Çözüm uygulamalı görevler integralin hesaplanmasına indirgenir, ancak bunu tam olarak yapmak her zaman mümkün değildir. Bazen anlamını bilmen gerekir kesin integral bir dereceye kadar doğrulukla, örneğin binde birine kadar.

Belirli bir integralin yaklaşık değerini gerekli doğrulukla bulmanın gerekli olacağı görevler vardır, daha sonra Simposn yöntemi, yamuklar, dikdörtgenler gibi sayısal entegrasyon kullanılır. Tüm durumlar, belirli bir doğrulukla hesaplamamıza izin vermez.

Bu makale Newton-Leibniz formülünün uygulamasını ele almaktadır. Bu, belirli integralin tam olarak hesaplanması için gereklidir. Verilmiş olacak detaylı örnekler, belirli integralde değişkenin değişimini ele alıyoruz ve belirli integralin kısımlar halinde integralini alırken değerlerini buluyoruz.

Newton-Leibniz formülü

y = y (x) fonksiyonu [ a ; b ] ve F (x) bu segmentin fonksiyonunun ters türevlerinden biridir, o zaman Newton-Leibniz formülü adil sayılır. Şöyle yazalım ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Bu formül kabul edilir integral hesabının temel formülü.

Bu formülü kanıtlamak için, mevcut değişken üst limiti olan bir integral kavramını kullanmak gerekir.

y = f (x) fonksiyonu [ a ; b ] , ardından x ∈ a argümanının değeri; b , ve integral ∫ a x f (t) d t şeklindedir ve üst sınırın bir fonksiyonu olarak kabul edilir. ∫ axf (t) dt = Φ (x) şeklinde olacak fonksiyonun gösterimini kabul etmek gerekir, süreklidir ve formun eşitsizliği ∫ axf (t) dt " = Φ " (x) = f(x) bunun için geçerlidir.

Φ (x) fonksiyonunun artışının ∆ x argümanının artışına karşılık geldiğini sabitliyoruz, belirli bir integralin beşinci ana özelliğini kullanmak ve elde etmek gerekiyor

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

burada değer c ∈ x ; x + ∆x .

Eşitliği Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) biçiminde sabitliyoruz. Bir fonksiyonun türevinin tanımına göre, ∆ x → 0 olarak limite geçmek gerekir, o zaman [ a ; b ] üzerinde bulunan formun bir formülünü alırız. Aksi takdirde, ifade yazılabilir.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , burada C değeri sabittir.

Belirli integralin birinci özelliğini kullanarak F(a)'yı hesaplayalım. O zaman bunu alırız

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , dolayısıyla C = F (a) . Sonuç, F (b) hesaplanırken geçerlidir ve şunu elde ederiz:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) , başka bir deyişle, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a) . Eşitlik Newton-Leibniz formülünü kanıtlar ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Fonksiyonun artışı F x a b = F (b) - F (a) olarak alınır. Notasyon yardımıyla Newton-Leibniz formülü ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) olur.

Formülü uygulamak için, [ a ; b ] , bu segmentten terstürevin artışını hesaplayın. Newton-Leibniz formülünü kullanan birkaç hesaplama örneğini düşünün.

örnek 1

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali ∫ 1 3 x 2 d x hesaplayın.

Çözüm

y = x 2 formunun integralinin [ 1 ; 3 ] , ardından ve bu segmentte integrallenebilir. Belirsiz integraller tablosuna göre, y \u003d x 2 işlevinin, x'in tüm gerçek değerleri için bir dizi ters türev olduğunu görüyoruz, bu, x ∈ 1 anlamına gelir; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C olarak yazılacaktır. C \u003d 0 ile ters türevi almak gerekir, o zaman F (x) \u003d x 3 3 elde ederiz.

Newton-Leibniz formülünü kullanalım ve belirli integralin hesaplanmasının ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 şeklinde olacağını alalım.

Yanıt vermek:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Örnek 2

Newton-Leibniz formülünü kullanarak ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x belirli integralini hesaplayın.

