Miktar

Rastgele temel sayısal özellikleri

Yoğunluk dağılım yasası, rastgele bir değişkeni karakterize eder. Ancak çoğu zaman bilinmez ve kişi kendini daha az bilgiyle sınırlamak zorundadır. Bazen toplamda rastgele bir değişkeni tanımlayan sayıları kullanmak daha da kârlıdır. Böyle sayılar denir sayısal özellikler rastgele değişken. Ana olanları düşünelim.

Tanım:Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi M(X), bu değişkenin tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır:

Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değer alır, ardından

Ayrıca, matematiksel beklenti şu durumlarda mevcuttur: Bu diziler kesinlikle yakınsar.

Tanımdan anlaşılacağı M(X) kesikli rastgele değişken, rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Misal:İzin vermek X- olayın meydana gelme sayısı ANCAK bir testte P(A) = p. Matematiksel beklentiyi bulmak gerekiyor X.

Karar: Tablo şeklinde bir dağıtım kanunu yapalım X:

Matematiksel beklentiyi bulalım:

Böylece, bir denemede bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, bu olayın olasılığına eşittir.

terimin kökeni beklenen değer uygulama kapsamının sınırlı olduğu olasılık teorisinin ortaya çıkışının ilk dönemi (XVI-XVII yüzyıllar) ile ilişkili kumar. Oyuncu, beklenen getirinin ortalama değeriyle ilgilendi, yani. kazanmanın matematiksel beklentisi.

Düşünmek olasılık duygusu matematiksel beklenti .

Üretelim n rastgele değişkenin olduğu testler X kabul edilmiş m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x2, ve böyle devam etti ve sonunda kabul etti mkçarpı değer x k, dahası m 1 + m 2 +…+ + mk = n.

Daha sonra rastgele değişken tarafından alınan tüm değerlerin toplamı X, eşittir x 1 m1 +x2 m 2 +…+x k mk.

Rastgele değişken tarafından alınan tüm değerlerin aritmetik ortalaması X,eşittir:

çünkü herhangi bir değer için değerin nispi frekansı ben = 1, …, k.

Bilindiği gibi deneme sayısı n yeterince büyükse, göreceli frekans, olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşittir, bu nedenle,

Böylece, .

Çözüm:Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi yaklaşık olarak eşittir (daha doğru, daha fazla sayı testler) rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Matematiksel beklentinin temel özelliklerini düşünün.

Özellik 1:Sabit bir değerin matematiksel beklentisi, sabit değerin kendisine eşittir:

M(S) = S.

Kanıt: Kalıcı İle olası bir anlamı olan düşünülebilir İle ve olasılık ile kabul et p = 1. Buradan, M(S)=S 1= C.

tanımlayalım sabit değer C ve kesikli rastgele değişken X'in çarpımı ayrık bir rastgele değişken olarak müşteri deneyimi, olası değerleri sabitin ürünlerine eşit olan İle olası değerlere X müşteri deneyimi karşılık gelen olası değerlerin olasılıklarına eşittir X:

Özellik 2:Sabit faktör beklenti işaretinden çıkarılabilir:

M(CX) = CM(X).

Kanıt: Rastgele değişken olsun X olasılık dağılım yasası tarafından verilen:

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılımı yasasını yazalım müşteri deneyimi:

M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).

Tanım:Birinin dağılım yasası, diğer değişkenin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, iki rastgele değişken bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, rastgele değişkenler bağımlıdır.

Tanım:Herhangi bir sayıdaki dağılım yasaları, diğer değişkenlerin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, birkaç rastgele değişkene karşılıklı olarak bağımsız denir.

tanımlayalım bağımsız ayrık rastgele değişkenler X ve Y'nin çarpımı ayrık bir rastgele değişken olarak XY olası değerleri, her olası değerin ürünlerine eşit olan X her olası değer için Y. Olası Değerlerin Olasılıkları XY faktörlerin olası değerlerinin olasılıklarının ürünlerine eşittir.

