Doğrusal bir fonksiyon denir formül tarafından verilen fonksiyon y = kx + b , nerede k ve B- herhangi bir gerçek sayı.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

Eğer k= 0, sonra fonksiyon y = b sabit denir. Grafiği eksene paralel düz bir çizgidir. Öküz.
Eğer B= 0, sonra formül y = kx doğru orantılı bir ilişki kurar. Böyle bir fonksiyonun grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir.

Tersi de doğrudur - eksene paralel olmayan herhangi bir düz çizgi Oy, bazı lineer fonksiyonların grafiğidir.

Numara k aranan düz çizginin eğimi , düz çizgi ile eksenin pozitif yönü arasındaki açının tanjantına eşittir. Öküz.
Şekil α açısını göstermektedir.

Bir grafik oluşturun lineer fonksiyon çok kolaydır.
Herhangi bir düz çizginin konumu, noktalarından ikisi belirtilerek benzersiz bir şekilde belirlenir. Bu nedenle, bağımsız değişkenin iki değeri için değerleri belirtilerek doğrusal bir işlev tamamen belirlenir. Örneğin,

Eğer öğrencimseniz veya bu grafiklerin interaktif versiyonları ile çalışabilirsiniz.

Doğrusal fonksiyon özellikleri de k ≠ 0, B ≠ 0.
1) Kapsam fonksiyon tanımları- tüm gerçek sayıların kümesi: r veya (−∞; ∞).
2) İşlev y = kx + b ne çift ne de tektir.
3) Ne zaman k> 0 fonksiyon monoton olarak artar ve k

Egzersiz:
Şekil 4 düz çizgiyi göstermektedir. Fonksiyon grafikleri olabilirler mi? Eğer öyleyse, hangileri olduğunu belirleyin.

Cevabı görüntüleyin.

Akut veya geniş bir açıyla apsis eksenine eğimli düz çizgiler - genel bir formun doğrusal fonksiyonunun grafikleri: y = kx + b. Parametre Bçizginin y ekseni ile kesişme noktası ile belirlenmesi kolaydır ( Oy). Parametre k dar açılar için α açısını içeren veya geniş açılar için ona bitişik bir üçgenin hücrelerinin oluşturulmasıyla tanımlanır. Kesin cevaplar resimdedir.
Apsis eksenine paralel düz bir çizgi (burada - yatay bir çizgi), belirli bir doğrusal fonksiyon formunun grafiğidir. y = b, sabit veya sabit olarak adlandırılır. Bu fonksiyonun değeri değişmez, bu nedenle bir grafik noktasının koordinatları eksene göre her zaman aynı yüksekliktedir. Öküz.

Sonraki düz çizgi, herhangi bir fonksiyonun grafiği DEĞİLDİR. Burada bir açıklık yoktur. Eğer x= 6, o zaman y=? Herhangi bir gerçek sayı! Yani, fonksiyonun tanımı onun için yerine getirilmemiştir, yani argümanın her bir değerinin x tek bir işlev değeri eşleşmelidir y... Ama aynı zamanda, örneğin şu satırlarla da karşılaşıyoruz: dikey asimtotlar... Bu nedenle, onların denklemini bilmeniz gerekir. x = bir, nerede a- belirli bir sayı.

Adının nedeni bu. Bu, bir gerçek değişkenin gerçek bir işleviyle ilgilidir.

Üniversite YouTube'u

• 1 / 5

  tüm değişkenler ise x 1, x 2,…, x n (\ displaystyle x_ (1), x_ (2), \ dots, x_ (n)) ve katsayılar a 0, a 1, a 2,…, bir n (\ displaystyle a_ (0), a_ (1), a_ (2), \ dots, a_ (n)) gerçek sayılardır, sonra doğrusal bir fonksiyonun grafiği (n + 1) (\ görüntü stili (n + 1))-değişkenlerin boyutlu uzayı x 1, x 2,…, x n, y (\ displaystyle x_ (1), x_ (2), \ dots, x_ (n), y) bir n (\ görüntü stili n)-boyutlu hiperdüzlem

  y = a 0 + a 1 x 1 + bir 2 x 2 + ⋯ + anxn (\ displaystyle y = a_ (0) + a_ (1) x_ (1) + a_ (2) x_ (2) + \ nokta + a_ (n) x_ (n))

