeli yöntemlerin, bilgisayar kullanımıyla ilgili çok çeşitli sorunların çözümünde yaygın olarak kullanıldığını unutmayın.

Örnek 3.20. Hesaplama için iyi bilinen yinelemeli yöntemi ele alalım (nerede Newton yöntemidir. Rastgele bir başlangıç ​​yaklaşımı belirleyelim. Bir sonraki yaklaşımı Örnek 3.17'deki doğrusallaştırma yöntemi kullanılarak türetilen formülü kullanarak hesaplıyoruz (bkz. formül (3.11)) Bu işlemi daha da sürdürerek, bir sonraki yaklaşımın özyinelemeli formül açısından hesaplandığı yinelemeli bir dizi elde ederiz.

Bu yöntemin herhangi bir ilk yaklaşım için yakınsadığı bilinmektedir, bu nedenle yakınsama alanı tüm pozitif sayıların kümesidir.

Bir -bit ondalık bilgisayardaki değeri onun yardımıyla hesaplayalım. Ayarlayalım (örnek 3.17'deki gibi). O zaman Daha fazla hesaplama anlamsızdır, çünkü sınırlı bit ızgarası nedeniyle, aşağıdaki tüm iyileştirmeler aynı sonucu verecektir. Bununla birlikte, kesin değerle karşılaştırma, zaten üçüncü yinelemede 6 doğru anlamlı basamağın elde edildiğini gösterir.

Newton yöntemi örneğini kullanarak yinelemeli yöntemler için tipik olan (yalnızca onlar için değil) bazı sorunları tartışalım. Yinelemeli yöntemler doğal olarak yaklaşıktır; elde edilen yaklaşımların hiçbiri çözümün tam değeri değildir. Ancak yakınsak iteratif yöntem, prensipte verilen herhangi bir doğrulukta bir çözüm bulmayı mümkün kılar.Bu nedenle, yinelemeli yöntem uygulanırken, her zaman gerekli doğruluk ayarlanır ve yineleme işlemine ulaşılır ulaşılmaz kesintiye uğrar.

Yöntemin yakınsaması gerçeği kesinlikle önemli olsa da, pratikte kullanım için yöntemi önermek yeterli değildir. Yöntem çok yavaş yakınsıyorsa (örneğin, %1 doğrulukta bir çözüm elde etmek için yinelemeler yapılmalıdır), bilgisayar hesaplamaları için uygun değildir. Pratik değeri, Newton'un yöntemini içeren hızlı yakınsak yöntemlerdir (hesaplamadaki doğruluğun sadece üç yinelemede elde edildiğini hatırlayın). İçin teorik araştırma yakınsama oranları ve yinelemeli yöntemlerin uygulanabilirlik koşulları, hesaplamalardan önce bile yöntemin kalitesi hakkında bazı sonuçlara varılmasına izin veren, önsel hata tahminleri olarak adlandırılanları türetir.

Newton'un yöntemi için böyle iki a priori tahmin sunuyoruz. O zaman herkes için ve iki ardışık yaklaşımın hatalarının aşağıdaki eşitsizlikle ilişkili olduğu bilinsin:

İşte bağıl yaklaşım hatasını karakterize eden değer. Bu eşitsizlik, yöntemin çok yüksek bir ikinci dereceden yakınsama oranını gösterir: her yinelemede "hata"nın karesi alınır. İlk yaklaşımın hatası cinsinden ifade edilirse, eşitsizliği elde ederiz.

iyi bir başlangıç ​​yaklaşımı seçiminin rolü budur. Değer ne kadar küçük olursa, yöntem o kadar hızlı yakınsar.