Rastgele değişkenlerin dağılımları verilsin X ve Y:

Daha sonra rastgele değişkenin dağılımı XYşuna benziyor:

Bazı işler eşit olabilir. Bu durumda, ürünün olası değerinin olasılığı, karşılık gelen olasılıkların toplamına eşittir. Örneğin, eğer = ise bir değerin olasılığı

Özellik 3:İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY) = M(X) BENİM).

Kanıt: Bağımsız rastgele değişkenlere izin ver X ve Y kendi olasılık dağılım yasalarına göre verilir:

Hesaplamaları basitleştirmek için kendimizi az sayıda olası değerle sınırlandırıyoruz. Genel olarak, kanıt benzerdir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun XY:

M(XY) =

M(X) BENİM).

Sonuç:Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

Kanıt: Birbirinden bağımsız üç rastgele değişkeni ispatlayalım X,Y,Z. rastgele değişkenler XY ve Z bağımsız, sonra şunu elde ederiz:

M(XYZ) = M(XY) Z) = M(XY) M(Z) = M(X) BENİM) M(Z).

Rastgele sayıda karşılıklı bağımsız rasgele değişken için, ispat matematiksel tümevarım yöntemiyle gerçekleştirilir.

Misal: Bağımsız rastgele değişkenler X ve Y

bulmak istedim M(XY).

Karar: Rastgele değişkenler olduğundan X ve Y bağımsız, daha sonra M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

tanımlayalım ayrık rastgele değişkenler X ve Y'nin toplamı ayrık bir rastgele değişken olarak X+Y olası değerleri her olası değerin toplamına eşit olan X mümkün olan her değerle Y. Olası Değerlerin Olasılıkları X+Y bağımsız rastgele değişkenler için X ve Y terimlerin olasılıklarının ürünlerine ve bağımlı rastgele değişkenler için - bir terimin olasılığının ve ikincisinin koşullu olasılığının ürünlerine eşittir.

= ise ve bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir, o zaman olasılık ( ile aynı) eşittir.

Mülk 4:İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Kanıt:İki rastgele değişken olsun X ve Y aşağıdaki dağıtım yasaları tarafından verilmektedir:

Türetmeyi basitleştirmek için kendimizi her bir miktarın iki olası değeriyle sınırlandırıyoruz. Genel olarak, kanıt benzerdir.

Rastgele değişkenin tüm olası değerlerini oluşturun X+Y(basitlik için bu değerlerin farklı olduğunu varsayalım; değilse, kanıt benzerdir):

Bu değerin matematiksel beklentisini bulalım.

M(X+Y) = + + + +

+ = olduğunu ispatlayalım.

Etkinlik X= ( onun olasılığı P(X = ) rastgele değişkenin olması olayını gerektirir X+Y veya değerini alır (toplama teoremine göre bu olayın olasılığı dır) ve bunun tersi de geçerlidir. Sonra = .

eşitlikler = = =

Bu eşitliklerin doğru kısımlarını matematiksel beklenti için elde edilen formülde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).

Sonuç:Birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Kanıt:Üç rastgele değişkeni ispatlayalım X,Y,Z. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini bulalım X+Y ve Z:

M(X+Y+Z)=M((X+Y) Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

Rastgele sayıda rastgele değişken için ispat, matematiksel tümevarım yöntemiyle gerçekleştirilir.

Misal:İki zar atıldığında düşebilecek puanların toplamının ortalama değerini bulun.

Karar:İzin vermek X- ilk zara düşebilecek puan sayısı, Y- İkincisinde. Rastgele değişkenlerin olduğu açıktır. X ve Y aynı dağılımlara sahiptir. dağılımların verilerini yazalım X ve Y tek bir masaya:

M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =

M(X + Y) = 7.

Yani iki zar atıldığında düşebilecek puanların toplamının ortalama değeri 7 .

teorem:A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), deneme sayısının ve her denemede olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir: M(X) = np.

