Ekonomik problemleri çözmenin temeli matematiksel modellerdir.

matematiksel model problem, problemin özünü tanımlayan bir dizi matematiksel ilişkidir.

• görev değişkeni seçimi
• bir kısıtlama sistemi oluşturmak
• amaç fonksiyonu seçimi

Görev değişkenleri ekonomik süreci tam olarak karakterize eden X1, X2, Xn miktarları olarak adlandırılır. Genellikle bir vektör olarak yazılırlar: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

kısıtlama sistemi görevler, söz konusu problemdeki sınırlı kaynakları tanımlayan bir dizi denklem ve eşitsizliktir.

hedef fonksiyon görev, görevin kalitesini karakterize eden ve uç noktası bulunması gereken görev değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak adlandırılır.

Genel olarak bir doğrusal programlama problemi aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu giriş şu anlama gelir: amaç fonksiyonunun (1) uç noktasını ve X=(X 1 , X 2 ,...,X n) karşılık gelen değişkenlerini bulun, ancak bu değişkenler kısıtlamalar sistemini (2) karşılar ve -olumsuzluk koşulları (3) .

Kabul edilebilir Çözüm Bir lineer programlama probleminin (planı), kısıtlamalar sistemini ve negatif olmayan koşulları sağlayan herhangi bir n-boyutlu X=(X 1 , X 2 ,...,X n) vektörüdür.

Problem formlarının uygulanabilir çözümleri (planları) uygulanabilir çözüm yelpazesi(ODR).

en uygun çözüm Bir doğrusal programlama probleminin (planı), amaç fonksiyonunun bir uç noktaya ulaştığı problemin böyle uygulanabilir bir çözümüdür (planıdır).

Matematiksel bir model derleme örneği

Kaynakları kullanma görevi (hammaddeler)

Koşul: n çeşit ürün üretimi için m çeşit kaynak kullanılır. Matematiksel bir model yapın.

Bilinen:

• b i (i = 1,2,3,...,m) her bir i-inci tür kaynağın rezervleridir;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) bir birim hacim üretimi için her bir i-inci tür kaynağın maliyetleridir. j-th tipi ürün;
• c j (j = 1,2,3,...,n) j'inci tip ürünün birim hacminin satışından elde edilen kârdır.

Kaynaklar (hammaddeler) üzerinde verilen kısıtlamalarla maksimum kâr sağlayan ürünlerin üretimi için bir plan yapılması gerekmektedir.

Karar:

X=(X 1 , X 2 ,...,X n) değişkenlerinden oluşan bir vektörü tanıtıyoruz; burada x j (j = 1,2,...,n), j-th tipinin üretim hacmidir. ürün.

Belirli bir hacimde x j ürün üretimi için i-th tipi kaynağın maliyetleri a ij x j 'ye eşittir, bu nedenle, her tür ürünün üretimi için kaynakların kullanımına ilişkin kısıtlama şu şekildedir:
j'inci tip ürünün satışından elde edilen kâr c j x j'ye eşittir, dolayısıyla amaç fonksiyonu şuna eşittir:

Cevap- Matematiksel model şöyle görünür:

Doğrusal programlama probleminin kanonik formu

Genel durumda, bir doğrusal programlama problemi, hem denklemler hem de eşitsizlikler kısıtlayıcı olacak şekilde yazılır ve değişkenler negatif olmayabilir veya keyfi olarak değişebilir.

Tüm kısıtların denklem olması ve tüm değişkenlerin negatif olmama koşulunu sağlaması durumunda doğrusal programlama problemi denir. kanonik.

Koordinat, vektör ve matris notasyonu ile gösterilebilir.

Koordinat notasyonundaki kanonik doğrusal programlama problemi şu şekildedir:

Matris notasyonundaki kanonik doğrusal programlama problemi şu şekildedir:

• A, denklem sisteminin katsayılarının matrisidir
• X, görev değişkenlerinden oluşan bir sütun matrisidir
• Ao, kısıtlama sisteminin sağ bölümlerinin matris sütunudur.