Yinelemeli yöntemlerin pratik uygulaması, her zaman yinelemeli süreç için bir sonlandırma kriteri seçme ihtiyacı ile ilişkilidir. Hesaplamalar süresiz olarak devam edemez ve örneğin belirli bir doğruluğu elde etmekle ilgili bazı kriterlere göre kesintiye uğratılmalıdır. Bu amaç için a priori tahminlerin kullanılması çoğu zaman imkansız veya verimsizdir. Yöntemin davranışını nitel olarak doğru bir şekilde tanımlayan bu tür tahminler, fazla tahmin edilir ve çok güvenilmez nicel bilgiler verir. Genellikle a priori tahminler bilinmeyenler içerir

miktarlar (örneğin, (3.14) tahminleri, (3.15) a miktarını içerir) veya bunlar çözüm hakkında bazı ek bilgilerin varlığını ve ciddi kullanımını ima eder. Çoğu zaman, bu tür bilgiler mevcut değildir ve elde edilmesi, genellikle orijinalinden daha karmaşık olan ek sorunları çözme ihtiyacı ile ilişkilidir.

Belirli bir doğruluğa ulaşıldığında bir sonlandırma kriteri oluşturmak için, kural olarak, a posteriori hata tahminleri kullanılır - hesaplama işlemi sırasında hata değerinin bilinen veya elde edilen değerler aracılığıyla tahmin edildiği eşitsizlikler. Bu tür tahminler, hesaplamaların başlamasından önce kullanılamasa da, hesaplama işlemi sırasında, hatanın belirli bir nicel tahmininin verilmesine izin verirler.

Örneğin, Newton'un yöntemi (3.13) için aşağıdaki a posteriori tahmin doğrudur:

S. Ulam kullanılmış rastgele sayılar bir nükleer reaktördeki nötronların davranışının bilgisayar simülasyonu için. Bu yöntemler modellemede vazgeçilmez olabilir büyük sistemler, ancak ayrıntılı sunumları, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik aparatının önemli bir kullanımını içerir ve bu kitabın kapsamı dışındadır.

1. sınıf öğrencileri için metodik talimatlar

Bazey Alexander Anatolievich

Odessa 2008

EDEBİYAT

1 Kıvırma R.W. Bilim adamları ve mühendisler için sayısal yöntemler. – E.: Nauka, 1968. – 400 s.

2 Blazhko S.N. Küresel astronomi kursu. - Moskova, Leningrad, OGIZ, 1948. - 416 s.

3 Shchigolev B.M. Gözlemlerin matematiksel işlenmesi. – E.: Nauka, 1969. – 344 s.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Hesaplamalı yöntemler. - M.: Nauka, 1977. Cilt I, Cilt II - 400 s.