Çözüm

Verilen fonksiyon [ - 1 ; 2 ], bunun üzerinde integrallenebilir olduğu anlamına gelir. Diferansiyel işaret altında toplama yöntemini kullanarak belirsiz integral ∫ x ex 2 + 1 dx değerini bulmak gerekir, o zaman ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 elde ederiz) + 1) = 1 2 ör. 2+1+C.

Dolayısıyla y = x · e x 2 + 1 fonksiyonunun tüm x , x ∈ - 1 için geçerli olan bir ters türevleri kümesine sahibiz; 2.

C=0'da ters türevi almak ve Newton-Leibniz formülünü uygulamak gerekir. Sonra formun bir ifadesini alırız

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Yanıt vermek:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Örnek 3

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x ve ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallerini hesaplayın.

Çözüm

Bölüm - 4; - 1 2, integral işaretinin altındaki fonksiyonun sürekli olduğunu, yani integrallenebilir olduğunu söylüyor. Buradan y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonunun ters türevleri kümesini buluruz. anladık

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x ters türevini almak gerekir, ardından Newton-Leibniz formülünü uygulayarak hesapladığımız integrali elde ederiz:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

İkinci integralin hesaplanmasına geçiş yapıyoruz.

Segmentinden [ - 1 ; 1 ] integralin sınırsız olduğu kabul edilir, çünkü lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ gerekli kondisyon bir segmentten bütünleştirilebilirlik. O zaman F (x) = 2 x 2 - 2 x, y = 4 x 3 + 2 x 2 için [ - 1 ; 1 ] , çünkü O noktası segmente aittir, ancak tanım alanına dahil değildir. Bu, y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; bir ] .

Cevap: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, y = 4 x 3 + 2 x 2 fonksiyonu için [ - 1 ; bir ] .

Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce, belirli bir integralin varlığını tam olarak bilmeniz gerekir.

Belirli bir integralde değişken değişimi

y = f (x) fonksiyonu tanımlı ve [ a ; b ] , ardından mevcut küme [ a ; b ], α aralığında tanımlanan x = g (z) fonksiyonunun aralığı olarak kabul edilir; g (α) = a ve g β = b olduğu mevcut sürekli türev ile β, dolayısıyla ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Bu formül, belirsiz integralin ∫ f (x) d x biçiminde olduğu ∫ a b f (x) d x integralini hesaplamak gerektiğinde kullanılır, ikame yöntemini kullanarak hesaplarız.

Örnek 4

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x formunun belirli bir integralini hesaplayın.

Çözüm

İntegrant, integral aralığında sürekli olarak kabul edilir, bu da belirli integralin var olduğu anlamına gelir. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 gösterimini verelim. x \u003d 9 değeri, z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 olduğu anlamına gelir ve x \u003d 18 için z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, ardından g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Elde edilen değerleri ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z formülüne koyarak şunu elde ederiz:

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 gün

Belirsiz integraller tablosuna göre, 2 z 2 + 9 fonksiyonunun ters türevlerinden birinin 2 3 a r c t g z 3 değerini aldığına sahibiz. Sonra Newton-Leibniz formülünü uygulayarak şunu elde ederiz.

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - bir r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Bulgu, ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z formülü kullanılmadan yapılabilir.

Yerine koyma yöntemi ∫ 1 x 2 x - 9 d x biçiminde bir integral kullanıyorsa, ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C sonucuna ulaşabiliriz.

Buradan Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplamalar yapacağız ve belirli integrali hesaplayacağız. anladık

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arktgz 3 9 18 = = 2 3 arktg 2 18 - 9 3 - arktg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arktg 3 - arktg 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Sonuçlar eşleşti.

Cevap: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Belirli bir integralin hesaplanmasında parçalara göre entegrasyon

Segmentinde ise [ a ; b ] u (x) ve v (x) fonksiyonları tanımlı ve süreklidir, o zaman onların birinci mertebeden türevleri v " (x) u (x) integrallenebilirdir, dolayısıyla integrallenebilir fonksiyon u " (x) v için bu aralıktan itibaren ( x) ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx doğrudur.

