"Bir sayının ondalık gösterimi" - Bir metrenin hangi kısmı 1 dm'dir? Denklemi çözün CD segmentinin hangi kısmı AB segmentindendir. Pashieva Lyubov Nikolaevna, 1. kategori matematik öğretmeni. Kesirli sayıların ondalık gösterimi. Ondalık kesirler. John Napier. 15. yüzyılda Orta Asya'nın Semerkant şehri zengin bir kültür merkeziydi. Kesirli sayılar için ondalık gösterim kuralları.

"Sayı sistemlerinin gösterimi" - Konumsal olmayan sayı sistemleri. Bir kişi daha önce sayıları nasıl yazdı? 56 sayısı yazılırsa ondalık sistem hesaplama, sonra aşağıdaki gibi yazın: Sayının derecesi kavramını hatırlayın: Sayıların tarihi ve sayı sistemleri. Konumsal sayı sistemindeki doğal sayılar dizisi. Sayının genişletilmiş gösterimi. "Sayı sistemi" kavramı.

"Bilgileri diske kaydetme" - Ses disklerinden kayıt, optik (lazer) oynatıcılar kullanılarak oynatılır. Bu tür diskler damgalanarak üretilir ve gümüş rengine sahiptir. Lazer sürücüler. Altın renginde olan CD-R'ler ve DVD-R'ler (kaydedilebilir için R) vardır. Optik kayıt prensibi. Ses programının süresi bir saate kadardır.

"Sayı sistemlerinde sayıların kaydedilmesi" - Alfabetik Slav sayı sisteminde "sayı" olarak 27 Kiril harfi kullanılmıştır. Daha mükemmel konumsal olmayan sayı sistemleri alfabetik sistemlerdi. Alfabetik sistemler. Herhangi bir dosyanın içeriği bu formda sunulur. Eski Mısır ondalık konumsal olmayan sistem. Romen rakamı sistemi.

"Kesirli sayıların ondalık gösterimi" - Kesirli kısmın payını yazın. “Aritmetik nedir? Kesirli sayıların ondalık gösterimi. Simon Stevin (1548 - 1620). Gerekirse, ondalık noktadan sonraki basamak sayısını eşitleyin. L.F. Magnitsky (1669-1739). M.V. Abanin. Parçanın tamamını kesirli kısımdan ayırmak için virgül kullanın.

"Bölenler ve katlar" - KONU: Bölenler ve katlar. Mükemmel sayılar. Sözlü olarak geri çekilin. Sayılardan birini seçin: Avuç içi için üç, üç alkış, Başın üç sallanması. Bir bükülme - bükülme, İki bükülme - yukarı çekme. Fiziksel eğitim. 24 sayısının hangi bölenleri bu sayılar arasında değildir? Defterlerinize dersin numarasını ve konusunu yazın: "Bölenler ve katlar."

"Çarpmalar" konusu, kapsamlı bir okulun 5. sınıfında incelenir. Amacı, matematiksel hesaplamaların yazılı ve sözlü becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılıyor - "katlar" ve "bölenler", bölenleri ve bir doğal sayının katlarını bulma tekniği, LCM'yi çeşitli şekillerde bulma yeteneği üzerinde çalışılıyor.

Bu konu çok önemlidir. Bununla ilgili bilgi, kesirli örnekler çözerken uygulanabilir. Bunu yapmak için bulmanız gerekir ortak payda en küçük ortak katı (LCM) hesaplayarak.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir tam sayıdır.

Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Kendisi en küçük olarak kabul edilir. Kat, sayının kendisinden küçük olamaz.

125'in 5'in katı olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk sayıyı ikinciye bölün. 125, 5 ile kalansız bölünebiliyorsa cevap evettir.

Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.

LCM hesaplanırken özel durumlar vardır.

1. Birinin (80) diğerine (20) kalansız bölündüğü 2 sayının (örneğin, 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bu sayı (80) en küçük sayıdır. bu iki sayının katları

LCM (80, 20) = 80.

2. Eğer ikisinin ortak böleni yoksa, LCM'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.

LCM (6, 7) = 42.

Son örneğe bir göz atalım. 42'ye göre 6 ve 7 bölendir. Bir katı kalansız bölerler.

Bu örnekte, 6 ve 7 eşleştirilmiş bölenlerdir. Çarpımı, (42) sayısının en fazla katına eşittir.

Yalnızca kendisine veya 1'e bölünebilen sayılara asal denir (3:1 = 3; 3: 3 = 1). Geri kalanına kompozit denir.

Başka bir örnekte, 9'un 42'nin bir böleni olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor.

42: 9 = 4 (kalan 6)

Cevap: 9, 42'nin tam böleni değildir, çünkü cevapta kalan vardır.

Bölen, çarpanın, doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin bu sayıya bölünebilmesi bakımından, çarpandan farklıdır.

