Hizmet amacı... Çevrimiçi hesap makinesini kullanarak şunları yapabilirsiniz:

• bir varyasyon serisi oluşturmak, bir histogram ve bir çokgen oluşturun;
• varyasyon göstergelerini (ortalama, mod (ve grafik dahil), medyan, varyasyon aralığı, çeyrekler, ondalıklar, çeyrek farklılaşma katsayısı, varyasyon katsayısı ve diğer göstergeleri bulmak);

Talimat. Bir seriyi gruplamak için, elde edilen varyasyon serisinin türünü (ayrık veya aralıklı) seçmeli ve veri miktarını (satır sayısı) belirtmelisiniz. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (istatistiklerin gruplandırılmasına ilişkin bir örneğe bakın).

Gruplandırma daha önce yapılmış ve verilmişse ayrık varyasyon serisi veya aralık serisi , o zaman çevrimiçi hesap makinesi Varyasyon göstergelerini kullanmanız gerekir. Dağılım türüyle ilgili hipotezi test etme dağıtım şeklinin hizmet Çalışması kullanılarak gerçekleştirilir.

İstatistiksel gruplama türleri

1. tipolojik gruplama- Bu, incelenen niteliksel olarak heterojen nüfusun sınıflara, sosyo-ekonomik türlere, homojen birim gruplarına bölünmesidir. Bu gruplamayı oluşturmak için Ayrık varyasyon serisi parametresini kullanın.
2. Yapısal gruplama denir homojen bir popülasyonun yapısını değişen bazı özelliklere göre karakterize eden gruplara ayrıldığı. Bu gruplamayı oluşturmak için Aralık serisi parametresini kullanın.
3. İncelenen fenomenler ve özellikleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir gruplandırmaya denir. analitik grup(bir serinin analitik gruplamasına bakınız).

Örnek 1. Tablo 2'ye göre, Rusya Federasyonu'nun 40 ticari bankası için bir dağıtım serisi oluşturun. Elde edilen dağıtım serilerini kullanarak şunları belirleyin: bir ticari banka başına ortalama kâr, bir ticari banka başına ortalama krediler, kârın modal ve medyan değeri; çeyrekler, ondalıklar, varyasyon aralığı, ortalama doğrusal sapma, standart sapma, varyasyon katsayısı.

Çözüm:
Bölümde "İstatistiksel serinin görünümü" bir Ayrık Seri seçin. Excel'den Ekle'ye tıklayın. Grup sayısı: Sturgess formülü

İstatistiksel gruplamalar oluşturma ilkeleri

İstatistiksel verileri işlemek için kişisel bilgisayarlar kullanıldığında, standart prosedürler kullanılarak nesne birimlerinin gruplandırılması gerçekleştirilir.
Bu prosedürlerden biri, optimal grup sayısını belirlemek için Sturgess formülünün kullanımına dayanmaktadır:

k = 1 + 3.322 * günlük (N)

k grup sayısı olduğunda, N popülasyondaki birim sayısıdır.

Kısmi aralıkların uzunluğu h = (x max -x min) / k olarak hesaplanır.

Ardından, bu aralıklarda frekans olarak alınan gözlemlerin isabet sayısını sayın n i. Değerleri 5'ten küçük olan küçük frekanslar (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
Varyant için x i = (c i-1 + c i) / 2 aralıklarının orta noktaları yeni değerler olarak alınır.

Örnek No. 3. %5 uygun rastgele örnekleme sonucunda, ürünlerin nem içeriğine göre aşağıdaki dağılımı elde edilmiştir. Hesaplayın: 1) ortalama nem yüzdesi; 2) nemdeki değişimi karakterize eden göstergeler.
Çözüm, bir hesap makinesi kullanılarak elde edildi: Örnek 1

Bir varyasyon serisi oluşturun. Bulunan seriye dayalı bir dağılım poligonu, histogram, kümülatif oluşturun. Modayı ve medyanı belirleyin.
Çözümü indirin

Örnek... Seçici gözlemin sonuçlarına dayanarak (örnek A, ek):
a) bir varyasyon serisi oluşturmak;
b) bağıl frekansları ve birikmiş bağıl frekansları hesaplamak;
c) bir çokgen inşa etmek;
d) ampirik bir dağılım fonksiyonu oluşturmak;
e) ampirik dağılım fonksiyonunu çizin;
f) sayısal özellikleri hesaplayın: aritmetik ortalama, varyans, standart sapma. Çözüm

Tablo 4'te (Ek 1) verilen ve seçeneklerinize karşılık gelen verilere dayanarak şunları gerçekleştirin:

1. Yapısal gruplama temelinde, eşit kapalı aralıklar kullanarak, grup sayısı 6'yı alarak varyasyon frekansı ve kümülatif dağılım serilerini oluşturun. Sonuçlar bir tablo şeklinde sunulur ve grafik olarak gösterilir.
2. Aşağıdakileri hesaplayarak dağılımın varyasyon serisini analiz edin:
   • özelliğin aritmetik ortalaması;
   • moda, medyan, 1. çeyrek, 1. ve 9. ondalık;
   • standart sapma;
   • varyasyon katsayısı.
3. Sonuca varmak.

Gerekli: seriyi sıralamak, bir aralıklı dağılım serisi oluşturmak, sıralama ve aralık serileri için ortalamayı, ortalamanın değişkenliğini, modu ve medyanı hesaplamak için.