Kanıt:İzin vermek X- olayın meydana gelme sayısı A içinde n bağımsız testler. Açıkçası, toplam X olay oluşumları A bu denemelerde, olayın tek tek denemelerde meydana gelme sayısının toplamıdır. O halde, olayın birinci denemede, ikinci denemede vb. meydana gelme sayısı ise, son olarak, olayın ilk denemede meydana gelme sayısıdır. n th test, daha sonra olayın toplam oluşum sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Tarafından mülk 4 beklenti sahibiz:

M(X) = M( ) + … + M( ).

Bir denemede bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, olayın olasılığına eşit olduğundan,

M( ) = M( )= … = M( ) = s.

Buradan, M(X) = np.

Misal: Bir silahtan ateş ederken hedefi vurma olasılığı eşittir p=0,6. Varsa ortalama isabet sayısını bulun 10 çekimler.

Karar: Her atıştaki vuruş diğer atışların sonuçlarına bağlı değildir, bu nedenle incelenen olaylar bağımsızdır ve bu nedenle istenen matematiksel beklenti şuna eşittir:

M(X) = np = 10 0,6 = 6.

Yani ortalama isabet sayısı 6'dır.

Şimdi sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini düşünün.

Tanım:Olası değerleri aralığa ait olan sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi,isminde kesin integral:

burada f(x) olasılık dağılım yoğunluğudur.

Sürekli bir rastgele değişken X'in olası değerleri, tüm Ox eksenine aitse, o zaman

Bu uygunsuz integralin mutlak yakınsadığı varsayılır, yani. integral yakınsar Bu gereklilik karşılanmazsa, integralin değeri, alt sınırın -∞'ye ve üst sınırın +∞'ye eğilimine (ayrı ayrı) bağlı olacaktır.

Kanıtlanabilir ki kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin tüm özellikleri, sürekli bir rastgele değişken için korunur. İspat, belirli ve uygun olmayan integrallerin özelliklerine dayanmaktadır.

Açıkçası, beklenti M(X) rastgele değişkenin olası değerlerinden en küçüğünden büyük ve en büyüğünden küçük X. Onlar. sayı ekseninde, rastgele bir değişkenin olası değerleri, matematiksel beklentisinin solunda ve sağında bulunur. Bu anlamda matematiksel beklenti M(X) dağılımın yerini karakterize eder ve bu nedenle genellikle denir dağıtım merkezi.

Bölüm 6

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Matematiksel beklenti ve özellikleri

Birçok pratik problemi çözmek için, rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini ve olasılıklarını bilmek her zaman gerekli değildir. Ayrıca, bazen incelenen rastgele değişkenin dağılım yasası basitçe bilinmemektedir. Ancak bu rastgele değişkenin bazı özelliklerinin, diğer bir deyişle sayısal özelliklerinin vurgulanması gerekmektedir.

sayısal özellikler- bunlar belirli özellikleri karakterize eden bazı sayılardır, özellikleri rastgele değişken.

Örneğin, bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin tüm değerlerinin ortalamasının etrafındaki ortalama dağılımı vb. Sayısal özelliklerin temel amacı, incelenen rastgele değişken dağılımının en önemli özelliklerini kısa ve öz bir biçimde ifade etmektir. Olasılık teorisinde sayısal özellikler büyük bir rol oynamaktadır. Dağıtım yasaları hakkında bilgi sahibi olmadan bile birçok önemli pratik sorunu çözmeye yardımcı olurlar.

Tüm sayısal özellikler arasında, her şeyden önce, pozisyon özellikleri. Bunlar, rastgele bir değişkenin sayı eksenindeki konumunu sabitleyen özelliklerdir, yani. rastgele değişkenin kalan değerlerinin gruplandırıldığı belirli bir ortalama değer.

Konumun özelliklerinden matematiksel beklenti, olasılık teorisinde en büyük rolü oynar.

Beklenen değer bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak anılır. Bir nevi dağıtım merkezidir.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Ayrık bir rastgele değişken için önce matematiksel beklenti kavramını düşünün.