Genellikle, simetrik olanlar olarak adlandırılan ve matris notasyonunda şu forma sahip olan doğrusal programlama problemleri kullanılır:

Genel bir doğrusal programlama probleminin kanonik forma indirgenmesi

Doğrusal programlama problemlerinin çözümüne yönelik çoğu yöntemde, kısıtlar sisteminin, değişkenlerin negatif olmaması için denklemlerden ve doğal koşullardan oluştuğu varsayılır. Bununla birlikte, ekonomik problemlerin modellerini derlerken, kısıtlamalar esas olarak bir eşitsizlikler sistemi şeklinde oluşturulur, bu nedenle bir eşitsizlik sisteminden bir denklem sistemine geçebilmek gerekir.

Doğrusal bir eşitsizlik a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b alın ve eşitsizliğin eşitliği a 1 x 1 +a 2 x 2 + olacak şekilde sol tarafına bir x n+1 değeri ekleyin ...+a n x n +x n+1 =b. Ayrıca bu x n+1 değeri negatif değildir.

Her şeyi bir örnekle ele alalım.

Doğrusal programlama problemini kanonik forma indirgeyin:

Karar:
Şimdi amaç fonksiyonunun maksimumunu bulma problemine geçelim.
Bunu yapmak için, amaç fonksiyonunun katsayılarının işaretlerini değiştiririz.
Kısıtlama sisteminin ikinci ve üçüncü eşitsizliklerini denklemlere dönüştürmek için, negatif olmayan ek değişkenler x 4 x 5 giriyoruz (bu işlem matematiksel modelde D harfi ile işaretlenmiştir).
x 4 değişkeni ikinci eşitsizliğin sol tarafına "+" işaretiyle girilir, çünkü eşitsizlik "≤" biçimindedir.
x 5 değişkeni üçüncü eşitsizliğin sol tarafına "-" işareti ile girilir, çünkü eşitsizlik "≥" şeklindedir.
x 4 x 5 değişkenleri bir katsayı ile amaç fonksiyonuna girilir. sıfıra eşittir.
Problemi kanonik formda yazıyoruz.

Dört yedinci sınıf.

7A'da 15 kız 13 erkek var,

7B'de - 12 kız ve 12 erkek,

7B'de - 9 kız ve 18 erkek,

7G'de - 20 kız ve 10 erkek.

Yedinci sınıfların her birinde kaç öğrenci var sorusuna cevap vermemiz gerekirse aynı toplama işlemini 4 defa yapmamız gerekecek:

7A'da 15 + 13 = 28 öğrenci;
7B'de 12 +12 = 24 öğrenci;
7B'de 9 + 18 = 27 öğrenci;
7D'de 20 + 10 = 30 öğrenci.

A. V. Pogorelov, 7-11. sınıflar için Geometri, Ders Kitabı Eğitim Kurumları

Matematiksel modeller

Matematiksel model - yaklaşık opikullanılarak ifade edilen modelleme nesnesinin tanımıschyu matematiksel sembolizm.

Matematiksel modeller, yüzyıllar önce matematikle birlikte ortaya çıktı. Bilgisayarların ortaya çıkması, matematiksel modellemenin gelişimine büyük bir ivme kazandırdı. Bilgisayarların kullanılması, daha önce analitik araştırmaya uygun olmayan birçok matematiksel modelin analiz edilmesini ve uygulamaya konulmasını mümkün kıldı. Bilgisayarla uygulanan matematikselgökyüzü modeli isminde bilgisayar matematiksel modeli, a bir bilgisayar modeli kullanarak hedeflenen hesaplamaları yapmak isminde hesaplama deneyi.

Bilgisayar matematiksel mo aşamalarısilmeşekilde gösterilmiştir. Birincisahne - modelleme hedeflerinin tanımı. Bu hedefler farklı olabilir:

1. belirli bir nesnenin nasıl çalıştığını, yapısının ne olduğunu, temel özelliklerini, gelişim yasalarını ve etkileşimi anlamak için bir modele ihtiyaç vardır.
   dış dünya ile (anlayış);
2. bir nesnenin (veya sürecin) nasıl yönetileceğini öğrenmek ve verilen hedefler ve kriterler (yönetim) için yönetmenin en iyi yollarını belirlemek için bir modele ihtiyaç vardır;
3. belirtilen yöntemlerin ve nesne üzerindeki etki biçimlerinin uygulanmasının doğrudan ve dolaylı sonuçlarını tahmin etmek için modele ihtiyaç vardır (tahmin).