En iyisi ortak bölen sayılar a ve B, en küçük katlarıyla çarpıldığında sayıların kendilerinin çarpımını verir a ve B.

Yani: OBEB (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Daha karmaşık sayıların ortak katları aşağıdaki şekilde bulunur.

Örneğin, 168, 180, 3024 için LCM'yi bulun.

Bu sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz, derecelerin çarpımı şeklinde yazıyoruz:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Tanım 1. sayı olsun a 1) iki sayının çarpımı var B ve Q Bu yüzden a = bq. Sonra açoklu denir B.

1) Bu makalede, kelime numarası bir tamsayı olarak anlaşılacaktır.

Şunu da söyleyebilirsin a bölü B, veya B bölen var a, veya B böler a, veya B bir faktördür a.

Tanım 1, aşağıdaki ifadeleri ima eder:

Beyan1. Eğer a- çoklu B, B- çoklu C, sonra açoklu C.

Yok canım. Çünkü

nerede m ve n sonra bazı sayılar

Buradan a bölü C.

Bir sayı satırında, her biri bir sonrakine bölünebiliyorsa, o zaman her sayı, sonraki tüm sayıların katıdır.

Beyan 2. eğer sayılar a ve B- katlar C, o zaman toplamları ve farkları da katlardır C.

Yok canım. Çünkü

a + b = mc + nc = (m + n) c,

a-b = mc-nc = (m-n) c.

Buradan bir + b bölü C ve bir - b bölü C .

bölünebilme kriterleri

Sayıların bazı doğal sayılara bölünebilme ölçütünü belirlemek için genel bir formül türetelim. m, Pascal bölünebilme kriteri olarak adlandırılır.

Bölmenin kalanını bul m aşağıdaki sıra. 10'u böldükten sonra kalan olsun m niyet r 1, 10 ve orta nokta r 1 m niyet r 2, vb. Sonra yazabilirsiniz:

Sayının bölümünden kalanın olduğunu ispatlayalım. Aüzerinde m sayının bölümünden kalanına eşittir

Bildiğiniz gibi, iki sayı bir sayıya bölündüğünde m aynı kalanı verin, sonra fark şuna bölünür m kalan olmadan.

Farkı düşünün bir - bir "

(6)

(7)

Sağ taraftaki (5) her terim şuna bölünür: m dolayısıyla denklemin sol tarafı da bölünebilir m... Benzer şekilde tartışarak, (6)'nın sağ tarafının bölünebildiğini elde ederiz. m, dolayısıyla (6)'nın sol tarafı da bölünebilir m, sağ taraf (7) ile bölünür m, dolayısıyla (7)'nin sol tarafı da bölünebilir m... (4) numaralı denklemin sağ tarafının şuna bölünebildiğini anladık. m... Buradan A ve A " bölündüğünde kalanları aynı m... Bu durumda deniliyor ki A ve A " modülde eşit veya karşılaştırılabilir m.

öyleyse eğer A " bölü m m) , sonra A ayrıca bölünmüş m(bölündüğünde sıfır kalanı vardır m). Bölünebilirliği belirlemek için olduğunu gösterdik A bölünebilirliği daha fazla tanımlayabilir asal sayı A ".

(3) numaralı ifadeye dayanarak, belirli sayılar için bölünebilme kriterleri elde etmek mümkündür.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayıların tam bölünebilme özelliği

2 ile bölünebilme.

için aşağıdaki prosedür (1) m = 2, şunu elde ederiz:

2'ye bölündükten sonra kalanlar sıfıra eşittir. Sonra, denklem (3)'ten

3'e bölündükten sonra kalanlar 1'e eşittir. O halde (3) denkleminden elde ederiz.

İlki hariç 4'e bölündükten sonra kalanlar 0'a eşittir. O halde (3) denkleminden elde ederiz.

Tüm kalıntılar sıfırdır. Sonra, denklem (3)'ten

Tüm kalanlar 4'e eşittir. O zaman, denklem (3)'ten elde ederiz.

Bu nedenle, sayı 6'ya bölünebilir, ancak ve ancak birler sayısıyla eklenen dörtlü onluk sayısı 6'ya bölünebiliyorsa, yani sayıdan doğru basamağı atıyoruz, sonra ortaya çıkan sayıyı 4 ile ekliyoruz ve atılan numarayı ekleyin. Verilen sayı 6'ya tam bölünüyorsa asıl sayı 6'ya tam bölünür.

Örnek. 2742 6 ile bölünebilir çünkü 274 * 4 + 2 = 1098, 1098 = 109 * 4 + 8 = 444, 444 = 44 * 4 + 4 = 180, 6'ya bölünür.