İlk verilere dayanarak, ayrı bir varyasyon serisi oluşturun; istatistiksel bir tablo ve istatistiksel grafikler şeklinde sunun. 2). İlk verilere dayanarak, eşit aralıklarla bir aralık varyasyon serisi oluşturun. Aralık sayısını kendiniz seçin ve bu seçimi açıklayın. Elde edilen varyasyon serilerini istatistiksel bir tablo ve istatistiksel grafikler şeklinde sunun. Kullanılan tablo ve grafik türlerini belirtin.

Müşteri sayısı çok fazla olan bir emeklilik fonunda ortalama müşteri hizmeti süresini belirlemek için rastgele, tekrarlanmayan bir örneklem şemasına göre 100 müşteriye anket yapıldı. Anket sonuçları tabloda sunulmaktadır. Bulmak:
a) 0.9946 olasılıkla, emeklilik fonunun tüm müşterileri için ortalama hizmet süresinin bulunduğu sınırlar;
b) Hizmet süresi 6 dakikadan az olan fonun tüm müşterilerinin payının, bu tür müşterilerin örneklemdeki payından (mutlak değer olarak) en fazla %10 farklı olma olasılığı;
c) hizmet süresi 6 dakikadan az olan fonun tüm müşterilerinin payının, bu tür müşterilerin örnek içindeki payından hiçbir fark göstermediği 0,9907 olasılıkla tartışılabileceği tekrarlanan numunenin hacmi. %10'dan fazla (mutlak değerde).
2. 1. problemin verilerine göre, X 2 Pearson kriterini kullanarak, α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, şu hipotezi kontrol edin: rastgele değer X - müşteri hizmet süresi - normal yasaya göre dağıtılır. Tek bir çizimde ampirik dağılımın ve karşılık gelen normal eğrinin histogramını oluşturun.
Çözümü indirin

100 elemanlı bir örnek verilmiştir. Gerekli:

1. Dereceli bir varyasyon serisi oluşturun;
2. Serinin maksimum ve minimum terimlerini bulunuz;
3. Bir aralık serisi oluşturmak için varyasyon aralığını ve optimal aralıkların sayısını bulun. Aralık serisinin aralığının uzunluğunu bulun;
4. Bir aralık serisi oluşturun. Oluşturma aralıklarında örnekleme elemanlarının frekanslarını bulun. Her aralığın orta noktalarını bulun;
5. Histogram ve frekans poligonu oluşturun. Normal dağılımla karşılaştırın (analitik ve grafiksel olarak);
6. Ampirik dağılım fonksiyonunu çizin;
7. Numune sayısal özelliklerini hesaplayın: numune ortalaması ve merkezi numune momenti;
8. Standart sapma, çarpıklık ve basıklığın yaklaşık değerlerini hesaplayın (MS Excel analiz paketini kullanarak). Yaklaşık hesaplanan değerleri kesin olanlarla karşılaştırın (MS Excel formülleri kullanılarak hesaplanmıştır);
9. Seçilen grafiksel özellikleri ilgili teorik özelliklerle karşılaştırın.

Çıktı ve kar miktarı, milyon ruble ile ilgili aşağıdaki örnek veriler (% 10 numune, mekanik) vardır. İlk verilere göre:
Görev 13.1.
13.1.1. Eşit aralıklarla beş grup oluşturarak, işletmelerin kâr miktarına göre istatistiksel bir dağılımını oluşturun. Dağıtım serisini çizin.
13.1.2. İşletmelerin dağılımının sayısal özelliklerini kâr miktarına göre hesaplayın: aritmetik ortalama, standart sapma, varyans, değişkenlik katsayısı V. Sonuçlar çizin.
Görev 13.2.
13.2.1. Genel nüfustaki bir işletmenin kâr toplamının 0,997 olasılıkla bulunduğu sınırları belirleyin.
13.2.2. Pearson'ın x2 testini kullanarak, α anlamlılık düzeyinde, X rastgele değişkeninin - kâr miktarının - normal yasaya göre dağıldığı hipotezini test edin.
Görev 13.3.
13.3.1. Örnek regresyon denkleminin katsayılarını belirleyin.
13.3.2. Üretilen malların maliyeti (X) ile işletme başına kâr miktarı (Y) arasındaki ilişkinin varlığını ve niteliğini belirleyin. Bir dağılım grafiği ve bir regresyon çizgisi çizin.
13.3.3. Doğrusal korelasyon katsayısını hesaplayın. Student t-testini kullanarak korelasyon katsayısının önemini kontrol edin. Chaddock ölçeğini kullanarak X ve Y faktörleri arasındaki ilişkinin sıkılığı hakkında bir sonuç çıkarın.
Yönergeler ... Görev 13.3, bu hizmet kullanılarak gerçekleştirilir.
Çözümü indirin

Görev... Aşağıdaki rakamlar, müşterilerin sözleşmeleri yapmak için harcadıkları zamanı göstermektedir. Sunulan verilerin bir aralık varyasyon serisini, bir histogramı oluşturun, tarafsız bir tahmin bulun matematiksel beklenti, yanlı ve yansız varyans tahminleri.