Resmi bir tanım vermeden önce, aşağıdaki basit problemi çözüyoruz.

Misal 6.1. Bir atıcının bir hedefe 100 atış yapmasına izin verin. Sonuç olarak, aşağıdaki resim elde edildi: 50 atış - "sekiz" vurmak, 20 atış - "dokuz" vurmak ve 30 - "on" vurmak. Atış başına ortalama puan nedir.

Karar Bu problemin çözümü açıktır ve 100 sayının, yani puanların ortalama değerini bulmaya gelir.

Payı payda terimine göre terime bölerek kesri dönüştürüyoruz ve ortalama değeri aşağıdaki formül biçiminde temsil ediyoruz:

Şimdi bir atıştaki puan sayısının bazı ayrık rastgele değişkenlerin değerleri olduğunu varsayalım. X. Sorunun durumundan da anlaşılacağı X 1 =8; X 2 =9; X 3=10. Bu değerlerin ortaya çıkma nispi sıklıkları, bilindiği gibi, çok sayıda test için karşılık gelen değerlerin olasılıklarına yaklaşık olarak eşittir, yani. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0.3. Böyle, . Sağ taraftaki değer, kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisidir.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının ürünlerinin toplamıdır.

Ayrık bir rastgele değişken olsun X dağıtım serisi tarafından verilen:

Daha sonra matematiksel beklenti M(X) ayrık bir rasgele değişkenin aşağıdaki formülle belirlenir:

Kesikli bir rasgele değişken sonsuz sayıda sayılabilir değer alırsa, matematiksel beklenti şu formülle ifade edilir:

,

üstelik eşitliğin sağındaki seri mutlak yakınsak ise matematiksel beklenti vardır.

Misal 6.2 . Kazanmanın matematiksel beklentisini bulun Xörnek 5.1 koşulları altında.

Karar . dağıtım serisini hatırlayın. X aşağıdaki forma sahiptir:

Almak M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Açıkçası, 7 ruble, örneğin biletlerin dağıtımı veya üretimi ile ilgili çeşitli maliyetler olmadan, bu piyangodaki bir biletin adil fiyatıdır. ■

Misal 6.3 . Rastgele değişken olsun X bazı olayların oluşum sayısıdır ANCAK bir testte. Bu olayın olasılığı R. Bulmak M(X).

Karar. Açıkçası, rastgele değişkenin olası değerleri şunlardır: X 1 =0 - olay ANCAK görünmedi ve X 2 =1 – olay ANCAK göründü. Dağıtım serisi şu şekildedir:

Sonra M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Dolayısıyla, bir testte bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, bu olayın olasılığına eşittir.

Paragrafın başında, matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkenin ortalama değeri arasındaki ilişkinin belirtildiği belirli bir problem verildi. Bunu genel bir şekilde açıklayalım.

Üretelim k rastgele değişkenin olduğu testler X kabul edilmiş k 1 zaman değeri X 1 ; k 2 kat değer X 2 vb. ve sonunda knçarpı değer x n. bariz ki k 1 +k 2 +…+kn = k. Tüm bu değerlerin aritmetik ortalamasını bulalım,

Kesirin, değerin göreceli oluşma sıklığı olduğuna dikkat edin. x ben içinde k testler. Çok sayıda testle, nispi frekans yaklaşık olarak olasılığa eşittir, yani. . Bu nedenle şu şekildedir:

.

Bu nedenle, matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir ve ne kadar doğru olursa, deneme sayısı o kadar fazla olur - bu matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı.

Matematiksel beklenti bazen denir merkez rastgele bir değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin olası değerlerinin matematiksel beklentisinin solunda ve sağında sayısal eksende yer aldığı açıktır.

Şimdi sürekli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti kavramına dönelim.

Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Normal dağılım, topluluğun entropisi, matematiksel beklenti ve kesikli bir rastgele değişkenin varyansı ile tanışma olasılığından korkmuyor musunuz? O zaman bu konu çok ilginizi çekecektir. En önemlilerinden bazılarına bir göz atalım temel konseptler bu bilim dalı.