Tamamen farklı bir alandan bir örnek: ortak bir gıda tabanına sahip iki tür bireyden oluşan istikrarlı sayıda popülasyonla barış içinde bir arada var olan, sayıları "aniden" çarpıcı biçimde değiştirmeye başlar. Ve burada matematiksel modelleme (belirli bir kesinlikle) nedeni belirlemeye (veya en azından belirli bir hipotezi çürütmeye) izin verir.

Nesne yönetimi kavramının geliştirilmesi, modellemenin bir başka olası hedefidir. Uçuşun güvenli ve ekonomik olarak en avantajlı olması için hangi uçak uçuş modu seçilmelidir? Yüzlerce İnşaat İşi Nasıl Planlanır? büyük nesne bir an önce bitsin diye mi? Bu tür birçok sorun sistematik olarak ekonomistlerin, tasarımcıların ve bilim adamlarının önünde ortaya çıkıyor.

Son olarak, bir nesne üzerindeki belirli etkilerin sonuçlarını tahmin etmek, hem basit fiziksel sistemlerde nispeten basit bir mesele hem de biyolojik, ekonomik, sosyal sistemlerde son derece karmaşık - yapılabilirliğin eşiğinde olabilir. İnce bir çubukta ısı yayılım modundaki değişiklikle birlikte bileşen alaşımındaki değişiklikler hakkındaki soruyu cevaplamak nispeten kolaysa, o zaman bir yapının çevresel ve iklimsel sonuçlarını izlemek (tahmin etmek) kıyaslanamayacak kadar daha zordur. büyük hidroelektrik santrali veya vergi mevzuatındaki değişikliklerin sosyal sonuçları. Belki burada da matematiksel modelleme yöntemleri gelecekte daha önemli yardımlar sağlayacaktır.

İkinci aşama: modelin girdi ve çıktı parametrelerinin tanımı; girdi parametrelerinin, değişikliklerinin çıktı üzerindeki etkisinin önem derecesine göre bölünmesi. Bu işleme sıralama veya sıralamaya göre bölme denir (aşağıya bakın). "formalizeve modelleme").

Üçüncü sahne: matematiksel bir modelin inşası. Bu aşamada, modelin soyut formülasyonundan belirli bir formüle sahip bir formülasyona geçiş söz konusudur. matematiksel temsil. Matematiksel bir model, denklemler, denklem sistemleri, eşitsizlik sistemleri, diferansiyel denklemler veya bu tür denklemlerin sistemleri vb.

Dördüncü aşama: matematiksel modeli incelemek için yöntem seçimi. Burada en çok kullanılan Sayısal yöntemler bunlar kendilerini programlamaya iyi bir şekilde ödünç verir. Kural olarak, aynı sorunu çözmek için doğruluk, kararlılık vb. Tüm modelleme sürecinin başarısı genellikle doğru yöntem seçimine bağlıdır.

Beşinci aşama: bir algoritmanın geliştirilmesi, bir bilgisayar programının derlenmesi ve hatalarının ayıklanması, resmileştirilmesi zor bir süreçtir. Programlama dillerinden birçok matematiksel modelleme profesyoneli FORTRAN'ı tercih eder: hem gelenek nedeniyle hem de derleyicilerin eşsiz verimliliği (hesaplama çalışması için) ve büyük, dikkatle hata ayıklanmış ve optimize edilmiş standart matematiksel yöntem kitaplıklarının varlığı nedeniyle. O. Görevin niteliğine ve programcının eğilimlerine bağlı olarak PASCAL, BASIC, C gibi diller de kullanılmaktadır.

Altıncı aşama: program testi. Programın çalışması, cevabı bilinen bir test probleminde test edilir. Bu, resmi olarak ayrıntılı bir şekilde tarif edilmesi zor olan bir test prosedürünün sadece başlangıcıdır. Genellikle, test, kullanıcının profesyonel özelliklerine göre programı doğru bulduğunda sona erer.