Daha basit bir bölünebilme kriteri. Bir sayı 2 ve 3'e tam bölünüyorsa (yani çift sayıysa ve rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa) 6'ya tam bölünür. 2742 sayısı 6 ile tam bölünür sayı çifttir ve 2 + 7 + 4 + 2 = 15, 3'e bölünür.

7 ile bölünebilme.

için aşağıdaki prosedür (1) m = 7, şunu elde ederiz:

Tüm kalıntılar farklıdır ve 7 adımdan sonra tekrarlanır. Sonra, denklem (3)'ten

İlk ikisi hariç tüm kalıntılar sıfırdır. Sonra, denklem (3)'ten

9'a bölündükten sonra kalanlar 1'e eşittir. O halde (3) denkleminden elde ederiz.

10'a bölündükten sonra kalanlar 0'a eşittir. O zaman denklem (3)'ten elde ederiz.

Bu nedenle, sayı ancak ve ancak son rakam 10'a bölünebiliyorsa (yani son rakam sıfırsa) 10'a bölünebilir.

Bu yazıda tartışacağız bölen ve çarpanlar... Burada bölen ve çoklu tanımları veriyoruz. Bu tanımlar, farklı tam sayıların bölenlerine ve katlarına örnekler vermemizi sağlayacaktır. Bir ve eksi birin bölenlerini ayrı ayrı ele alacağız ve ayrıca bölenler ve sıfırın katları hakkında konuşacağız.

Sayfa gezintisi.

Bir sayının bölenleri - tanım, örnekler

önce verelim bölen tanımı Bir tam sayı.

Tanım.

Bölen a tamsayısı, a'nın bir tamsayıya bölünebildiği bir b tamsayıdır.

Doğal sayı 1'in tek bir pozitif böleni vardır - bu 1 sayısıdır. Bu gerçek, birini diğer doğal sayılardan ayırır, çünkü biri dışındaki doğal sayıların kendisi ve 1 olmak üzere en az iki böleni vardır. Doğal sayının kendisinden ve birden başka bölenlerinin olmamasına veya bulunmasına bağlı olarak asal ve bileşik sayılar ayırt edilir.

Biri, 1'den farklı bir a doğal sayısının en küçük pozitif böleni ve a sayısının kendisi en büyük pozitif çarpandır (yaklaşık olarak en büyük ve en küçük sayı bölümünde bahsettik). Yani, herhangi bir doğal sayı için, herhangi bir pozitif bölen b koşulu sağlar.

Katlar - tanım, örnekler

hadi verelim çoklu tanımı.

Tanım.

çoklu b tamsayısı, b'ye tam bölünebilen bir a tamsayıdır.

Başka bir deyişle, bir b tamsayısının katı, a = b q biçiminde temsil edilebilen bir a tamsayıdır, burada q bir tamsayıdır.

a bir b tamsayının katıysa, a'ya b'nin katı olduğu söylenir. Bu durumda, ab notasyonu kullanılır.

Çoklu ve bölünebilir tanımı, aralarındaki ilişkiyi açıkça gösterir. Gerçekten de, tanım gereği, eğer a, b'nin bir katıysa, o zaman b, a'nın bir bölenidir ve bunun tersi, eğer b, a'nın bir böleni ise, o zaman a, b'nin bir katıdır.

verelim kat örnekleri... Örneğin, −12 tamsayısı 3'ün katıdır, çünkü −12 = 3 · (−4). 3'ün diğer katları 0, 3, -3, 6, -6, 9, -9 vb. tam sayılardır. Ancak 7 sayısı 3 tamsayının katı değildir, çünkü 7, 3'e kalansız bölünemez, yani 7 = 3 q eşitliğini sağlayan böyle bir q tamsayısı yoktur.

Sıfırın sıfır da dahil olmak üzere herhangi bir b tamsayısının bir katı olduğu bir katın tanımından açıktır. Bu durumda 0 = b · 0 eşitliği çok inandırıcı görünüyor.

Herhangi bir b tamsayısının sonsuz sayıda katı olduğuna dikkat edin, çünkü sonsuz sayıda tam sayı vardır ve q'nun keyfi bir tam sayı olduğu b q ürününe eşit herhangi bir tam sayı, b'nin bir katıdır.

Belirli bir pozitif a sayısının en küçük pozitif katı, bu a sayısının kendisidir. Burada, en küçük pozitif katın, birkaç sayının en küçük ortak katı (LCM) ile karıştırılmaması gerektiğini belirtmekte fayda var.

Ayrıca pozitif tam sayıların sadece doğal katlarını düşünebiliriz. Bunu, bu makalenin ilk paragrafında belirtilen nedenlerle yapabiliriz, ancak sunumun genelliği ihlal edilmeyecektir.

Bibliyografya.

• Vilenkin N. Ya. ve diğer Matematik. 6. sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.Kh. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagojik enstitülerin özellikleri.