Temel bilgileri hatırlayalım

Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlıyor olsanız bile makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Gerçek şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan, aşağıda tartışılan formüllerle çalışamazsınız.

Yani, rastgele bir olay var, bir deney var. Gerçekleştirilen eylemlerin bir sonucu olarak, birkaç sonuç elde edebiliriz - bazıları daha yaygın, diğerleri daha az yaygındır. Bir olayın olasılığı, bir türden fiilen alınan sonuçların sayısının, toplam sayısı mümkün. Bu kavramın yalnızca klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.

Ortalama

Okula döndüğünüzde, matematik derslerinde aritmetik ortalama ile çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Bizim için asıl şey şu an rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı için formüllerde karşılaşacağımızdır.

Bir sayı dizimiz var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut her şeyi toplamak ve dizideki öğelerin sayısına bölmek. 1'den 9'a kadar sayılarımız olsun. Elemanların toplamı 45 olacak ve bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.

Dağılım

Bilimsel anlamda varyans, elde edilen özellik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Biri büyük Latince D harfi ile gösterilir. Bunu hesaplamak için ne gerekiyor? Dizinin her bir elemanı için, mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplar ve karesini alırız. Düşündüğümüz olay için tam olarak sonuçlar olabileceği kadar çok değer olacaktır. Ardından, alınan her şeyi özetler ve dizideki öğe sayısına böleriz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.

Varyans, problem çözerken uygulamak için hatırlamanız gereken özelliklere de sahiptir. Örneğin, rastgele değişken X kat artırılırsa, varyans karenin X katı kadar artar (yani, X*X). Asla sıfırdan küçük değildir ve değerlerin yukarı veya aşağı eşit bir değerde kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca, bağımsız denemeler için toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.

Şimdi, kesikli bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini kesinlikle dikkate almamız gerekiyor.

21 deney yaptığımızı ve 7 tane elde ettiğimizi varsayalım. farklı sonuçlar. Her birini sırasıyla 1,2,2,3,4,4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans ne olacak?

İlk önce, aritmetik ortalamayı hesaplıyoruz: elemanların toplamı elbette 21'dir. 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarırız, her bir değerin karesini alırız ve sonuçları birbirine ekleriz. . 12 çıkıyor. Şimdi sayıyı eleman sayısına bölmek bize kaldı ve öyle görünüyor ki, hepsi bu. Ama bir yakalama var! Hadi tartışalım.

Deney sayısına bağımlılık

Varyans hesaplanırken paydanın iki sayıdan biri olabileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?

Test sayısı yüzlerce ölçülürse, payda N'yi, Birimlerde ise N-1'i koymalıyız. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısı boyunca uzanıyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e ve daha fazlaysa N'ye böleceğiz.

Görev

Varyans ve beklenti problemini çözme örneğimize geri dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı 12'ye sahibiz. 30'dan az olan 21 deney yaptığımız için ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap: varyans 12 / 2 = 2'dir.

Beklenen değer

Bu yazıda ele almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin yanı sıra varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm görev için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.

Matematiksel beklenti formülü oldukça basittir: sonucu alırız, olasılığı ile çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için toplarız, vb. Bu kavramla ilgili her şeyi hesaplamak kolaydır. Örneğin, matematiksel beklentilerin toplamı, toplamın matematiksel beklentisine eşittir. Aynı şey iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemlerin yapılmasına izin vermez. Bir görev alalım ve incelediğimiz iki kavramın aynı anda değerini hesaplayalım. Ek olarak, teori dikkatimizi dağıttı - uygulama zamanı.

bir örnek daha

50 deneme yaptık ve değişen yüzdelerde görünen 0'dan 9'a kadar 10 çeşit sonuç elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18'dir. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Rastgele bir değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti için problem çözme örneğini sunalım.

Aritmetik ortalamayı, hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz. ilkokul: 50/10 = 5.