Yedinci aşama: modelin gerçek bir nesneye (sürece) karşılık gelip gelmediğinin netleştiği gerçek hesaplama deneyi. Bir bilgisayarda elde edilen sürecin bazı özellikleri, belirli bir doğruluk derecesinde deneysel olarak elde edilen özelliklerle çakışıyorsa, model gerçek süreç için yeterince yeterlidir. Model gerçek sürece uymuyorsa, önceki aşamalardan birine döneriz.

sınıflandırma Matematiksel modeller

Matematiksel modellerin sınıflandırılması aşağıdakilere dayanabilir: çeşitli ilkeler. Modelleri bilim dallarına göre (fizikte, biyolojide, sosyolojide vb. matematiksel modeller) sınıflandırmak mümkündür. Uygulanan matematiksel aygıta göre sınıflandırılabilir (adi diferansiyel denklemlerin kullanımına dayalı modeller, kısmi diferansiyel denklemler, stokastik yöntemler, ayrık cebirsel dönüşümler, vb.). Son olarak, matematiksel aygıttan bağımsız olarak, farklı bilimlerdeki genel modelleme görevlerinden yola çıkarsak, aşağıdaki sınıflandırma en doğaldır:

• tanımlayıcı (tanımlayıcı) modeller;
• optimizasyon modelleri;
• çok kriterli modeller;
• oyun modelleri.

Bunu örneklerle açıklayalım.

Tanımlayıcı (tanımlayıcı) modeller. Örneğin, istila eden bir kuyruklu yıldızın hareketini modellemek Güneş Sistemi, uçuşunun yörüngesini, Dünya'dan geçeceği mesafeyi vb. tahmin etmek için yapılır. Bu durumda, modellemenin amaçları açıklayıcıdır, çünkü kuyruklu yıldızın hareketini etkilemenin, içindeki bir şeyi değiştirmenin bir yolu yoktur.

Optimizasyon Modelleri Belirli bir amaca ulaşma girişiminde etkilenebilecek süreçleri tanımlamak için kullanılır. Bu durumda model, etkilenebilecek bir veya daha fazla parametre içerir. Örneğin, bir tahıl ambarındaki termal rejimi değiştirerek, maksimum tahıl muhafazasını elde etmek için böyle bir rejimi seçmek için bir hedef belirlenebilir, yani. depolama sürecini optimize edin.

Çok kriterli modeller. Çoğu zaman süreci aynı anda birkaç parametrede optimize etmek gerekir ve hedefler çok çelişkili olabilir. Örneğin gıda fiyatlarını ve kişinin gıda ihtiyacını bilerek, büyük insan grupları için (orduda, çocuk yaz kampında vb.) yemeklerin fizyolojik olarak doğru ve aynı zamanda mümkün olduğu kadar ucuza organize edilmesi gerekir. Bu hedeflerin hiçbir şekilde örtüşmediği açıktır; modelleme yaparken, aralarında bir denge aranması gereken çeşitli kriterler kullanılacaktır.

Oyun modelleri sadece bilgisayar oyunlarıyla değil, aynı zamanda çok ciddi şeylerle de ilgili olabilir. Örneğin, bir savaştan önce, karşı ordu hakkında eksik bilgilerin varlığında, bir komutan bir plan geliştirmelidir: düşmanın olası tepkisini dikkate alarak belirli birimleri hangi sırayla savaşa sokmak vb. Modern matematiğin özel bir bölümü vardır - oyun teorisi - eksik bilgi koşulları altında karar verme yöntemlerini araştırır.

Bilgisayar bilimi okul kursunda, öğrenciler temel kursun bir parçası olarak bilgisayar matematiksel modelleme hakkında bir başlangıç ​​fikri alırlar. Lisede, matematiksel modelleme, fizik ve matematik dersleri için genel bir eğitim kursunda ve ayrıca özel bir seçmeli derste derinlemesine incelenebilir.

Lisede bilgisayarlı matematiksel modelleme öğretiminin ana biçimleri dersler, laboratuvar ve kredi dersleridir. Genellikle, her yeni modelin çalışması için oluşturma ve hazırlama çalışmaları 3-4 ders alır. Materyalin sunumu sırasında, gelecekte öğrenciler tarafından kendi başlarına çözülmesi gereken görevler belirlenir, genel olarak bunları çözmenin yolları özetlenir. Sorular formüle edilir, cevapları görevleri yerine getirirken alınması gerekir. Belirtildi ek literatür, görevlerin daha başarılı bir şekilde tamamlanması için destekleyici bilgiler elde etmenizi sağlar.