Bir örnek. Tablo 2'ye göre:
1) Rusya Federasyonu'ndaki 40 ticari bankanın dağıtım serisini çizin:
A) kar miktarına göre;
B) Kredi yatırımlarının miktarına göre.
2) Elde edilen dağılım serisine göre şunları belirleyin:
A) bir ticari banka için ortalama kâr;
B) bir ticari banka için ortalama kredi yatırımları;
C) modsal ve medyan kâr değerleri; çeyrekler, ondalık sayılar;
D) Kredi yatırımlarının mod ve medyan değeri.
3) 1. maddede elde edilen dağılım satırlarına göre aşağıdakileri hesaplayınız:
a) varyasyon aralığı;
b) ortalama doğrusal sapma;
c) standart sapma;
d) varyasyon katsayısı.
Gerekli hesaplamaları tablo şeklinde doldurun. Sonuçları analiz edin. Sonuca varmak.
Elde edilen dağılım serisini çizin. Modayı ve medyanı grafiksel olarak tanımlar.

Çözüm:
Eşit aralıklarla gruplama oluşturmak için Gruplama istatistiksel veri hizmetini kullanacağız.

Şekil 1 - Parametrelerin girilmesi

Oluşturulan satırlar nicel olarak arandı değişken.

Dağıtım serileri şunlardan oluşur: seçenekler(karakteristik değerler) ve frekanslar(grup sayısı). Göreceli değerler (paylar, yüzdeler) olarak ifade edilen frekanslara denir. sık... Tüm frekansların toplamına dağıtım serisinin hacmi denir.

Türüne göre, dağıtım serileri ayrılır ayrık(özelliğin süreksiz değerleri üzerine inşa edilmiştir) ve Aralık(karakteristiğin sürekli değerleri üzerine inşa edilmiştir).

Varyasyon serisi iki sütunu (veya satırı) temsil eder; değişken özniteliğinin bireysel değerlerinin verildiği, seçenekler olarak adlandırılan ve X ile gösterilen; ve diğerinde - her seçeneğin kaç kez (ne sıklıkta) gerçekleştiğini gösteren mutlak sayılar. İkinci sütunun göstergelerine frekans denir ve geleneksel olarak f ile gösterilir. İkinci sütunda tekrar not edin ve göreceli göstergeler, bireysel seçeneklerin sıklığının toplam frekans miktarındaki payını karakterize eder. Bu göreceli göstergelere frekanslar denir ve geleneksel olarak ω ile gösterilir.Bu durumda tüm frekansların toplamı bire eşittir. Ancak frekanslar yüzde olarak ifade edilebilir ve tüm frekansların toplamı %100'ü verir.

Varyasyon serisinin varyantları şu şekilde ifade edilirse ayrık miktarlar, o zaman böyle bir varyasyon dizisi denir ayrık.

Sürekli özellikler için varyasyon serileri şu şekilde oluşturulur: Aralık, yani, içlerindeki özniteliğin değerleri "'den ..."e kadar ifade edilir. Aynı zamanda, böyle bir aralıktaki özniteliğin minimum değerlerine aralığın alt sınırı ve maksimum - üst sınır denir.

Aralıklı varyasyon serileri de geniş bir aralıkta değişen ayrık özellikler için oluşturulmuştur. Aralık satırları ile olabilir eşit ve eşit olmayan aralıklar.

Eşit aralıkların değerinin nasıl belirlendiğini düşünün. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

ben- aralığın boyutu;

- popülasyonun birimleri için özniteliğin maksimum değeri;

- nüfusun birimleri için özelliğin minimum değeri;

n - ayrılan grup sayısı.

n biliniyorsa

Tahsis edilen grupların sayısını önceden belirlemek zorsa, o zaman yeterli bir popülasyon hacmine sahip aralığın optimal değerini hesaplamak için 1926'da Sturgess tarafından önerilen formül önerilebilir:

n = 1+ 3.322 lg N, burada N, toplamdaki birim sayısıdır.

Eşit olmayan aralıkların değeri, her bir durumda, çalışma nesnesinin özellikleri dikkate alınarak belirlenir.

Numunenin istatistiksel dağılımı bir seçenekler listesi ve bunlara karşılık gelen frekansları (veya göreli frekansları) arayın.

Numunenin istatistiksel dağılımı, seçeneklerin bulunduğu ilk sütunda ve ikincisinde - bu seçeneklere karşılık gelen frekanslar olan bir tablo şeklinde ayarlanabilir. hayır veya göreli frekanslar Pi .

Numunenin istatistiksel dağılımı

Varyasyon serilerine, oluşumlarının altında yatan özelliklerin değerlerinin belirli sınırlar (aralıklar) içinde ifade edildiği aralık serileri denir. Bu durumda frekanslar, bireysel karakteristik değerlere değil, tüm aralığa atıfta bulunur.

Aralıklı dağılım serileri, sürekli niceliksel özelliklere ve önemli sınırlar içinde değişen ayrık özelliklere göre oluşturulur.

Aralık serisi, örneğin aralıkları ve karşılık gelen frekansları gösteren istatistiksel dağılımı ile temsil edilebilir. Bu durumda, bu aralığa düşen varyantın frekanslarının toplamı, aralığın frekansı olarak alınır.

Nicel sürekli özelliklere göre gruplama yaparken, aralığın boyutunu belirlemek önemlidir.

Örnek ortalaması ve örnek varyansına ek olarak, varyasyon serisinin diğer özellikleri de kullanılır.

Moda frekansı en yüksek olan seçenek olarak adlandırılır.

herhangi biri tarafından birleştirilmiş bir dizi nesne veya fenomen ortak özellik veya niteliksel veya niceliksel nitelikteki bir özelliğe denir. gözlem nesnesi .

herhangi bir nesne istatistiksel gözlem bireysel unsurlardan oluşur - gözlem birimleri .