Formül kullanılabilir o zaman, ∫ a b f (x) d x integralini hesaplamak gerekiyordu ve ∫ f (x) d x onu parçalara göre integrasyon kullanarak bulmak gerekiyordu.

Örnek 5

Belirli integrali ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x hesaplayın.

Çözüm

x sin x 3 + π 6 işlevi - π 2 segmentinde integrallenebilir; 3 π 2 , yani süreklidir.

u (x) \u003d x, sonra d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx ve d (u (x)) \u003d u" (x) olsun dx \u003d dx ve v (x) = - 3 çünkü π 3 + π 6 . ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x formülünden şunu elde ederiz

∫ - π 2 3 π 2 x günah x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 çünkü π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 günah π 2 + π 6 - günah - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Örneğin çözümü başka bir şekilde yapılabilir.

Newton-Leibniz formülünü kullanarak parçalara göre integrali kullanarak x sin x 3 + π 6 fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun:

∫ x günah xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = günah x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 günah x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x günah x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Cevap: ∫ x günah x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Daha yüksek siparişlerin türevleri

Bu derste, yüksek mertebeden türevlerin nasıl bulunacağını öğreneceğiz ve "n'inci" türevin genel formülünü yazacağız. Ek olarak, böyle bir türev için Leibniz formülü dikkate alınacak ve popüler talebe göre, örtük işlev. Hemen bir mini test yapmanızı öneririm:

İşte fonksiyon: ve işte ilk türevi:

Bu örnekle ilgili herhangi bir zorluk/yanlış anlamanız varsa, lütfen kursumun iki temel makalesiyle başlayın: Türev nasıl bulunur? ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Temel türevlere hakim olduktan sonra, dersi okumanızı tavsiye ederim. Bir türevle ilgili en basit problemlerüzerinde durduğumuz, özellikle ikinci türev.

İkinci türevin 1. türevin türevi olduğunu tahmin etmek bile zor değil:

Prensipte, ikinci türev zaten daha yüksek bir türev olarak kabul edilir.

Benzer şekilde: üçüncü türev, 2. türevin türevidir:

Dördüncü türev, 3. türevin türevidir:

Beşinci türev: , ve daha yüksek dereceli tüm türevlerin de sıfıra eşit olacağı açıktır:

Romen numaralandırmasına ek olarak, pratikte genellikle aşağıdaki tanımlamalar kullanılır:
, "n'inci" mertebenin türevi ise ile gösterilir. Bu durumda, üst simge dizini parantez içine alınmalıdır.- dereceden türevi "y" den ayırt etmek.

Bazen böyle bir giriş vardır: - sırasıyla üçüncü, dördüncü, beşinci, ..., "nth" türevleri.

Korku ve şüphe duymadan ilerleyin:

örnek 1

Verilen bir fonksiyon. Bulmak .

Çözüm: ne söyleyebilirsiniz ... - dördüncü türev için ileri :)

Artık dört vuruş koymak geleneksel değil, bu yüzden sayısal endekslere geçiyoruz:

Yanıt vermek:

Tamam, şimdi şu soruyu düşünelim: koşula göre 4. değil, örneğin 20. türevi bulmak gerekiyorsa ne yapmalı? 3-4-5'in türevi için ise (maksimum, 6-7.) sipariş, çözüm oldukça hızlı bir şekilde hazırlanır, o zaman daha yüksek derecelerin türevlerine “alacağız”, oh, ne kadar yakında. Aslında 20 satır yazmayın! Böyle bir durumda, birkaç bulunan türevleri analiz etmeniz, örüntüyü görmeniz ve "n'inci" türev için bir formül oluşturmanız gerekir. Dolayısıyla, Örnek No. 1'de, sonraki her türevlemeyle, üssün önünde ek bir "üçlü"nün "dışarı çıkacağını" ve herhangi bir adımda "üçlü"nün derecesinin sayıya eşit olduğunu anlamak kolaydır. türev, bu nedenle:

Keyfi bir doğal sayı nerede.

Ve gerçekten, eğer , o zaman tam olarak 1. türev elde edilir: , eğer - o zaman 2.: vb. Böylece yirminci türev anında belirlenir: - ve "kilometre levhası" yok!