Yeni materyalin incelenmesinde sınıfları düzenleme şekli genellikle bir derstir. Bir sonraki modelin tartışılmasının tamamlanmasından sonra öğrenciler daha fazla çalışma için gerekli teorik bilgileri ve bir dizi görevi ellerinde bulundurmalıdır. Ödeve hazırlanırken öğrenciler, bilinen bazı özel çözümleri kullanarak uygun çözüm yöntemini seçerler ve geliştirilen programı test ederler. Görevleri tamamlamada oldukça olası zorluklar olması durumunda, istişare yapılır, bu bölümlerin literatürde daha ayrıntılı olarak ele alınması için bir teklif yapılır.

Bilgisayar modelleme öğretiminin pratik kısmıyla en alakalı olanı proje yöntemidir. Görev, öğrenci için bir eğitim projesi şeklinde formüle edilir ve ana ile birkaç derste tamamlanır. organizasyon şekli aynı zamanda bilgisayar laboratuvar çalışmaları. Bir Yöntemle Modellemeyi Öğretmek eğitim projeleriüzerinde uygulanabilir farklı seviyeler. Birincisi, öğretmen tarafından yönetilen proje uygulama sürecinin bir problem ifadesidir. İkincisi, projenin bir öğretmen rehberliğinde öğrenciler tarafından uygulanmasıdır. Üçüncüsü, bir eğitim araştırma projesinin öğrenciler tarafından bağımsız olarak uygulanmasıdır.

Çalışmanın sonuçları sayısal biçimde, grafikler, diyagramlar şeklinde sunulmalıdır. Mümkünse süreç dinamik olarak bilgisayar ekranında sunulur. Hesaplamalar sonunda sonuçlar elde edilir, analiz edilir, karşılaştırılır. bilinen gerçekler teoriden, güvenilirlik onaylanır ve daha sonra yazılı bir rapora yansıtılan anlamlı bir yorum yapılır.

Sonuçlar öğrenciyi ve öğretmeni tatmin ederse, o zaman iş sayar tamamlanır ve son aşaması bir raporun hazırlanmasıdır. Rapor, incelenen konuyla ilgili kısa teorik bilgiler, sorunun matematiksel bir formülasyonu, bir çözüm algoritması ve gerekçesi, bir bilgisayar programı, programın sonuçları, sonuçların ve sonuçların analizi, bir referans listesi içerir.

Tüm raporlar hazırlandıktan sonra, test oturumunda öğrenciler yapılan çalışmalar hakkında kısa raporlar hazırlar, projelerini savunurlar. Bu etkili biçim Görevi belirleme, resmi bir model oluşturma, modelle çalışma yöntemlerini seçme, modeli bilgisayarda uygulama, bitmiş modelle çalışma, sonuçları yorumlama, tahmin dahil proje ekibinin sınıfa raporu. Sonuç olarak, öğrenciler iki not alabilir: birincisi projenin detaylandırılması ve savunmasının başarısı için, ikincisi program, algoritmasının, arayüzünün optimalliği vb. Öğrenciler ayrıca teori üzerine yapılan anketler sırasında not alırlar.

Temel bir soru, matematiksel modelleme için okul bilişim dersinde ne tür araçlar kullanılacağıdır? Modellerin bilgisayar uygulaması gerçekleştirilebilir:

• aracılığıyla elektronik tablo işlemcisi(genellikle MS Excel);
• programlar oluşturarak geleneksel diller programlama (Pascal, BASIC, vb.) ve modern versiyonları (Delphi, Visual
  Temel Uygulama vb.);
• matematik problemlerini çözmek için özel yazılım paketleri kullanmak (MathCAD, vb.).

İlkokul düzeyinde, ilk çare tercih edilen çare gibi görünmektedir. Bununla birlikte, lisede, programlama, modelleme ile birlikte bilgisayar biliminin temel bir konusu olduğunda, onu bir modelleme aracı olarak dahil etmek arzu edilir. Programlama sürecinde, matematiksel prosedürlerin detayları öğrencilerin kullanımına sunulur; dahası, sadece onlara hakim olmaya zorlanırlar ve bu da matematik eğitimine katkıda bulunur. Özel yazılım paketlerinin kullanımına gelince, bu, diğer araçlara ek olarak bir profil bilgisayar bilimi dersinde uygundur.