5 Hudson D. Fizikçiler için istatistik. – M.: Mir, 1967. – 244 s.

6. Berman G.N. Hesap kabulleri. - Moskova, 1953. - 88 s.

7. Rumshinsky L.Z. Deney sonuçlarının matematiksel olarak işlenmesi. - Moskova, Nauka 1971. - 192 s.

8. Kalitkin N.N. Sayısal yöntemler. - Moskova, Nauka 1978. - 512 s.

9. Filchakov P.F. Uygulamalı matematiğin sayısal ve grafik yöntemleri. - Kiev, "Naukova Dumka", 1970. - 800 s.

10. Fikhtengolts G.M. Diferansiyel ve integral hesabı dersi, v.1-3. - Moskova, Nauka 1966.

Yaklaşık hesaplamalar 2

Çizim hakkında

yumuşatma 10

yaklaşıklık 12

Doğrultma (doğrusallaştırma) 13

Yöntem en küçük kareler 15

İnterpolasyon 24

Lagrange interpolasyon polinomu 26

Lagrange formülünün kalan terimi 29

Değişken adım tablosu 30 için Newton interpolasyon polinomu

Sabit adım 34 ile tablo enterpolasyonu

Stirling, Bessel, Newton interpolasyon polinomları 37

İki bağımsız değişkenden oluşan bir fonksiyon tablosu üzerinde enterpolasyon 42

Tablo farklılaştırma 44

Denklemlerin sayısal çözümü 46

Dikotomi (ikiye bölme yöntemi) 46

Basit yineleme yöntemi 47

Newton Yöntemi 50

Bir değişkenli fonksiyonun minimumunu bulma 51

Altın bölüm yöntemi 51

Parabol yöntemi 54

Belirli bir integralin hesaplanması 56

Trapez Formülü 59

Ortalamaların formülü veya dikdörtgenlerin formülü 61

Simpson formülü 62

Adi diferansiyel denklemlerin çözümü. Cauchy sorunu 64

Klasik Euler Yöntemi 66

Rafine Euler Yöntemi 67

Tahmin ve düzeltme yöntemi 69

Runge-Kutta yöntemleri 71

Harmonik Analiz 74

Ortogonal fonksiyon sistemleri 78

Yöntem 12 koordinatları 79

YAKLAŞIK HESAPLAR

Basit bir problemi çözelim. Diyelim ki istasyondan 1247 m uzaklıkta bir öğrenci yaşıyor. Tren 17:38'de hareket ediyor. Ortalama hızı 6 km/s olan bir öğrenci trenin hareketinden ne kadar önce evden ayrılmalıdır?

Çözümü hemen alıyoruz:

.

Ancak, neredeyse hiç kimse bu matematiksel olarak kesin çözümü kullanmaz ve işte nedeni. Hesaplamalar tamamen doğru, ancak istasyona olan mesafe doğru bir şekilde ölçülüyor mu? Bir yayanın yolunu hiç hata yapmadan ölçmek mümkün müdür? Bir yaya, her yöne hareket eden insanlarla ve arabalarla dolu bir şehirde kesin olarak tanımlanmış bir çizgi boyunca hareket edebilir mi? Ve 6 km / s hız - kesinlikle tam olarak belirlendi mi? Vb.

Bu durumda herkesin “matematiksel kesin” değil, bu sorunun “pratik” çözümünü tercih edeceği oldukça açıktır, yani yürümenin 12-15 dakika süreceğini tahmin edecek ve bir ekleme yapacaktır. garanti etmek için birkaç dakika daha.

O halde neden saniyeleri ve kesirlerini hesaplayıp pratikte kullanılamayacak bir doğruluk derecesi için uğraşıyorsunuz?

Matematik kesin bir bilimdir, ancak "doğruluk" kavramının kendisi açıklama gerektirir. Bunu yapmak için, bir sayı kavramıyla başlamalısınız, çünkü hesaplama sonuçlarının doğruluğu büyük ölçüde sayıların doğruluğuna, ilk verilerin güvenilirliğine bağlıdır.

Sayıları elde etmenin üç kaynağı vardır: sayma, ölçme ve çeşitli matematiksel işlemleri gerçekleştirme.

Sayılacak nesne sayısı küçükse ve zaman içinde sabitse, o zaman şunu elde ederiz: kesinlikle doğru Sonuçlar. Örneğin bir elde 5 parmak, bir kutuda 300 rulman vardır. Dedikleri zaman durum farklıdır: 1979'da Odessa'da 1.000.000 nüfus vardı. Çünkü insanlar doğar ve ölür, gel ve git; sayıları, hesaplamanın tamamlandığı süre boyunca bile her zaman değişir. Yani gerçekte kastedilen, yaklaşık 1.000.000, belki 999125 veya 1001263 ya da 1.000.000'a yakın başka bir sayı olduğudur. yaklaşıkşehrin sakinlerinin sayısı.

Herhangi bir ölçüm kesinlikle doğru olarak yapılamaz. Her cihaz bir çeşit hata veriyor. Ek olarak, aynı cihazla aynı miktarı ölçen iki gözlemci genellikle biraz farklı sonuçlar elde ederken, sonuçların tam olarak uyuşması nadir bir istisnadır.

Cetvel gibi basit bir ölçüm cihazının bile bir "cihaz hatası" vardır - cetvelin kenarları ve düzlemleri ideal düz çizgilerden ve düzlemlerden biraz farklıdır, cetvel üzerindeki vuruşlar kesinlikle eşit mesafelerde uygulanamaz ve vuruşların kendileri vardır. belirli bir kalınlık; böylece ölçüm yaparken vuruşların kalınlığından daha doğru sonuçlar elde edemeyiz.