Kendi başımıza ısınmak:

Örnek 2

Özellikleri bulun. Sıra türevini yazın

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Canlandırıcı bir ısınmadan sonra, daha fazlasına bir göz atalım karmaşık örnekler, burada yukarıdaki çözüm algoritmasını çözeceğiz. Dersi okuyanlar için sıra sınırı, biraz daha kolay olacak:

Örnek 3

İşlev için bulun.

Çözüm: durumu netleştirmek için birkaç türev buluyoruz:

Ortaya çıkan sayıları çarpmak için acelemiz yok! ;-)


Belki yeterli. ... Hatta biraz abarttım.

Bir sonraki adımda, "nth" türevinin formülünü yazmak en iyisidir. (şart bunu gerektirmediğinde, bir taslakla geçebilirsiniz). Bunu yapmak için, elde edilen sonuçlara bakarız ve sonraki türevlerin elde edildiği kalıpları tanımlarız.

Önce imzalarlar. serpiştirme sağlar "flaşör", ve 1. türev pozitif olduğundan, genel formüle aşağıdaki faktör girecektir: . Eşdeğer bir seçenek olacaktır, ancak kişisel olarak, bir iyimser olarak artı işaretini seviyorum =)

İkincisi, "rüzgarlar" payında faktöriyel ve türev sayısının bir birim gerisinde kalıyor:

Üçüncüsü, türevin sayısına eşit olan payda “iki”nin gücü artar. Aynı şey paydanın derecesi için de söylenebilir. Nihayet:

Doğrulama amacıyla, örneğin birkaç "tr" değerini değiştirelim ve:

Harika, şimdi hata yapmak sadece günah:

Yanıt vermek:

Kendin yap çözümü için daha basit bir işlev:

Örnek 4

Özellikleri bulun.

Ve daha zor bir problem:

Örnek 5

Özellikleri bulun.

İşlemi bir kez daha tekrarlayalım:

1) Önce birkaç türev buluyoruz. Desenleri yakalamak için genellikle üç veya dört yeterlidir.

2) O zaman derlemeyi şiddetle tavsiye ederim (en azından taslakta)"nth" türevi - hatalara karşı koruma garanti edilir. Ama onsuz yapabilirsiniz, yani. zihinsel olarak tahmin edin ve örneğin yirminci veya sekizinci türevi hemen yazın. Ayrıca, bazı insanlar genellikle söz konusu sorunları sözlü olarak çözebilirler. Ancak, "hızlı" yöntemlerin dolu olduğu ve güvenli oynamanın daha iyi olduğu unutulmamalıdır.

3) Son aşamada, "nth" türevini kontrol ediyoruz - "en" (komşu olanlardan daha iyi) bir çift değer alıyoruz ve bir ikame yapıyoruz. Ve daha da güvenilir olanı, daha önce bulunan tüm türevleri kontrol etmektir. Ardından, örneğin veya istenen değeri değiştiririz ve sonucu dikkatlice tararız.

Dersin sonunda 4. ve 5. örneklerin kısa çözümü.

Bazı görevlerde, sorunlardan kaçınmak için işlev üzerinde biraz sihir yapmanız gerekir:

Örnek 6

Çözüm: Önerilen fonksiyonun türevini almak istemiyorum, çünkü sonraki türevleri bulmayı çok zorlaştıracak “kötü” bir kesir olduğu ortaya çıkacaktır.

Bu bağlamda, ön dönüşümlerin yapılması tavsiye edilir: kullanıyoruz kareler farkı formülü ve logaritma özelliği :

Oldukça farklı bir konu:

Ve eski arkadaşlar:

Bence her şeye bakılıyor. 2. fraksiyonun imzalandığını, ancak 1.'nin imzalanmadığını unutmayın. Sipariş türevini oluşturuyoruz:

Kontrol:

Güzellik için, parantez içindeki faktöriyelleri alıyoruz:

Yanıt vermek:

Bağımsız bir çözüm için ilginç bir görev:

Örnek 7

Fonksiyonun sıralı türev formülünü yazın

Ve şimdi sarsılmaz karşılıklı garanti hakkında, hatta italyan mafyası:

Örnek 8

Verilen bir fonksiyon. Bulmak

Noktadaki on sekizinci türev . Sadece.