İstatistiksel gözlemin sonuçları temsil eder sayısal bilgi - veri . İstatistiksel veri - bu, istatistiksel popülasyonda araştırmacının ilgi özniteliğinin hangi değerleri aldığı hakkında bilgidir.

Bir özelliğin değerleri sayılarla ifade edilirse özellik denir. nicel .

Bir özellik, bir kümenin öğelerinin bazı özelliklerini veya durumlarını karakterize ediyorsa, özellik denir. kalite .

Popülasyonun tüm unsurları araştırmaya konu oluyorsa (sürekli gözlem), o zaman istatistiksel popülasyon denir. Genel.

Genel popülasyonun unsurlarının bir kısmı araştırmaya tabiyse, istatistiksel popülasyona denir. örnek (örnek) ... Genel popülasyondan örneklem rastgele alınır, böylece n örnek elemanın her birinin seçilme şansı eşittir.

Nüfusun bir öğesinden diğerine geçerken özniteliğin değerleri değişir (değişir), bu nedenle istatistiklerde özniteliğin çeşitli değerlerine de denir. seçenekler ... Varyantlar genellikle küçük Latin harfleri x, y, z ile belirtilir.

Varyantın sıra numarasına (karakteristik değer) denir. rütbe ... x 1 - 1. seçenek (1. nitelik değeri), x 2 - 2. seçenek (2. nitelik değeri), x i - i. seçenek (i. değer imza).

Karşılık gelen ağırlıkları ile artan veya azalan sırada sıralanan bir özelliğin (varyantların) bir dizi değerine denir. varyasyon serisi (dağıtım serisi).

Olarak terazi frekanslar veya frekanslar çıkar.

Sıklık(m i) bir istatistiksel popülasyonda belirli bir seçeneğin (özellik değeri) kaç kez meydana geldiğini gösterir.

Frekans veya bağıl frekans(w i) popülasyon birimlerinin hangi bölümünün şu veya bu varyanta sahip olduğunu gösterir. Frekans, belirli bir seçeneğin frekansının serideki tüm frekansların toplamına oranı olarak hesaplanır.

. (6.1)

Tüm frekansların toplamı 1'dir.

. (6.2)

Varyasyon serileri kesikli ve aralıklıdır.

Ayrık Varyasyon Serileri Genellikle, incelenen özelliğin değerleri birbirinden en azından bir miktar sonlu değer kadar farklılık gösterebiliyorsa oluşturulurlar.

Kesikli varyasyon serilerinde, özelliğin puan değerleri ayarlanır.

Ayrık varyasyon serilerinin genel görünümü Tablo 6.1'de gösterilmektedir.

Tablo 6.1

burada ben = 1, 2, ..., ben.

Her aralıktaki aralık varyasyon serilerinde aralığın üst ve alt sınırları ayırt edilir.

Aralığın üst ve alt sınırları arasındaki farka denir. aralık farkı veya aralığın uzunluğu (değeri) .

İlk aralığın değeri k 1 aşağıdaki formülle belirlenir:

1 = 2 - 1;

saniye: k 2 = 3 - 2; ...

son: k l = bir l - bir l -1.

Genel olarak aralık farkı k i aşağıdaki formülle hesaplanır:

k ben = x ben (maks) - x ben (min). (6.3)

Aralığın her iki sınırı da varsa, o zaman denir. kapalı .

İlk ve son aralıklar olabilir açık , yani tek sınırı var.

Örneğin, ilk aralık "100'e kadar", ikincisi - "100-110", ..., sondan bir önceki - "190-200", sonuncusu - "200 veya daha fazla" olarak belirtilebilir. Açıkçası, ilk aralığın alt sınırı yoktur ve sonuncunun üst sınırı yoktur, ikisi de açıktır.

Çoğu zaman, açık aralıklar şartlı olarak kapatılmalıdır. Bunun için, ilk aralığın değeri genellikle ikincinin değerine eşit olarak alınır ve sonuncunun değeri - sondan bir öncekinin değeri. Örneğimizde, ikinci aralığın değeri 110-100 = 10'dur, bu nedenle birinci aralığın alt sınırı koşullu olarak 100-10 = 90 olacaktır; sondan bir önceki aralığın değeri 200-190 = 10'dur, bu nedenle son aralığın üst sınırı şartlı olarak 200 + 10 = 210 olacaktır.

Ayrıca, aralık varyasyon serisinde farklı uzunluklarda aralıklar oluşabilir. Varyasyon serilerindeki aralıklar aynı uzunluktaysa (aralık farkı) denir. eşit , aksi halde - eşitsiz.

Bir aralık varyasyon serisi oluştururken, genellikle aralıkların boyutunu (aralık farkı) seçme sorunu ortaya çıkar.

Aralıkların optimal boyutunu belirlemek için (bir serinin eşit aralıklarla oluşturulması durumunda), şunu kullanın: Sturgess'in formülü:

, (6.4)

n, popülasyondaki birim sayısıdır,

x (max) ve x (min) serideki seçeneklerin en büyük ve en küçük değerleridir.

Varyasyon serilerini, frekanslar ve frekanslarla birlikte karakterize etmek için, birikmiş frekanslar ve frekanslar kullanılır.

Birikmiş frekanslar (frekanslar) popülasyonun kaç biriminin (hangi kısmının) belirli bir değeri (seçenek) x aşmadığını gösterin.

Birikmiş frekanslar ( ben) ayrık serilerin verilerine göre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

. (6.5)

Bir aralık varyasyon serisi için, bunu aşmayan tüm aralıkların frekanslarının (frekanslarının) toplamıdır.