  özellikle ne zaman n = 1 (\ displaystyle n = 1) bir düzlemde düz bir çizgidir.

  soyut cebir

  "Doğrusal işlev" veya daha kesin olarak "doğrusal homojen işlev" terimi, genellikle vektör uzayını doğrusal olarak görüntülemek için kullanılır. X (\ görüntü stili X) bazı alan üzerinde k (\ görüntü stili k) bu alana, yani böyle bir ekran için f: X → k (\ displaystyle f: X \ - k) bu herhangi bir eleman için x, y ∈ X (\ displaystyle x, y \ in X) Ve herhangi biri α, β ∈ k (\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in k) adil eşitlik

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\ displaystyle f (\ alpha x + \ beta y) = \ alpha f (x) + \ beta f (y))

  ve bu durumda, "doğrusal işlev" terimi yerine, doğrusal işlevsel ve doğrusal biçim terimleri de kullanılır - aynı zamanda doğrusal anlamına gelir. homojen belirli bir sınıfın işlevi.

  Doğrusal bir fonksiyonun tanımı

  Doğrusal bir fonksiyonun tanımını verelim

  Tanım

  $ k $'ın sıfırdan farklı olduğu $ y = kx + b $ biçimindeki bir fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

  Doğrusal fonksiyon grafiği - düz çizgi. $ k $ sayısına doğrunun eğimi denir.

  $ b = 0 $ için, doğrusal fonksiyona doğrudan orantılılık fonksiyonu $ y = kx $ denir.

  Şekil 1'i düşünün.

  Pirinç. 1. Düz bir çizginin eğiminin geometrik anlamı

  Bir ABC üçgeni düşünün. $ ВС = kx_0 + b $ olduğunu görüyoruz. $ y = kx + b $ düz çizgisinin $ Ox $ ekseniyle kesişme noktasını bulun:

  \ \

  Dolayısıyla $AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Bu partilerin oranını bulalım:

  \ [\ frak (BC) (AC) = \ frak (kx_0 + b) (x_0 + \ frak (b) (k)) = \ frak (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]

  Öte yandan, $\frac (BC) (AC) = tg\açı A $.

  Böylece, aşağıdaki sonuç çıkarılabilir:

  Çözüm

  geometrik anlam katsayısı $ k $. $ k $ düz çizgisinin eğimi, bu düz çizginin eğim açısının $ Ox $ eksenine tanjantına eşittir.

  $ f \ left (x \ right) = kx + b $ doğrusal fonksiyonunun ve grafiğinin incelenmesi

  İlk olarak, $ f \ left (x \ right) = kx + b $ işlevini düşünün, burada $ k> 0 $.

  1. $ f "\ sol (x \ sağ) = (\ sol (kx + b \ sağ))" = k> 0 $. Sonuç olarak, bu işlev tüm tanım alanı boyunca artar. Ekstrem noktalar yoktur.
  2. $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ Mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = + \ infty $
  3. Grafik (Şekil 2).

  

  Pirinç. 2. $ k> 0 $ için $ y = kx + b $ fonksiyonunun grafikleri.

  Şimdi $ f \ left (x \ right) = kx $ fonksiyonunu düşünün, burada $ k

  1. Kapsam tüm sayılardır.
  2. Aralık tüm sayılardır.
  3. $ f \ sol (-x \ sağ) = - kx + b $. Fonksiyon ne çift ne de tektir.
  4. $ x = 0 için f \ sol (0 \ sağ) = b $. $ y = 0,0 = kx + b için, \ x = - \ frac (b) (k) $.

  Koordinat eksenli kesişim noktaları: $ \ sol (- \ frac (b) (k), 0 \ sağ) $ ve $ \ sol (0, \ b \ sağ) $

  1. $ f "\ sol (x \ sağ) = (\ sol (kx \ sağ))" = k
  2. $ f ^ ("") \ sol (x \ sağ) = k "= 0 $. Bu nedenle, fonksiyonun bükülme noktası yoktur.
  3. $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = - \ infty $
  4. Grafik (Şekil 3).

  

  Sayısal bir fonksiyon kavramı. İşlevi ayarlama yöntemleri. İşlev özellikleri.

