Ayrı ayrı alınan her değer, tamamen dağıtım fonksiyonu tarafından belirlenir. Ayrıca, pratik problemleri çözmek için, rastgele bir değişkenin ana özelliklerini kısa bir biçimde sunmayı mümkün kılan birkaç sayısal özelliği bilmek yeterlidir.

Bu değerler öncelikle beklenen değer ve dağılım .

Beklenen değer- olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olarak belirtilir.

En basit şekilde, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X (w) olarak bul integralLebesgue olasılık ölçüsü ile ilgili olarak r orijinal olasılık uzayı

Bir değerin matematiksel beklentisini şu şekilde de bulabilirsiniz: Lebesgue integrali itibaren NS olasılık dağılımına göre PX büyüklükler x:

tüm olası değerlerin kümesi nerede x.

Rastgele bir değişkenin fonksiyonlarının matematiksel beklentisi x dağıtım yoluyla PX. Örneğin, Eğer x- değerleri olan rastgele bir değişken ve f(x)- açık borelişlev NS , sonra:

Eğer (x)- dağıtım işlevi x, o zaman matematiksel beklenti temsil edilebilir integralLebesgue - Stieltjes (veya Riemann - Stieltjes):

ayrıca, bütünleştirilebilirlik x anlamında ( * ) integralin sonluluğuna karşılık gelir

Özel durumlarda, eğer x sahip ayrık dağıtım olası değerlerle x k, k = 1, 2,. , ve olasılıklar, o zaman

Eğer x olasılık yoğunluğu ile kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir p (x), sonra

bu durumda, matematiksel bir beklentinin varlığı, karşılık gelen seri veya integralin mutlak yakınsamasına eşdeğerdir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

• Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu değere eşittir:

C- devamlı;

• M = C.M [X]

• Rastgele alınan değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

• Rastgele alınan bağımsız niceliklerin çarpımının matematiksel beklentisi = matematiksel beklentilerinin çarpımı:

M = M [X] + M [Y]

Eğer x ve Y bağımsız.

seri yakınsarsa:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri yeniden numaralandırılabilir doğal sayılar; her değeri sıfır olmayan bir olasılıkla eşitleyin.

1. Çiftleri sırayla çarpın: x benüzerinde ben.

2. Her çiftin ürününü ekleyin x ben p ben.

Örneğin, için n = 4 :

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu adım adım, olasılıkları pozitif bir işarete sahip olan noktalarda aniden artar.

Örnek: Formülden beklenen değeri bulun.

rastgele bir değer Her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişkene değişken denir. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ Türlerine göre, rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık ve sürekli.

Ayrık rassal değişken değerleri sayılabilir, yani sonlu veya sayılabilirden fazla olamayan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik, rastgele bir değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceği anlamına gelir.

örnek 1 ... Aşağıda, kesikli rastgele değişkenlere ilişkin bazı örnekler verilmiştir:

a) $ n $ atışları için hedefteki isabet sayısı, burada olası değerler$ 0, \ 1, \ \ noktalar, \ n $.

b) Madeni para atıldığında düşen arma sayısı, burada olası değerler $ 0, \ 1, \ \ dots, \ n $'dır.

c) Gemiye gelen gemi sayısı (sayılabilir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Kesikli bir rastgele değişken için olasılık dağılımı yasası.

Ayrık rastgele değişken $ X $, $ x_1, \ dots, \ x_n $, olasılıkları $ p \ left (x_1 \ right), \ \ dots, \ p \ left (x_n \ right) $ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası... Kural olarak, bu yazışma, ilk satırda $ x_1, \ dots, \ x_n $ değerlerinin belirtildiği ve ikinci satırda $ p_1, \ dots, \ p_n $ olasılıklarının belirtildiği bir tablo kullanılarak ayarlanır. bu değerlere karşılık gelir.

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
X_i & x_1 & x_2 & \ noktalar & x_n \\
\ çizgi
p_i & p_1 & p_2 & \ noktalar & p_n \\
\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

Örnek 2 ... $ X $ rasgele değişkeni, bir zar atılırken düşen puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $ X $, şu değerleri alabilir: $ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6 $ 'dır. Ardından $ X $ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ çizgi

\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

Yorum Yap... Ayrık rasgele değişkenin dağılım yasasında $ X $ olaylar $ 1, \ 2, \ \ dots, \ 6 $ tam bir olay grubu oluşturduğundan, toplam olasılıklar bire eşit olmalıdır, yani $ \ toplam (p_i) = 1 $.

2. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi"merkezi" anlamını belirler. Kesikli bir rastgele değişken için, beklenti, karşılık gelen $ p_1, \ dots, \ p_n $ olasılıkları ile $ x_1, \ dots, \ x_n $ değerlerinin ürünlerinin toplamı olarak hesaplanır, yani: $ M \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. İngilizce literatürde farklı bir gösterim kullanılır, $ E \ left (X \ right) $.

Matematiksel beklenti özellikleri$ M \ sol (X \ sağ) $:

1. $ M \ left (X \ right) $, en küçük ve en yüksek değerler rastgele değişken $ X $.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir, yani. $ M \ sol (C \ sağ) = C $.
3. Sabit faktör matematiksel beklenti işaretinin dışında alınabilir: $ M \ sol (CX \ sağ) = CM \ sol (X \ sağ) $.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $ M \ sol (X + Y \ sağ) = M \ sol (X \ sağ) + M \ sol (Y \ sağ) $.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $ M \ sol (XY \ sağ) = M \ sol (X \ sağ) M \ sol (Y \ sağ) $.

Örnek 3 ... $ X $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini örnek $ 2 $'dan bulalım.

$$ M \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ üzeri (6)) + 2 \ cdot ((1) \ üst (6) ) +3 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 4 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 5 \ cdot ((1) \ üstü (6)) + 6 \ cdot ((1) ) \ üzeri (6)) = 3.5.$$

$ M \ left (X \ right) $ 'ın $ X $ rastgele değişkeninin en küçük (1 $) ve en büyük (6 $) değerleri arasına alındığını fark edebiliriz.

Örnek 4 ... $ X $ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $ M \ left (X \ right) = 2 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 3X + 5 $ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $ M \ left (3X + 5 \ right) = M \ left (3X \ right) + M \ left (5 \ sağ) = 3M \ left (X \ right) + 5 = 3 \ elde ederiz. cdot 2 + 5 = 11 $.

Örnek 5 ... $ X $ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $ M \ left (X \ right) = 4 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 2X-9 $ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ M \ left (2X-9 \ right) = M \ left (2X \ right) -M \ left (9 \ sağ) = 2M \ left (X \ right) -9 = 2 \ cdot elde ederiz. 4 -9 = -1 $.

3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekillerde dağılabilir. Örneğin, iki öğrenci grubunda not ortalaması olasılık teorisindeki sınav için 4 olduğu ortaya çıktı, ancak bir grupta herkesin iyi olduğu ve diğer grupta - sadece C ve mükemmel öğrenciler olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasını gösterecek böyle bir sayısal özelliğe ihtiyaç vardır. Bu özellik varyanstır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$ X $ şuna eşittir:

$$ D \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_i (\ sol (x_i-M \ sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2). \ $$

İngiliz dili literatüründe $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $ gösterimi kullanılır. Çok sık olarak $ D \ left (X \ right) $ varyansı $ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \) formülüyle hesaplanır sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2 $.

Dağılım özellikleri$ D \ sol (X \ sağ) $:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani. $ D \ sol (X \ sağ) \ ge 0 $.
2. Sabitin varyansı sıfıra eşittir, yani. $ D \ sol (C \ sağ) = 0 $.
3. Kare olması koşuluyla varyans işaretinden sabit bir faktör alınabilir, yani. $ D \ sol (CX \ sağ) = C ^ 2B \ sol (X \ sağ) $.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $ D \ sol (X + Y \ sağ) = D \ sol (X \ sağ) + D \ sol (Y \ sağ) $.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $ D \ sol (X-Y \ sağ) = D \ sol (X \ sağ) + D \ sol (Y \ sağ) $.