Ayrık bir varyasyon serisi kullanılarak grafiksel olarak temsil edilebilir frekans veya frekans dağılım poligonu.

Bir dağıtım poligonu oluştururken, özelliğin (varyantların) değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve frekanslar veya frekanslar ordinat ekseni boyunca çizilir. Özniteliğin değerlerinin ve karşılık gelen frekansların (frekansların) kesişiminde, sırayla segmentlerle birbirine bağlanan noktalar belirlenir. Ortaya çıkan kesik çizgiye frekans (frekans) dağıtım poligonu denir.

Aralık varyasyon serisi kullanılarak grafiksel olarak temsil edilebilir histogramlar, yani grafik çubuğu.

Bir histogram oluştururken, incelenen özelliğin değerleri (aralıkların sınırları) apsis ekseni boyunca çizilir.

Aralıkların aynı boyutta olması durumunda, frekanslar veya frekanslar ordinat boyunca çizilebilir.

Aralıklar farklı değerlere sahipse, mutlak veya bağıl dağılım yoğunluğunun değerleri, ordinat ekseni boyunca çizilmelidir.

mutlak yoğunluk- aralığın frekansının aralığın değerine oranı:

; (6.6)

burada: f (a) i, i-inci aralığın mutlak yoğunluğudur;

m ben - i-inci aralığın frekansı;

k ben - i-inci aralığın değeri (aralık farkı).

Mutlak yoğunluk, birim aralık başına kaç popülasyon birimi olduğunu gösterir.

bağıl yoğunluk- aralığın frekansının aralığın değerine oranı:

; (6.7)

burada: f (o) i, i-inci aralığın göreli yoğunluğudur;

w ben - i-inci aralığın frekansı.

Göreceli yoğunluk, popülasyon birimlerinin ne kadarının aralık biriminde olduğunu gösterir.

Hem ayrık hem de aralıklı varyasyon serileri, kümülatlar ve ogiveler olarak grafiksel olarak temsil edilebilir.

İnşa ederken kümülatif ayrık serinin verilerine göre, özelliğin (varyantların) değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve birikmiş frekanslar veya frekanslar ordinat ekseni boyunca çizilir. Özelliğin (seçenekler) değerlerinin ve karşılık gelen birikmiş frekansların (frekanslar) kesiştiği noktada, sırayla segmentler veya bir eğri ile bağlanan noktalar oluşturulur. Ortaya çıkan kesik çizgiye (eğri) kümülatif (kümülatif eğri) denir.

Aralık serisinin verilerine göre kümülatlar oluşturulurken, aralıkların sınırları apsis ekseni boyunca çizilir. Noktaların apsisleri, aralıkların üst sınırlarıdır. Ordinatlar, karşılık gelen aralıkların birikmiş frekanslarını (frekanslarını) oluşturur. Genellikle, apsisi ilk aralığın alt sınırı olan ve ordinatı sıfır olan bir nokta daha eklenir. Noktaları segmentler veya bir eğri ile birleştirerek kümülatif elde ederiz.

Ogiva Biriken frekanslara (parçalara) karşılık gelen noktaların apsis ekseninde çizilmesi ve öznitelik değerlerinin (seçenekler) ordinat ekseni boyunca çizilmesi farkıyla kümülatife benzer şekilde oluşturulur.

Varyasyon serileri: tanımı, türleri, ana özellikleri. Hesaplama yöntemi
tıbbi ve istatistiksel araştırmalarda moda, medyan, aritmetik ortalama
(şartlı bir örnekle gösterin).

Bir varyasyon serisi, incelenen özelliğin birbirinden büyüklük olarak farklı olan ve belirli bir sırada (artan veya azalan sırada) bulunan bir dizi sayısal değeridir. Serinin her sayısal değerine varyant (V) denir ve belirli bir dizide bir veya başka bir varyantın ne sıklıkta meydana geldiğini gösteren sayılara frekans (p) denir.

Toplam sayısı varyasyon serilerini oluşturan gözlem durumları n harfi ile gösterilir. İncelenen özelliklerin anlamındaki farka varyasyon denir. Değişen özelliğin nicel bir ölçüsü yoksa, varyasyon nitel olarak adlandırılır ve dağılım serisi nitelikseldir (örneğin, hastalık sonucuna göre dağılım, sağlık durumu, vb.).

Değişken bir özelliğin nicel bir ifadesi varsa, böyle bir varyasyon nicel olarak adlandırılır ve dağılım serisine varyasyon denir.

Varyasyon serileri, oluşum sıklığına göre - nicel özelliğin doğasına göre, basit ve ağırlıklı - süreksiz ve sürekli olarak ayrılır.

Basit bir varyasyon serisinde, her bir varyant sadece bir kez (p = 1), ağırlıklı bir varyasyonda aynı varyasyon birkaç kez meydana gelir (p> 1). Bu tür serilerin örnekleri daha sonra metinde tartışılacaktır. Nicel özellik sürekli ise, yani. tamsayı değerleri arasında ara kesirli değerler vardır, varyasyon serisine sürekli denir.

Örneğin: 10.0 - 11.9

14.0 - 15.9, vb.

Nicel bir özellik süreksiz ise, yani. bireysel değerleri (varyantları) bir tamsayı ile birbirinden farklıdır ve ara kesirli değerlere sahip değildir; varyasyon serisine süreksiz veya ayrık denir.