  Sayısal işlev, bir sayısal boşluktan (küme) başka bir sayısal boşluğa (küme) etki eden bir işlevdir.

  Bir işlevi tanımlamanın üç ana yolu vardır: analitik, tablosal ve grafiksel.

  1. Analitik.

  Formül kullanarak bir fonksiyonu tanımlamanın yoluna analitik denir. Bu yöntem mattaki ana yöntemdir. analiz, ancak pratikte uygun değildir.

  2. tablo yolu fonksiyon atamaları.

  Argüman değerlerini ve bunlara karşılık gelen fonksiyon değerlerini içeren bir tablo kullanılarak bir fonksiyon belirtilebilir.

  3. Bir işlevi tanımlamanın grafik yolu.

  y = f (x) işlevi, grafiği oluşturulmuşsa grafik olarak verilir. Fonksiyonu tanımlamanın bu yöntemi, bir grafiğin oluşturulması ve üzerindeki fonksiyonun değerlerinin bulunması hatalarla ilişkili olduğundan, fonksiyonun değerlerinin sadece yaklaşık olarak belirlenmesini mümkün kılar.

  Grafiği çizilirken dikkate alınması gereken fonksiyonun özellikleri:

  1) İşlev tanımı alanı.

  Fonksiyon tanımlama alanı, yani, F = y (x) fonksiyonunun x argümanının alabileceği değerler.

  2) Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları.

  Fonksiyon artan olarak adlandırılır dikkate alınan aralıkta, argümanın daha büyük değeri, y (x) fonksiyonunun daha büyük değerine karşılık geliyorsa. Bu, incelenen aralıktan x 1> x 2 ile iki keyfi argüman x 1 ve x 2 alınırsa, o zaman y (x 1)> y (x 2) anlamına gelir.

  fonksiyon azalan olarak adlandırılır dikkate alınan aralıkta, argümanın daha büyük değeri, y (x) fonksiyonunun daha küçük değerine karşılık geliyorsa. Bunun anlamı, incelenen aralıktan iki keyfi argüman x 1 ve x 2 alınırsa ve x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

  3) Fonksiyonun sıfırları.

  F = y (x) fonksiyonunun apsis eksenini kestiği noktalara (y (x) = 0 denklemi çözülerek elde edilirler) ve fonksiyonun sıfırları denir.

  4) Çift ve tek fonksiyonlar.

  fonksiyon bile denir, kapsamdan bağımsız değişkenin tüm değerleri için ise

  
  
  

  y (-x) = y (x).

  Bir çift fonksiyonun grafiği, ordinat eksenine göre simetriktir.

  işlev tek denir etki alanındaki argümanın tüm değerleri için ise

  y (-x) = -y (x).

  Çift bir fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir.

  Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

  5) Fonksiyonun frekansı.

  Fonksiyona periyodik denir, etki alanından bağımsız değişkenin tüm değerleri için bir P sayısı varsa

  y (x + P) = y (x).

  
  

  Doğrusal fonksiyon, özellikleri ve programı.

  Doğrusal bir işlev, formun bir işlevidir y = kx + b tüm reel sayılar kümesinde verilmiştir.

  k- eğim (gerçek sayı)

  B- ücretsiz üye (gerçek numara)

  x Bağımsız değişkendir.

  Özel durumda, eğer k = 0 ise, şunu elde ederiz: sabit fonksiyon y = b, grafiği Ox eksenine paralel ve koordinatları (0; b) olan bir noktadan geçen düz bir çizgidir.

  · Eğer b = 0 ise, doğrudan orantılılık olan y = kx fonksiyonunu elde ederiz.

  o B katsayısının geometrik anlamı, Oy ekseni boyunca doğrunun kestiği doğru parçasının orijinden sayılarak uzunluğudur.

  o k katsayısının geometrik anlamı - düz çizginin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı, saat yönünün tersine sayılır.