Örnek 6 ... Örnek $ 2 $'dan $ X $ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$ D \ sol (X \ sağ) = \ toplam ^ n_ (i = 1) (p_i (\ sol (x_i-M \ sol (X \ sağ) \ sağ)) ^ 2) = ((1) \ üzerinde (6)) \ cdot (\ sol (1-3,5 \ sağ)) ^ 2 + ((1) \ üst (6)) \ cdot (\ sol (2-3,5 \ sağ)) ^ 2+ \ nokta + ( (1) \ üzerinde (6)) \ cdot (\ sol (6-3,5 \ sağ)) ^ 2 = ((35) \ üzerinde (12)) \ yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 ... $ X $ rastgele değişkeninin varyansının $ D \ left (X \ right) = 2 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 4X + 1 $ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ D \ left (4X + 1 \ right) = D \ left (4X \ right) + D \ left (1 \ right) = 4 ^ 2D \ left (X \ right) + 0 = buluyoruz 16D \ sol (X \ sağ) = 16 \ cdot 2 = 32 $.

Örnek 8 ... $ X $ rastgele değişkeninin varyansının $ D \ left (X \ right) = 3 $'a eşit olduğu bilinmektedir. $ 3-2X $ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ sol (X \ sağ) = buluyoruz 4D \ sol (X \ sağ) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Kesikli bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi şeklinde temsil etmenin yolu tek değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır - dağıtım işlevi.

Dağıtım işlevi$ X $ rastgele değişkenine $ F \ left (x \ right) $ işlevi denir; bu, $ X $ rastgele değişkeninin sabit bir $ x $ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani, $ F \ sol (x \ sağ ) = P \ sol (X< x\right)$

Dağıtım işlevi özellikleri:

1. $ 0 \ le F \ sol (x \ sağ) \ le 1 $.
2. $ X $ rastgele değişkeninin $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ aralığından değerler alma olasılığı, bu aralığın sonundaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. : $ P \ sol (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ sol (x \ sağ) $ - azalmayan.
4. $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ sol (x \ sağ) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ ila + \ infty) F \ sol (x \ sağ) = 1 \) $.

Örnek 9 ... Örnek $ 2 $'dan ayrık rastgele değişken $ X $'ın dağılım yasası için $ F \ sol (x \ sağ) $ dağılım fonksiyonunu bulalım.

$ \ başlangıç ​​(dizi) (| c | c |)
\ çizgi
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ çizgi
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ çizgi
\ bitiş (dizi) $

$ x \ le 1 $ ise, açıkçası, $ F \ sol (x \ sağ) = 0 $ ($ x = 1 $ $ F \ sol (1 \ sağ) = P \ sol (X dahil)< 1\right)=0$).

1 dolar ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2 dolar ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3 dolar ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4 dolar ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5 dolar ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$ x> 6 $ ise, o zaman $ F \ sol (x \ sağ) = P \ sol (X = 1 \ sağ) + P \ sol (X = 2 \ sağ) + P \ sol (X = 3 \ sağ) + P \ sol (X = 4 \ sağ) + P \ sol (X = 5 \ sağ) + P \ sol (X = 6 \ sağ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.

Yani $ F (x) = \ sol \ (\ başla (matris)
0, \ için \ x \ le 1, \\
1/6, \ 1 için< x\le 2,\\
1/3, \ için \ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3 için< x\le 4,\\
2/3, \ için \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ için \ 4< x\le 5,\\
1, \ için \ x> 6.
\ bitiş (matris) \ sağ.

Dağılım yasası, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder. Ancak, dağıtım yasası genellikle bilinmez ve kişi kendini daha az bilgiyle sınırlamak zorundadır. Bazen toplamda rastgele bir değişkeni tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olur, bu tür sayılara denir. sayısal özellikler rastgele değişken. Matematiksel beklenti önemli sayısal özelliklerden biridir.

Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti, rastgele değişkenin ortalama değerine yaklaşık olarak eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcı tarafından nakavt edilen puan sayısının matematiksel beklentisinin ikincininkinden daha büyük olduğu biliniyorsa, o zaman ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve bu nedenle, ikinciden daha iyi vuruyor.

Tanım 4.1: matematiksel beklenti kesikli bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ürünlerinin olasılıklarına göre toplamı olarak adlandırılır.

Rastgele değişken olsun x sadece değerleri alabilir x 1, x 2, ... x n olasılıkları sırasıyla eşit olan s 1, s 2, ... s n. O zaman beklenti M (X) rastgele bir değişkenin x eşitlik ile tanımlanır

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n.

Ayrık bir rastgele değişken ise x sayılabilir bir dizi olası değer alır, ardından

,

üstelik eşitliğin sağındaki seri mutlak yakınsak ise beklenti vardır.