Tablonun uzunluğunu ölçtüyseniz ve 1360.5 mm değerini aldıysanız, bu, tablonun uzunluğunun tam olarak 1360.5 mm olduğu anlamına gelmez - bu tablo başka bir kişi tarafından ölçülürse veya ölçümü tekrarlarsanız, o zaman yapabilirsiniz. hem 1360.4 mm hem de 1360.6 mm değerini alın. 1360.5 mm sayısı tablonun uzunluğunu ifade eder. aşağı yukarı.

Matematiksel işlemlerin tümünü hatasız gerçekleştirmek de mümkün değildir. Kökü çıkarın, sinüs veya logaritmayı bulun, bölme bile her zaman kesinlikle doğru değildir.

İstisnasız tüm ölçümler, ölçülen büyüklüklerin yaklaşık değerlerine yol açar. Bazı durumlarda, ölçümler kabaca yapılır, daha sonra büyük hatalar elde edilir, dikkatli ölçümlerle hatalar daha küçüktür. Mutlak ölçüm doğruluğu asla elde edilemez.

Şimdi sorunun ikinci yönünü ele alalım. Pratikte mutlak doğruluk gerekli midir ve yaklaşık bir sonucun değeri nedir?

Bir elektrik hattını veya bir gaz boru hattını hesaplarken, hiç kimse destekler arasındaki en yakın milimetreye olan mesafeyi veya borunun çapını en yakın mikrona kadar belirleyemez. Mühendislik ve inşaatta, her detay veya yapı, yalnızca sözde toleranslarla belirlenen belirli bir doğruluk dahilinde yapılabilir. Bu toleranslar, parçanın veya yapının malzemesine, boyutuna ve amacına bağlı olarak bir mikrondan milimetre ve santimetreye kadar değişir. Bu nedenle, bir parçanın boyutlarını belirlemek için gerekenden daha büyük bir doğrulukla hesaplamalar yapmak mantıklı değildir.

1) Kural olarak, hesaplamalar için ilk verilerde hatalar vardır, yani bunlar yaklaşıktır;

2) Genellikle artan bu hatalar, hesaplamaların sonuçlarına geçer. Ancak uygulama kesin veriler gerektirmez, ancak büyüklüğü önceden belirlenmesi gereken belirli izin verilen hatalarla sonuçlardan memnundur.

3) Sadece ilk veriler yeterince doğru olduğunda ve hesaplamaların neden olduğu tüm hatalar dikkate alındığında sonucun gerekli doğruluğunu sağlamak mümkündür.

4) Yaklaşık sayılarla hesaplamalar, problemi çözerken minimum emek ve zaman harcamasını sağlamaya çalışarak yaklaşık olarak yapılmalıdır.

Genellikle teknik hesaplamalarda izin verilen hatalar %0,1 ila %5 aralığındadır, ancak bilimsel konular yüzde binde birine indirilebilirler. Örneğin, Ay'ın ilk yapay uydusunun fırlatılması sırasında (31 Mart 1966), uydunun uyduya girebilmesi için saniyede birkaç santimetre hassasiyetle yaklaşık 11.200 m/s'lik fırlatma hızının sağlanması gerekiyordu. Ayın dairesel ve güneş çevresinin değil, yörünge.

Ayrıca, aritmetik kurallarının tüm sayıların kesin olduğu varsayımı altında türetildiğine dikkat edin. Bu nedenle, yaklaşık sayılarla hesaplamalar, tam sayılarla olduğu gibi yapılırsa, gerçekte olmadığı yerde tehlikeli ve zararlı bir doğruluk izlenimi yaratılır. Gerçek bilimsel ve özellikle matematiksel kesinlik, tam olarak, neredeyse her zaman kaçınılmaz hataların varlığına işaret etmekten ve bunların sınırlarını belirlemekten ibarettir.