  Doğrusal fonksiyon özellikleri:

  1) Doğrusal bir fonksiyonun tanım alanı, gerçek eksenin tamamıdır;

  2) k ≠ 0 ise, doğrusal fonksiyonun değer aralığı tüm gerçek eksendir.

  k = 0 ise, doğrusal fonksiyonun değer aralığı b sayısından oluşur;

  3) Doğrusal bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tekliği, k ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır.

  a) b ≠ 0, k = 0, bu nedenle, y = b çifttir;

  b) b = 0, k ≠ 0, bu nedenle y = kx tektir;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, dolayısıyla y = kx + b genel bir fonksiyondur;

  d) b = 0, k = 0, bu nedenle y = 0 hem çift hem de tek fonksiyondur.

  4) Doğrusal fonksiyon, periyodiklik özelliğine sahip değildir;

  5) Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, dolayısıyla (-b / k; 0) apsis ekseni ile kesişme noktasıdır.

  Oy: y = 0k + b = b, bu nedenle (0; b) y ekseni ile kesişme noktasıdır.

  Yorum Yap. b = 0 ve k = 0 ise, x değişkeninin herhangi bir değeri için y = 0 işlevi kaybolur. b ≠ 0 ve k = 0 ise, x değişkeninin hiçbir değeri için y = b işlevi kaybolmaz.

  6) İşaret sabitliği aralıkları k katsayısına bağlıdır.

  a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

  y = kx + b - x için pozitif (-b / k; + ∞),

  y = kx + b - x için negatif (-∞; -b / k).

  b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b - x için pozitiftir (-∞; -b / k),

  y = kx + b - x için negatif (-b / k; + ∞).

  c) k = 0, b> 0; y = kx + b tüm alan üzerinde pozitiftir,

  k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Doğrusal fonksiyonun monotonluk aralıkları k katsayısına bağlıdır.

  k> 0, dolayısıyla y = kx + b tüm alan boyunca artar,

  k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  11. y = ax 2 + bx + c fonksiyonu, özellikleri ve grafiği.

  y = ax 2 + bx + c (a, b, c sabittir ve ≠ 0) işlevi çağrılır ikinci dereceden. En basit durumda, y = ax 2 (b = c = 0), grafik orijinden geçen eğri bir çizgidir. y = ax 2 fonksiyonunun grafiği olan eğri bir paraboldür. Her parabolün simetri ekseni adı verilen bir ekseni vardır. parabolün ekseni. Bir parabolün ekseniyle kesiştiği noktanın O noktasına denir. bir parabolün tepe noktası.

  Grafik aşağıdaki şemaya göre oluşturulabilir: 1) x 0 = -b / 2a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulun; y 0 = y (x 0). 2) Parabole ait birkaç nokta daha oluşturuyoruz; yapımında parabolün x = -b / 2a doğrusuna göre simetrisini kullanabiliriz. 3) İşaretli noktaları düz bir çizgi ile birleştirin. Örnek. Yapı fonksiyon grafiği b = x 2 + 2x - 3.Çözümler. Fonksiyonun grafiği, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Parabolün tepe noktasının apsisi x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, koordinatları y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4. Yani parabolün tepe noktası (-1; -4) noktasıdır. Parabolün simetri ekseninin sağında bulunan birkaç nokta için bir değerler tablosu oluşturalım - düz çizgi x = -1. İşlev özellikleri.

  Doğrusal bir fonksiyon, x'in bağımsız bir değişken olduğu, k ve b'nin herhangi bir sayı olduğu y = kx + b formunun bir fonksiyonudur.
  Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

  1. Bir fonksiyon grafiği çizmek için, fonksiyonun grafiğine ait iki noktanın koordinatlarına ihtiyacımız var. Onları bulmak için, iki x değeri almanız, bunları fonksiyonun denkleminde değiştirmeniz ve onlardan karşılık gelen y değerlerini hesaplamanız gerekir.

  Örneğin, y = x + 2 fonksiyonunu çizmek için x = 0 ve x = 3 almak uygundur, o zaman bu noktaların koordinatları y = 2 ve y = 3'e eşit olacaktır. A (0; 2) ve B (3; 3) puanları alıyoruz. Onları bağlarız ve y = x + 2 fonksiyonunun grafiğini alırız:
  

  2. y = kx + b formülünde, k sayısına orantı katsayısı denir:
  k> 0 ise, y = kx + b fonksiyonu artar
  eğer k
  b katsayısı, fonksiyon grafiğinin OY ekseni boyunca kaymasını gösterir:
  b> 0 ise, y = kx + b fonksiyonunun grafiği, y = kx fonksiyonunun grafiğinden, OY ekseni boyunca b birim yukarı kaydırılarak elde edilir.
  eğer b
  Aşağıdaki şekil y = 2x + 3 fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir; y = ½ x + 3; y = x + 3
  

  

  Tüm bu fonksiyonlarda k katsayısının Sıfırın üstünde, ve fonksiyonlar artan. Ayrıca, k değeri ne kadar büyük olursa, düz çizginin OX ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısı da o kadar büyük olur.