Önceki örnekteki kalp atış hızı verilerini kullanma

21 öğrenci için bir varyasyon serisi oluşturuyoruz (Tablo 1).

tablo 1

Tıp öğrencilerinin kalp atış hızına göre dağılımı (atım/dk)

Bu nedenle, bir varyasyon serisi oluşturmak, sistematik hale getirmek, sıralamak, yani. karşılık gelen frekanslarla belirli bir sırayla (artan veya azalan sırada) düzenleyin. Bu örnekte, seçenekler artan sırada düzenlenmiştir ve tam süreksiz (ayrık) sayılar olarak ifade edilir, her seçenek birkaç kez gerçekleşir, yani. ağırlıklı, süreksiz veya kesikli bir varyasyon serisi ile uğraşıyoruz.

Kural olarak, incelediğimiz istatistiksel popülasyondaki gözlem sayısı 30'u geçmiyorsa, incelenen özelliğin tüm değerlerini tabloda olduğu gibi artan bir dizi varyasyonda düzenlemek yeterlidir. 1 veya azalan sırada.

Çok sayıda gözlemle (n> 30), karşılaşılan varyantların sayısı çok büyük olabilir, bu durumda, sonraki işlemleri basitleştirmek ve dağılımın doğasını netleştirmek için bir aralık veya gruplanmış varyasyon serisi derlenir, varyantlar gruplar halinde birleştirilir.

Genellikle grup seçeneklerinin sayısı 8 ile 15 arasında değişir.

En az 5 tane olmalı, çünkü aksi takdirde, genel varyasyon resmini bozan ve ortalama değerlerin doğruluğunu büyük ölçüde etkileyen çok kaba, aşırı toplama olacaktır. Grup varyantlarının sayısı 20-25'ten fazla olduğunda, ortalama değerlerin hesaplanmasının doğruluğu artar, ancak özelliğin varyasyonunun özellikleri önemli ölçüde bozulur ve matematiksel işleme daha karmaşık hale gelir.

Gruplandırılmış bir dizi derlerken, dikkate alınması gereken

- varyant grupları belirli bir sırada düzenlenmelidir (artan veya azalan);

- varyant gruplarındaki aralıklar aynı olmalıdır;

- Aralıkların sınırlarının değerleri çakışmamalıdır, çünkü bireysel seçeneklerin hangi gruplara atanacağı belirsiz olacaktır;

- Aralık sınırlarını belirlerken toplanan materyalin niteliksel özelliklerini dikkate almak gerekir (örneğin, yetişkinlerin ağırlığını incelerken, 3-4 kg'lık bir aralığa izin verilir ve ilk aylarındaki çocuklar için) ömür 100 g'ı geçmemelidir)

55 tıp öğrencisi için sınav öncesi kalp atış hızı (dakikadaki atım sayısı) verilerini karakterize eden gruplandırılmış (aralık) bir seri oluşturalım: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

Gruplandırılmış bir satır oluşturmak için şunları yapmalısınız:

1. Aralığın boyutunu belirleyin;

2. Varyasyon serisinin grup varyantının ortasını, başlangıcını ve sonunu belirleyin.

● (i) aralığının değeri, sayısı özel bir tabloya göre gözlem sayısına (n) bağlı olarak belirlenen varsayılan grupların (r) sayısı ile belirlenir.

Gözlem sayısına bağlı olarak grup sayısı:

Bizim durumumuzda, 55 öğrenci için 8 ila 10 grup oluşturabilirsiniz.

(i) aralığının değeri aşağıdaki formülle belirlenir -

ben = V maks-V min / r

Örneğimizde, aralığın değeri 82-58 / 8 = 3'tür.

Aralığın değeri bir kesirli sayı ise, sonuç en yakın tam sayıya yuvarlanmalıdır.

Birkaç tür ortalama değer vardır:

● aritmetik ortalama,

● geometrik ortalama,

● ortalama harmonik,

● kök ortalama kare,

● orta dereceli,

● ortanca

V tıbbi istatistikler en yaygın olarak kullanılanlar aritmetik ortalama değerlerdir.

Aritmetik ortalama (M), tüm popülasyonun karakteristiği olan tipik olanı belirleyen genelleştirici bir değerdir. M'yi hesaplamak için ana yöntemler şunlardır: aritmetik ortalama yöntemi ve momentler yöntemi (koşullu sapmalar).

Aritmetik ortalama yöntemi, basit aritmetik ortalamayı ve ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplamak için kullanılır. Aritmetik ortalamanın hesaplanması için yöntemin seçimi, varyasyon serisinin tipine bağlıdır. Her seçeneğin yalnızca bir kez gerçekleştiği basit bir varyasyon serisi durumunda, aritmetik basit ortalama aşağıdaki formülle belirlenir:

burada: M, aritmetik ortalamadır;

V değişken özelliğinin değeridir (seçenekler);

Σ - eylemi gösterir - özet;

n, toplam gözlem sayısıdır.

Aritmetik ortalamanın basit hesaplanmasına bir örnek. 35 yaşındaki 9 erkekte solunum hızı (dakikadaki nefes sayısı): 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.

35 yaşındaki erkeklerde ortalama solunum hızı seviyesini belirlemek için gereklidir:

1. Tüm seçenekleri artan veya azalan düzende düzenleyerek bir varyasyon serisi oluşturun.Basit bir varyasyon serisi elde ettik, çünkü varyant değerleri yalnızca bir kez görünür.

M = ∑V / n = 171/9 = Dakikada 19 nefes

Çıktı. 35 yaşındaki erkeklerde solunum hızı dakikada ortalama 19 solunum hareketidir.