Örnek. Bir olayın beklenen oluşum sayısını bulun A bir denemede, eğer bir olayın olasılığı A eşittir P.

Çözüm: rastgele değer x- olayın meydana gelme sayısı A Bernoulli dağılımına sahiptir, bu nedenle

Böylece, bir denemede bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, bu olayın olasılığına eşittir.

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilmesine izin ver n rastgele değişkenin olduğu testler x kabul edilmiş m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x 2 ,…, mkçarpı değer x k, ve m 1 + m 2 +… + mk = n... Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı x, eşittir x 1 m 1 + x 2 m 2 +… + x k m k .

Rastgele bir değişken tarafından alınan tüm değerlerin aritmetik ortalaması olacaktır.

Davranış ben / n- göreceli frekans ben anlam x ben olayın gerçekleşme olasılığına yaklaşık olarak eşittir ben, nerede , Öyleyse

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı aşağıdaki gibidir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(daha doğru daha fazla sayı testler) rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Matematiksel beklenti özellikleri

Mülk1:Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir

Mülk2:Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir.

Tanım 4.2: İki rastgele değişken arandı bağımsız, birinin dağılım yasası, diğerinin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi halde rastgele değişkenler bağımlıdır.

Tanım 4.3: Birkaç rastgele değişken arandı karşılıklı bağımsız, herhangi bir sayıdaki dağıtım yasaları, kalan miktarların olası değerlerine bağlı değilse.

Mülk3:İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Sonuç:Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Mülk4:İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Sonuç:Birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Örnek. Binom rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplıyoruz X - olayın tarihi A v n deneyler.

Çözüm: Toplam sayısı x olay görünüşleri A bu denemelerde, olayın bireysel denemelerde meydana gelme sayısının toplamıdır. Rastgele değişkenleri tanıtıyoruz X ben- olayın meydana gelme sayısı ben matematiksel beklenti ile Bernoulli rastgele değişkenleri olan th testi, burada ... Matematiksel beklentinin özelliği ile,

Böylece, beklenen değer Binom dağılımı n ve p parametreleriyle, np'nin ürününe eşittir.

Örnek. Silahtan ateş ederken hedefi vurma olasılığı p = 0.6. Beklenen değeri bulun toplam 10 atış yapılırsa vurur.

Çözüm: Her atıştaki vuruş, diğer atışların sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle söz konusu olaylar bağımsızdır ve dolayısıyla istenen matematiksel beklentidir.

Rastgele bir değişkenin en eksiksiz özelliği dağılım yasasıdır. Ancak her zaman bilinmez ve bu durumlarda daha az bilgi ile yetinmek gerekir. Bu tür bilgiler şunları içerebilir: rastgele değişkenin varyasyon aralığı, en büyük (en küçük) değeri, rastgele değişkeni özet bir şekilde tanımlayan diğer bazı özellikler. Bütün bu miktarlara denir sayısal özellikler rastgele değişken. Genellikle bunlar bazı Rastgele olmayan bir şekilde rastgele bir değişkeni karakterize eden sayılar. Sayısal özelliklerin temel amacı, belirli bir dağılımın en önemli özelliklerini kısaca ifade etmektir.

Rastgele bir değişkenin en basit sayısal özelliği NS onu aradı beklenen değer:

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)

Buraya x 1, x 2, …, x n- rastgele bir değişkenin olası değerleri NS, a s 1, p 2, …, p n- onların olasılıkları.

Örnek 1. Dağılım yasası biliniyorsa, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

Çözüm. M (X) = 2 × 0.3 + 3 × 0.1 + 5 × 0.6 = 3.9.

Örnek 2... Bir olayın beklenen oluşum sayısını bulun A bir denemede, eğer bu olayın olasılığı r.

Çözüm... Eğer NS- olayın meydana gelme sayısı A bir testte, o zaman, açıkçası, dağıtım yasası NSşuna benziyor:

Sonra M (X) = 0 × (1 – p) + 1 × p = p.

Yani: bir testte bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, olasılığına eşittir.

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilmesine izin ver n rastgele değişkenin olduğu testler NS kabul edilmiş m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x 2, …, mkçarpı değer x k... O zaman içindeki tüm değerlerin toplamı n testler şuna eşittir:

x 1 m 1 + x 2 m 2 +… + x k m k.