  Tüm fonksiyonlarda b = 3 - ve tüm grafiklerin OY eksenini (0; 3) noktasında kestiğini görüyoruz.

  Şimdi y = -2x + 3 fonksiyonlarının grafiklerini düşünün; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

  

  Bu sefer tüm fonksiyonlarda k katsayısı Sıfırdan daha az, ve fonksiyonlar azaltmak. Katsayısı b = 3 ve önceki durumda olduğu gibi grafikler OY eksenini (0; 3) noktasında kesiyor.

  y = 2x + 3 fonksiyonlarının grafiklerini düşünün; y = 2x; y = 2x-3

  

  Şimdi tüm fonksiyon denklemlerinde k katsayıları 2'ye eşittir. Ve elimizde üç paralel düz çizgi var.

  Ancak b katsayıları farklıdır ve bu grafikler OY eksenini farklı noktalarda keser:
  y = 2x + 3 (b = 3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0; 3) noktasında kesiyor.
  y = 2x (b = 0) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0; 0) - orijin noktasında keser.
  y = 2x-3 (b = -3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0; -3) noktasında kesiyor.

  Yani, k ve b katsayılarının işaretlerini biliyorsak, y = kx + b fonksiyonunun grafiğinin nasıl göründüğünü hemen hayal edebiliriz.
  Eğer 0

  

  Eğer k> 0 ve b> 0, y = kx + b fonksiyonunun grafiği şu şekildedir:

  

  Eğer k> 0 ve b, y = kx + b fonksiyonunun grafiği şu şekildedir:

  

  Eğer k ise, y = kx + b fonksiyonunun grafiği şu şekildedir:

  

  Eğer k = 0, sonra y = kx + b işlevi y = b işlevine dönüşür ve grafiği şöyle görünür:

  

  y = b fonksiyonunun grafiğinin tüm noktalarının koordinatları b'ye eşittir. b = 0, sonra y = kx (doğru orantılılık) fonksiyonunun grafiği orijinden geçer:

  

  3. Ayrı olarak, x = a denkleminin grafiğini not ediyoruz. Bu denklemin grafiği, tüm noktaları apsisi x = a olan OY eksenine paralel düz bir çizgidir.

  Örneğin, x = 3 denkleminin grafiği şöyle görünür:
  Dikkat! x = a denklemi bir fonksiyon değildir, çünkü argümanın bir değeri fonksiyonun tanımına karşılık gelmeyen fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelir.

  

  
  

  4. İki doğrunun paralellik koşulu:

  y = k 1 x + b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 = k 2 ise, y = k 2 x + b 2 fonksiyonunun grafiğine paraleldir.

  5. İki düz çizginin diklik koşulu:

  y = k 1 x + b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 * k 2 = -1 veya k 1 = -1 / k 2 ise y = k 2 x + b 2 fonksiyonunun grafiğine diktir

  6. y = kx + b fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları.

  OY ekseni ile. OY eksenine ait herhangi bir noktanın apsisi sıfırdır. Bu nedenle, OY ekseni ile kesişme noktasını bulmak için fonksiyonun denkleminde x yerine sıfırı kullanmanız gerekir. y = b elde ederiz. Yani, OY ekseni ile kesişme noktasının (0; b) koordinatları vardır.

  OX ekseni ile: OX eksenine ait herhangi bir noktanın ordinatı sıfırdır. Bu nedenle, OX ekseni ile kesişme noktasını bulmak için fonksiyonun denkleminde y yerine sıfırı kullanmanız gerekir. 0 = kx + b elde ederiz. Dolayısıyla x = -b / k. Yani, OX ekseni ile kesişme noktasının koordinatları vardır (-b / k; 0):