Çözüm: önce, açıkçası, bulmanız gerekiyor . Gitmek:

Sinüsten başladılar ve sinüse geldiler. Daha fazla farklılaşma ile bu döngünün sonsuza kadar devam edeceği açıktır ve şu soru ortaya çıkar: on sekizinci türev en iyi nasıl “elde edilir”?

“Amatör” yöntemi: Sağdaki sütunda sonraki türevlerin sayılarını hızlı bir şekilde yazıyoruz:

Böylece:

Ancak türevin mertebesi çok büyük değilse işe yarar. Yüzüncü türevi bulmanız gerekiyorsa, o zaman 4'e bölünebilirliği kullanmalısınız. Yüz, 4'e kalansız bölünebilir ve bu sayıların en alt satırda yer aldığını görmek kolaydır, bu nedenle: .

Bu arada, 18. türev de benzer hususlardan belirlenebilir:
İkinci satır, kalan 2 ile 4'e bölünebilen sayıları içerir.

Başka, daha akademik bir yöntem, sinüs periyodikliği ve azaltma formülleri. Sinüs'ün hazır formül "nth" türevini kullanıyoruz , istenen sayının basitçe değiştirildiği. Örneğin:
(azaltma formülü ) ;
(azaltma formülü )

Bizim durumumuzda:

(1) Sinüs noktalı periyodik bir fonksiyon olduğundan, argüman ağrısız bir şekilde 4 periyot (yani) “sökülebilir” olabilir.

İki fonksiyonun çarpımının dereceli türevi aşağıdaki formülle bulunabilir:

Özellikle:

Özel olarak hiçbir şeyi hatırlamanıza gerek yok çünkü ne kadar çok formül bilirseniz o kadar az anlarsınız. bilmek çok daha iyi Newton'un iki terimlisi, çünkü Leibniz'in formülü ona çok ama çok benzer. Peki, 7. veya daha yüksek derecelerin türevini alan şanslı olanlar (ki bu gerçekten olası değil) buna mecbur kalacak. Ancak zamanı geldiğinde kombinatorik- hala zorundasın =)

fonksiyonunun üçüncü türevini bulalım. Leibniz formülünü kullanıyoruz:

Bu durumda: . Türevlerin sözlü olarak tıklanması kolaydır:

Şimdi ikameyi dikkatli ve DİKKATLİ bir şekilde yapıyoruz ve sonucu basitleştiriyoruz:

Yanıt vermek:

Bağımsız bir çözüm için benzer bir görev:

Örnek 11

Özellikleri bul

Önceki örnekte "alnındaki" çözüm hala Leibniz formülüyle rekabet ediyorsa, o zaman burada zaten gerçekten tatsız olacaktır. Ve daha da tatsız - daha fazla olması durumunda yüksek mertebe türev:

Örnek 12

Belirtilen sıranın türevini bulun

Çözüm: ilk ve önemli açıklama - böyle karar vermek, muhtemelen gerekli değildir =) =)

Fonksiyonları yazalım ve 5. mertebe de dahil olmak üzere türevlerini bulalım. Sağ sütunun türevlerinin sizin için sözlü hale geldiğini varsayıyorum:

Sol sütunda, “canlı” türevler hızla “sona erdi” ve bu çok iyi - Leibniz formülünde üç terim sıfırlanacak:

Makalede ortaya çıkan ikilem üzerinde tekrar duracağım. karmaşık türevler: sonucu basitleştirmek için? Prensip olarak, böyle bırakabilirsiniz - öğretmenin kontrol etmesi daha da kolay olacaktır. Ancak kararı aklına getirmesi gerekebilir. Öte yandan, kendi inisiyatifiyle basitleştirme, cebirsel hatalarla doludur. Ancak "ilkel" bir şekilde elde edilmiş bir cevabımız var =) (başlangıçtaki bağlantıya bakın) ve umarım doğrudur:

Harika, her şey yoluna girdi.