Egzersiz yapmak :

• Anahtar kavramları ana hatlarıyla belirtin.

Sovetov ve Yakovlev'in ders kitabına göre: "bir model (Latin modülü - ölçü), orijinal nesnenin bir nesne ikamesidir ve orijinalin bazı özelliklerinin incelenmesini sağlar." (s. 6) "Bir model nesne yardımıyla orijinal nesnenin en önemli özellikleri hakkında bilgi edinmek için bir nesneyi başka bir nesneyle değiştirmeye modelleme denir." (s. 6) “Matematiksel modelleme altında, matematiksel model olarak adlandırılan bazı matematiksel nesnelerin belirli bir gerçek nesnesine yazışma kurma sürecini ve söz konusu gerçek nesnenin özelliklerini elde etmeyi sağlayan bu modelin çalışmasını anlayacağız. . Matematiksel modelin türü, hem gerçek nesnenin doğasına hem de nesneyi inceleme görevlerine ve bu problemi çözmenin gerekli güvenilirliğine ve doğruluğuna bağlıdır.

Son olarak, bir matematiksel modelin en özlü tanımı: "Fikri ifade eden bir denklem».

Model sınıflandırması

Modellerin resmi sınıflandırması

Modellerin biçimsel sınıflandırması, kullanılan matematiksel araçların sınıflandırılmasına dayanmaktadır. Genellikle ikilikler şeklinde inşa edilmiştir. Örneğin, popüler ikilik kümelerinden biri şudur:

vb. Oluşturulan her model lineer veya lineer olmayan, deterministik veya stokastiktir, ... Doğal olarak karışık tipler de mümkündür: bir açıdan (parametreler açısından) konsantre, diğerinde dağıtılmış modeller, vb.

Nesnenin temsil edildiği şekilde sınıflandırma

Biçimsel sınıflandırmanın yanı sıra modeller, nesneyi temsil etme biçimleri bakımından farklılık gösterir:

• Yapısal veya işlevsel modeller

Yapısal Modeller bir nesneyi kendi aygıtı ve işleyiş mekanizması olan bir sistem olarak temsil eder. fonksiyonel modeller bu tür temsilleri kullanmayın ve yalnızca nesnenin harici olarak algılanan davranışını (işlevini) yansıtır. Aşırı ifadelerinde "kara kutu" modelleri olarak da adlandırılırlar. Bazen "modeller" olarak adlandırılan kombine model türleri de mümkündür. gri kutu».

İçerik ve biçimsel modeller

Matematiksel modelleme sürecini tanımlayan hemen hemen tüm yazarlar, önce özel bir ideal yapının inşa edildiğini, içerik modeli. Burada yerleşik bir terminoloji yoktur ve diğer yazarlar buna ideal nesne derler. kavramsal model , spekülatif model veya ön model. Bu durumda, nihai matematiksel yapı denir. resmi model ya da sadece bu içerik modelinin resmileştirilmesi sonucu elde edilen matematiksel bir model (ön model). Anlamlı bir modelin inşası, mekanikte olduğu gibi, ideal yayların olduğu bir dizi hazır idealleştirme kullanılarak gerçekleştirilebilir. katı cisimler, ideal sarkaçlar, elastik ortamlar vb. anlamlı modelleme için hazır yapısal elemanlar sağlar. Bununla birlikte, tam olarak tamamlanmış resmi teorilerin olmadığı bilgi alanlarında (fizik, biyoloji, ekonomi, sosyoloji, psikoloji ve diğer birçok alanın en ileri teknolojisi), anlamlı modellerin oluşturulması çarpıcı biçimde daha karmaşıktır.

Modellerin anlamlı sınıflandırılması

Bilimde hiçbir hipotez kesin olarak kanıtlanamaz. Richard Feynman bunu çok net bir şekilde ortaya koydu:

"Her zaman bir teoriyi çürütme yeteneğine sahibiz, ancak onun doğru olduğunu asla kanıtlayamayacağımızı unutmayın. Başarılı bir hipotez ortaya koyduğunuzu, nereye varacağını hesapladığınızı ve tüm sonuçlarının deneysel olarak doğrulandığını bulduğunuzu varsayalım. Bu, teorinizin doğru olduğu anlamına mı geliyor? Hayır, bu basitçe onu çürütmede başarısız olduğunuz anlamına gelir.