Seçeneğin bireysel değerleri tekrarlanırsa, her seçeneği bir satıra yazmaya gerek yoktur, seçeneğin (V) boyutlarını listelemek ve yanındaki tekrar sayısını (p) belirtmek yeterlidir. . Varyantların, kendilerine karşılık gelen frekans sayısıyla ağırlıklandırıldığı böyle bir varyasyon serisine ağırlıklı varyasyon serisi denir ve hesaplanan ortalama değer, aritmetik ağırlıklı ortalamadır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama şu formülle belirlenir: M = ∑Vp / n

burada n, frekansların toplamına eşit gözlem sayısıdır - Σр.

Aritmetik ağırlıklı ortalamanın hesaplanmasına bir örnek.

Bu yılın ilk çeyreğinde yerel bir doktor tarafından tedavi edilen akut solunum yolu hastalıkları (ARI) olan 35 hastada sakatlık süresi (gün olarak): 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6, 7 gün...

Akut solunum yolu enfeksiyonu olan hastalarda ortalama sakatlık süresini belirleme yöntemi aşağıdaki gibidir:

1. Ağırlıklı bir varyasyon serisi oluşturalım, çünkü bireysel varyant değerleri birkaç kez tekrarlanır. Bunu yapmak için, tüm seçenekleri karşılık gelen frekanslarıyla artan veya azalan düzende düzenleyebilirsiniz.

Bizim durumumuzda, seçenekler artan sırada düzenlenmiştir.

2. Aşağıdaki formülle ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplayın: M = ∑Vp / n = 233/35 = 6.7 gün

Akut solunum yolu enfeksiyonu olan hastaların sakatlık süresine göre dağılımı:

Çıktı. Akut solunum yolu hastalığı olan hastalarda sakatlık süresi ortalama 6.7 gündü.

Moda (Mo), varyasyon serisindeki en yaygın varyasyondur. Tabloda sunulan dağılım için, 10'a eşit değişken, moda karşılık gelir, diğerlerinden daha sık görülür - 6 kez.

Hastaların hastanede kalış sürelerine göre dağılımı (gün olarak)

Bazen modun tam büyüklüğünü belirlemek zordur, çünkü incelenen verilerde “en sık” meydana gelen birkaç gözlem olabilir.

Medyan (Me), varyasyon serisini iki eşit yarıya bölen parametrik olmayan bir göstergedir: medyanın her iki tarafında aynı sayıda değişken bulunur.

Örneğin, tabloda gösterilen dağılım için medyan 10'dur, çünkü bu değerin her iki tarafında 14 seçenek vardır, yani. 10 sayısı bu satırda merkezi konumu kaplar ve medyanıdır.

Bu örnekteki gözlem sayısının çift (n = 34) olduğu göz önüne alındığında, medyan aşağıdaki gibi belirlenebilir:

Ben = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2/2 = 34/2 = 17

Bu, serinin ortasının, 10'a eşit bir medyana karşılık gelen on yedinci seçeneğe denk geldiği anlamına gelir. Tabloda sunulan dağılım için aritmetik ortalama:

M = ∑Vp / n = 334/34 = 10,1

Yani, tablodan 34 gözlem için. 8, elde ettik: Mo = 10, Me = 10, aritmetik ortalama (M) 10.1'dir. Örneğimizde, her üç gösterge de tamamen farklı olmasına rağmen birbirine eşit veya yakın çıktı.

Aritmetik ortalama, tüm etkilerin sonuçtaki toplamıdır; istisnasız tüm seçenekler, belirli bir fenomen veya küme için genellikle atipik olan aşırı olanlar da dahil olmak üzere oluşumunda yer alır.

Mod ve medyan, aritmetik ortalamanın aksine, değişen özelliğin tüm bireysel değerlerinin büyüklüğüne bağlı değildir (aşırı değişkenin değerleri ve serinin saçılma derecesi). Aritmetik ortalama, tüm gözlem kütlesini, modu ve medyanı - ana kütleyi karakterize eder.

Bir işaretle birleştirilmiş sayılar grubuna denir agrega.

Yukarıda belirtildiği gibi, birincil istatistiksel spor materyali, antrenöre bir fenomenin veya sürecin özü hakkında bir fikir vermeyen bir grup dağınık sayıdır. Buradaki zorluk, bu koleksiyonu bir sisteme dönüştürmek ve gerekli bilgileri elde etmek için göstergelerini kullanmaktır.

Bir varyasyon serisinin derlenmesi, tam olarak belirli bir matematiksel

Örnek 2. 34 sporcu-kayakçı mesafeyi geçtikten sonra (saniye olarak) aşağıdaki nabız toparlanma süresini kaydetti:

81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;

85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;

Gördüğünüz gibi, bu sayı grubu herhangi bir bilgi taşımamaktadır.

Bir varyasyon serisini derlemek için önce işlemi gerçekleştiriyoruz. sıralama - sayıları artan veya azalan düzende düzenlemek. Örneğin, artan sırada sıralama şu şekilde sonuçlanır;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;

Azalan düzende, sıralama aşağıdaki gibi bir sayı grubuyla sonuçlanır:

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;

81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

Sıralamadan sonra, bu sayı grubunu yazmanın irrasyonel şekli belirginleşir - aynı sayılar birçok kez tekrarlanır. Bu nedenle, kaydı, hangi sayının kaç kez tekrarlandığını gösterecek şekilde dönüştürmek için doğal bir düşünce ortaya çıkar. Örneğin, artan sırada sıralama verildiğinde:

Burada solda sporcunun nabzının toparlanma süresini gösteren bir sayı, sağda bu göstergenin 34 sporcudan oluşan bu grupta tekrar sayısıdır.