Yanıt vermek:

Kendi kendine çözme için mutlu görev:

Örnek 13

İşlev için:
a) doğrudan farklılaşma yoluyla bulun;
b) Leibniz formülüyle bulun;
c) hesaplayın.

Hayır, ben hiç sadist değilim - buradaki "a" noktası oldukça basit =)

Ama cidden, art arda farklılaşma yoluyla "doğrudan" çözümün de "yaşam hakkı" vardır - bazı durumlarda karmaşıklığı Leibniz formülünün uygulanmasının karmaşıklığıyla karşılaştırılabilir. Uygun gördüğünüz gibi kullanın - bu muhtemelen ödevi saymamak için bir neden değildir.

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Son paragrafı yükseltmek için şunları yapabilmeniz gerekir: örtük işlevleri ayırt etmek:

Kapalı fonksiyonların yüksek dereceli türevleri

Birçoğumuz hayatımızın uzun saatlerini, günlerini ve haftalarını ders çalışarak geçirdik. çevreler, parabol, abartma– ve hatta bazen gerçek bir ceza gibi görünüyordu. Öyleyse intikam alalım ve onları düzgün bir şekilde ayırt edelim!

"Okul" parabolü ile başlayalım. kanonik konum:

Örnek 14

Bir denklem verilir. Bulmak .

Çözüm: ilk adım tanıdık:

Fonksiyonun ve türevinin üstü kapalı olarak ifade edilmiş olması konunun özünü değiştirmez, ikinci türev 1. türevin türevidir:

Ancak oyunun kuralları vardır: 2. ve daha yüksek derecelerin türevleri genellikle ifade edilir. sadece "x" ve "y" ile. Bu nedenle, elde edilen 2. türevi yerine koyarız:

Üçüncü türev, 2. türevin türevidir:

Benzer şekilde, yerine koyalım:

Yanıt vermek:

"Okul" abartması kanonik konum- için bağımsız iş:

Örnek 15

Bir denklem verilir. Bulmak .

2. türevin ve sonucun sadece "x" / "y" ile ifade edilmesi gerektiğini tekrar ediyorum!

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Çocuk şakalarından sonra, Alman pornografisine @ fia bakalım, bir başka önemli çözümü öğrendiğimiz daha yetişkin örneklerine bakalım:

Örnek 16

Elips kendisi.

Çözüm: 1. türevi bulun:

Şimdi durup bir sonraki anı analiz edelim: şimdi hiç de cesaret verici olmayan kesri ayırt etmemiz gerekiyor. Bu durumda, elbette, basittir, ancak gerçek hayattaki problemlerde bu tür armağanlardan sadece birkaçı vardır. Hantal türevi bulmaktan kaçınmanın bir yolu var mı? Var! Denklemi alıyoruz ve 1. türevi bulmakla aynı tekniği kullanıyoruz - her iki parçaya da vuruşları “asıyoruz”:

İkinci türev yalnızca ve ile ifade edilmelidir, bu yüzden şimdi (şu anda) 1. türevden kurtulmak uygundur. Bunu yapmak için, ortaya çıkan denklemi yerine koyarız:

Gereksiz teknik zorluklardan kaçınmak için her iki kısmı da şu şekilde çarpıyoruz:

Ve sadece son aşamada bir kesir oluşturuyoruz:

Şimdi orijinal denkleme bakıyoruz ve elde edilen sonucun basitleştirilebileceğini görüyoruz:

Yanıt vermek:

Bir noktada 2. türevin değeri nasıl bulunur? (elipse ait elbette)örneğin, noktada ? Çok kolay! Bu motifle ilgili derste zaten karşılaşılmıştı. normal denklem: 2. türevin ifadesinde yerine koymanız gerekir :

Tabii ki, her üç durumda da, açıkça verilen işlevleri alabilir ve bunları farklılaştırabilirsiniz, ancak daha sonra zihinsel olarak kök içeren iki işlevle çalışmaya hazırlanabilirsiniz. Benim düşünceme göre, çözüm "örtük olarak" yürütmek için daha uygundur.

Kendi kendine çözüm için son örnek:

Örnek 17

örtük işlevi bul