Rastgele değişken olarak alınan tüm değerlerin aritmetik ortalamasını bulalım:

Değerler - değerlerin oluşma sıklığı x ben (i = 1, ..., k)... Eğer n yeterince büyük (n® ¥), o zaman bu frekanslar yaklaşık olarak olasılıklara eşittir: Ama sonra

= x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x k p k = M (X).

Bu nedenle, matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir (daha doğru, daha fazla test), rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması. Bu, matematiksel beklentinin olasılıksal anlamıdır.

Matematiksel beklenti özellikleri

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi en sabite eşittir.

M (C) = C × 1 = C.

2. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir

M (CX) = C × M (X).

Kanıt... dağıtım yasası gelsin NS tablo tarafından verilir:

Daha sonra rastgele değişken NS değerleri alır Cx 1, Cx 2, …, Aynı olasılıklara sahip Cx n, yani dağıtım yasası NSşuna benziyor:

M (CX) = Cx 1 × p 1 + Cx 2 × p 2 + ... + Cx n × p n =

= C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) = CM (X).

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M (XY) = M (X) × M (Y).

Bu ifade kanıtsız verilmiştir (kanıt, beklenen değerin tanımına dayanmaktadır).

Sonuç... Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Özellikle, üç bağımsız rastgele değişken için

M (XYZ) = M (X) × M (Y) × M (Z).

Örnek... İki zar atıldığında düşebilecek puan sayısının çarpımının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm... İzin vermek X ben- başına puan sayısı ben kemik. sayılar olabilir 1 , 2 , …, 6 olasılıklarla. Sonra

M (X i) = 1 × + 2 × +… + 6 × = (1 + 2 +… + 6) = × × 6 =.

İzin vermek X = X 1 × X 2... Sonra

M (X) = M (X 1) × M (X 2) = = 12.25.

4. İki rastgele değişkenin (bağımsız veya bağımlı) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Bu özellik, keyfi sayıda terim olması durumunda genelleştirilir.

Örnek... Hedef isabet olasılıkları eşit olan 3 atış yapar p 1 = 0,4, p2 = 0,3 ve p3 = 0,6... Toplam isabet sayısının beklenen değerini bulun.

Çözüm... İzin vermek X ben- isabet sayısı ben-inci atış. Sonra

M (X ben) = 1 × p ben + 0 × (1 – p ben) = p ben.

Böylece,

M (X 1 + X 2 + X 3) = = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3.

Kesikli bir olasılık uzayında verilen bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisi (ortalama değeri), seri mutlak yakınsadığında m = M [X] = ∑x i p i sayısıdır.

Hizmet amacı... Hizmeti kullanma çevrimiçi mod matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(Örneğe bakın). Ek olarak, F (X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M [C] = C, C bir sabittir;
2. M = C M [X]
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M = M [X] + M [Y]
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: X ve Y bağımsızsa M = M [X] M [Y].

Dağılım özellikleri

1. Sabitin varyansı sıfırdır: D (c) = 0.
2. Sabit faktör, varyans işaretinin karesini alarak çıkarılabilir: D (k * X) = k 2 D (X).
3. X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. X ve Y rastgele değişkenleri bağımlıysa: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. Hesaplama formülü varyans için geçerlidir:
   D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

Bir örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Z = 9X-8Y + 7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Dağılım özelliklerine göre: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Beklenen değeri hesaplamak için algoritma

1. Çiftleri çarpın: x i ile pi i sırayla.
2. Her çiftin çarpımını ekleyin x i p i.
   Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Örnek 1.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serilerine sahiptir:

Çözüm. a değerini şu bağıntıdan buluyoruz: Σp i = 1
Σp ben = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 veya 0.24 = 3 a, bu nedenle a = 0.08

Örnek No. 3. Varyansı biliniyorsa, kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirleyin ve x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x3 = x; x 4 = 15
p1 = 0.3; p2 = 0.3; p3 = 0.1; p4 = 0,3
d(x) = 12.96

Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
burada beklenti m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Verilerimiz için
m (x) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + x 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
Buna göre denklemin köklerini bulmak gerekir ve bunlardan iki tane olacaktır.
x 3 = 8, x 3 = 12
x 1 koşulunu sağlayanı seçiyoruz. x 3 = 12

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0.3; p2 = 0.3; p3 = 0.1; p4 = 0,3