Şimdi, saymayı daha uygun hale getirmek için olasılıkları "parçalar halinde" sonuçların sayısına çevirelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9'u elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkardıktan sonra elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk elemanla bunun nasıl yapıldığını görün: 1 - 5 = (-). Ayrıca: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, her şeyi ekledikten sonra 90 alırsınız.

90'ı N'ye bölerek varyansı ve ortalamayı hesaplamaya devam edelim. Neden N-1'i değil de N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u aşıyor. Yani: 90/10 = 9. Dağılımı elde ettik. Farklı bir numara alırsanız, umutsuzluğa kapılmayın. Büyük olasılıkla, hesaplamalarda banal bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, her şey yerli yerine oturacaktır.

Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayalım. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, sadece gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz cevabı yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. Yalnızca ilk öğelerin örneğini kullanarak işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlıyoruz: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... vb. Gördüğünüz gibi, sonucun değerini olasılık ile çarpıyoruz.

Sapma

Dağılım ve matematiksel beklenti ile yakından ilgili bir diğer kavram da standart sapmadır. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf "sigma" ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin ortalama olarak merkezi özellikten nasıl saptığını gösterir. Değerini bulmak için hesaplamanız gerekir. Kare kök dispersiyondan.

Normal bir dağılım çizerseniz ve sapmanın karesini doğrudan bunun üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç adımda yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), ortaya çıkan şekillerin alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksende ortaya çıkan izdüşüm arasındaki segmentin değeri standart sapma olacaktır.

Yazılım

Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de anlaşılacağı gibi, varyansı ve matematiksel beklentiyi hesaplamak aritmetik açıdan en kolay işlem değildir. Zaman kaybetmemek için kullanılan programı daha üst düzeylerde kullanmak mantıklıdır. Eğitim Kurumları- Adı "R". İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavram için değer hesaplamanıza olanak sağlayan fonksiyonlara sahiptir.

Örneğin, bir değerler vektörü tanımlarsınız. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

En sonunda

Dağılım ve matematiksel beklenti, bunlar olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana dersinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten dikkate alınırlar. Tam da bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci hemen programda geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumda düşük notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.

Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta günde yarım saat alıştırma yapın. Ardından, herhangi bir olasılık teorisi testinde, gereksiz ipuçları ve hile sayfaları olmadan örneklerle başa çıkacaksınız.

DSW'nin özellikleri ve özellikleri. Matematiksel beklenti, varyans, standart sapma

Dağılım yasası, rastgele değişkeni tamamen karakterize eder. Bununla birlikte, dağılım yasasını bulmak mümkün olmadığında veya bu gerekli olmadığında, kişi kendini rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri olarak adlandırılan değerleri bulmakla sınırlayabilir. Bu nicelikler, rastgele bir değişkenin değerlerinin etrafında gruplandırıldığı bazı ortalama değerleri ve bunların bu ortalama değer etrafındaki dağılım derecesini belirler.

matematiksel beklenti Kesikli bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının ürünlerinin toplamıdır.

Eşitliğin sağındaki seriler mutlak yakınsaksa matematiksel beklenti vardır.

Olasılık açısından, matematiksel beklentinin, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Misal. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası bilinmektedir. Matematiksel beklentiyi bulun.

Karar:

9.2 Beklenti özellikleri

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir.

2. Beklenti işaretinden sabit bir faktör alınabilir.

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için geçerlidir.

4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Bu özellik, rastgele sayıda rastgele değişken için de geçerlidir.

n bağımsız deneme yapılsın, A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşit olsun.

Teorem. A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), deneme sayısının ve her denemede olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir.

Misal. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, rastgele bir değişken Z'nin matematiksel beklentisini bulun: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Karar:

9.3 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Bununla birlikte, matematiksel beklenti, rastgele bir süreci tam olarak karakterize edemez. Matematiksel beklentiye ek olarak, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentiden sapmasını karakterize eden bir değer eklemek gerekir.