Yukarıdaki kavramlara uygun olarak matematiksel semboller dikkate alınan ölçüm grubu bir harfle, örneğin x ile gösterilecektir. Bu gruptaki sayıların artan sırası göz önüne alındığında: x 1 -74 s; x 2 - 78 sn; x 3 - 81 sn; x 4 - 84 sn; x 5 - 85 sn; x 6 -x n - 90 s, dikkate alınan her sayı X i sembolü ile gösterilebilir.

Dikkate alınan ölçümlerin tekrar sayısını n harfi ile gösterelim. Sonra:

n 1 = 4; n2 = 6; n3 = 9; n4 = 11; n 5 = 3; n 6 = n n = 1 ve her tekrar sayısı n i olarak gösterilebilir.

Örneğin durumundan aşağıdaki gibi gerçekleştirilen toplam ölçüm sayısı 34'tür. Bu, tüm n'lerin toplamının 34 olduğu anlamına gelir. Veya sembolik ifade:

Bu toplamı bir harfle gösterelim - n. Daha sonra ele alınan örneğin ilk verileri bu formda yazılabilir (Tablo 1).

Ortaya çıkan sayı grubu, çalışmanın başında eğitmen tarafından alınan, dönüştürülmüş bir dizi kaotik olarak dağılmış okumadır.

tablo 1

Böyle bir grup belirli bir sistem, parametreleri ölçümleri karakterize eder. Ölçüm sonuçlarını (x i) temsil eden sayılara denir. seçenekler; n ben - tekrarlarının sayısı - denir frekanslar; n - tüm frekansların toplamı - evet nüfusun hacmi.

Ortaya çıkan tüm sistem denir varyasyon serisi. Bu seriler bazen ampirik veya istatistiksel olarak adlandırılır.

Tüm frekanslar bir n i == 1'e eşit olduğunda, yani belirli bir sayı grubundaki her ölçüm yalnızca bir kez gerçekleştiğinde, bir varyasyon serisinin özel bir durumunun mümkün olduğunu görmek kolaydır.

Ortaya çıkan varyasyon serisi, diğerleri gibi, grafiksel olarak gösterilebilir. Ortaya çıkan seriyi çizmek için öncelikle yatay ve dikey eksenlerde ölçek üzerinde anlaşmanız gerekir.

Bu problemde, yatay eksende, darbe kurtarma süresinin (x 1) değerlerini, keyfi olarak seçilen uzunluk birimi bir saniye değerine karşılık gelecek şekilde çizeceğiz. Geleneksel olarak iki eksen 0'ın kesişiminden yola çıkarak bu değerleri 70 saniyeden ertelemeye başlayacağız.

Dikey eksende, serimizin (n i) frekanslarının değerlerini ölçeği alarak erteliyoruz: uzunluk birimi frekans birimine eşittir.

Grafiği çizmek için koşulları hazırladıktan sonra, elde edilen varyasyon serileri ile çalışmaya devam ediyoruz.

İlk sayı çifti x 1 = 74, n 1 = 4 grafikte şu şekilde çizilir: x ekseninde; x 1'i bul =74 ve bu noktadan dikeyi geri yükleyin, n ekseninde n 1 = 4'ü bulun ve daha önce geri yüklenen dikey ile kesişene kadar ondan yatay bir çizgi çizin. Her iki çizgi - dikey ve yatay - yardımcı çizgilerdir ve bu nedenle çizime noktalı bir çizgi ile uygulanır. Bu grafiğin ölçeğinde kesiştikleri nokta X 1 = 74 ve n 1 = 4 oranıdır.

Grafiğin diğer tüm noktaları aynı şekilde çizilir. Daha sonra çizgi segmentleri ile bağlanırlar. Grafiğin kapalı bir forma sahip olması için, uç noktaları yatay eksenin bitişik noktalarıyla parçalara bağlarız.

Ortaya çıkan şekil, varyasyon serimizin bir grafiğidir (Şekil 1).

Her varyasyon serisinin kendi grafiği ile temsil edildiği oldukça açıktır.

Pirinç. 1. Varyasyon serisinin grafik gösterimi.

İncirde. 1 gösteri:

1) Ankete katılanların en büyük grubu, nabzı toparlanma süresi 84 s olan sporculardan oluşuyordu;

2) çoğu için bu süre 81 saniyedir;

3) en küçük grup, kısa nabız iyileşme süresi - 74 s ve uzun - 90 s olan sporculardan oluşuyordu.

Bu nedenle, bir dizi test yapıldıktan sonra, elde edilen sayıların sıralanması ve belirli bir matematiksel sistem olan bir varyasyon dizisinin çizilmesi gerekir. Açıklık için, varyasyon serisi bir grafikle gösterilebilir.

Yukarıdaki varyasyon serisi de denir ayrık sonraki - her seçeneğin bir sayı ile ifade edildiği bir.

Varyasyon serilerinin nasıl oluşturulacağına dair birkaç örnek daha.

Örnek 3. 10 atışa eğilimli bir egzersiz yapan 12 atıcı aşağıdaki sonuçları gösterdi (gözlüklü):

94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.

Bir varyasyon serisi oluşturmak için bu sayıları sıralayacağız;

94; 94; 94; 94; 94;

Sıralamadan sonra bir varyasyon serisi oluşturuyoruz (Tablo 3).