Bu sapma, rastgele değişken ile matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir. Bu durumda sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır. Bu, bazı olası sapmaların olumlu, diğerlerinin olumsuz olması ve karşılıklı iptallerinin bir sonucu olarak sıfır elde edilmesiyle açıklanmaktadır.

Dispersiyon (saçılma) Kesikli rastgele değişken, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Uygulamada, varyansı hesaplamak için bu yöntem elverişsizdir, çünkü rastgele bir değişkenin çok sayıda değeri için hantal hesaplamalara yol açar.

Bu nedenle, başka bir yöntem kullanılır.

Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir..

Kanıt. Matematiksel beklenti M (X) ve matematiksel beklenti M 2 (X)'in karesinin sabit değerler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:

Misal. Dağılım kanunu tarafından verilen kesikli bir rastgele değişkenin varyansını bulun.

Karar: .

9.4 Dağılım özellikleri

1. Sabit bir değerin dağılımı sıfırdır. .

2. Sabit bir çarpanın karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir. .

3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .

4. İki bağımsız rastgele değişkenin farkının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .

Teorem. Her birinde olayın olma olasılığının p sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısı ile gerçekleşme ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir. Her denemede olayın

9.5 Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması

Standart sapma rasgele değişken X, varyansın karekökü olarak adlandırılır.

Teorem. Sonlu sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin toplamının standart sapması, bu değişkenlerin standart sapmalarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

Daha önce bilindiği gibi, dağıtım yasası tamamen rastgele bir değişkeni karakterize eder. Bununla birlikte, dağıtım yasası genellikle bilinmez ve kişi kendini daha az bilgiyle sınırlamak zorundadır. Bazen toplamda rastgele bir değişkeni tanımlayan sayıları kullanmak daha da kârlıdır; böyle numaralar denir rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.

Matematiksel beklenti önemli sayısal özelliklerden biridir.

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin ortalama değerine yaklaşık olarak eşittir.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının ürünlerinin toplamıdır.

Rastgele bir değişken sonlu bir dağılım serisi ile karakterize edilirse:

sonra matematiksel beklenti M(X) formülle belirlenir:

Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi eşitlikle belirlenir:

rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu nerede X.

Örnek 4.7. Bir zar atıldığında düşen puan sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Karar:

rastgele değer X 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerlerini alır. Dağılım yasasını yapalım:

O zaman matematiksel beklenti:

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir:

M(S)=S.

2. Sabit faktör beklenti işaretinden çıkarılabilir:

M(CX) = CM(X).

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY) = M(X)M(Y).

Örnek 4.8. Bağımsız rastgele değişkenler X ve Y aşağıdaki dağıtım yasaları tarafından verilmektedir:

XY rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Karar.

Bu niceliklerin her birinin matematiksel beklentilerini bulalım:

rastgele değişkenler X ve Y bağımsız, bu nedenle istenen matematiksel beklenti:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Sonuç. Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin ürününün matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir.

4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Sonuç. Birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

Örnek 4.9. Hedefe eşit isabet olasılığı ile 3 atış yapılır. s 1 = 0,4; p2= 0.3 ve p 3= 0.6. Toplam isabet sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Karar.

İlk atıştaki isabet sayısı rastgele bir değişkendir 1 yalnızca iki değer alabilen: 1 (isabet) olasılıkla s 1= 0,4 ve 0 (kayıp) olasılıkla 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

İlk atıştaki vuruş sayısının matematiksel beklentisi, vuruş olasılığına eşittir:

Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü atışlardaki isabet sayısının matematiksel beklentilerini buluyoruz:

M(X 2)= 0.3 ve M (X 3) \u003d 0,6.

Toplam isabet sayısı aynı zamanda üç atışın her birindeki isabetlerin toplamından oluşan rastgele bir değişkendir:

X \u003d X 1 + X 2 + X3.

İstenen matematiksel beklenti X matematik teoremi ile toplamın beklentisini buluruz.