Birinci türden bir model kurulursa, bu onun geçici olarak doğru olduğu ve kişinin başka sorunlara konsantre olabileceği anlamına gelir. Bununla birlikte, bu araştırmadaki bir nokta olamaz, sadece geçici bir duraklama olabilir: Birinci tip modelin durumu sadece geçici olabilir.

Tip 2: fenomenolojik model (gibi davran…)

Fenomenolojik model, fenomeni tanımlamak için bir mekanizma içerir. Ancak bu mekanizma yeterince inandırıcı değildir, mevcut verilerle yeterince doğrulanamaz veya nesne hakkında mevcut teoriler ve birikmiş bilgilerle pek uyuşmaz. Bu nedenle fenomenolojik modeller geçici çözüm statüsüne sahiptir. Cevabın hala bilinmediğine ve “gerçek mekanizmalar” arayışına devam edilmesi gerektiğine inanılıyor. Peierls, örneğin, temel parçacıkların kalorik modelini ve kuark modelini ikinci türe atıfta bulunur.

Modelin araştırmadaki rolü zamanla değişebilir, yeni veriler ve teoriler fenomenolojik modelleri doğrulayabilir ve bir hipotez statüsüne yükseltilebilir. Aynı şekilde, yeni bilgiler, birinci türdeki model-hipotezlerle yavaş yavaş çatışabilir ve ikincisine aktarılabilir. Böylece, kuark modeli yavaş yavaş hipotezler kategorisine giriyor; fizikte atomizm geçici bir çözüm olarak ortaya çıktı, ancak tarihin seyri ile ilk tipe geçti. Ancak eter modelleri tip 1'den tip 2'ye gitti ve şimdi bilimin dışındalar.

Modeller oluştururken sadeleştirme fikri çok popüler. Ama sadeleştirme farklıdır. Peierls modellemede üç tür basitleştirmeyi ayırt eder.

Tip 3: yaklaşıklık (bir şey çok büyük veya çok küçük olarak kabul edilir)

İncelenen sistemi açıklayan denklemler oluşturmak mümkünse, bu onların bir bilgisayar yardımıyla bile çözülebilecekleri anlamına gelmez. Bu durumda yaygın bir teknik, yaklaşımların kullanılmasıdır (3 tipi modeller). Onların arasında doğrusal tepki modelleri. Denklemler lineer olanlarla değiştirilir. Standart örnek Ohm yasasıdır.

Ve işte biyolojik sistemlerin matematiksel modellerinde yaygın olarak kullanılan tip 8.

Tip 8: olasılık gösterimi (asıl mesele, olasılığın iç tutarlılığını göstermektir.)

Bunlar aynı zamanda düşünce deneyleridir. olduğunu gösteren hayali varlıklarla sözde fenomen temel ilkelerle tutarlı ve kendi içinde tutarlı. Bu, gizli çelişkileri ortaya çıkaran tip 7 modellerinden temel farktır.

Bu deneylerin en ünlülerinden biri Lobachevsky'nin geometrisidir (Lobachevsky buna "hayali geometri" adını vermiştir). Başka bir örnek, kimyasal ve biyolojik salınımların, otomatik dalgaların vb. resmi olarak kinetik modellerinin seri üretimidir. Einstein-Podolsky-Rosen paradoksu, kuantum mekaniğinin tutarsızlığını göstermek için bir tip 7 model olarak tasarlandı. Tamamen plansız bir şekilde, sonunda 8. tip bir modele dönüştü - bilginin kuantum ışınlanması olasılığının bir kanıtı.

Misal

Düşünmek mekanik sistem bir ucunda sabitlenmiş bir yay ve yayın serbest ucuna bağlı bir kütle yükünden oluşan. Yükün yalnızca yay ekseni yönünde hareket edebileceğini varsayacağız (örneğin, hareket çubuk boyunca gerçekleşir). Bu sistemin matematiksel bir modelini oluşturalım. Sistemin durumunu, yükün merkezinden denge konumuna olan uzaklıkla tanımlayacağız. Bir yayın ve bir yükün etkileşimini kullanarak tanımlayalım. Hook kanunu() bundan sonra Newton'un ikinci yasasını bir diferansiyel denklem şeklinde ifade etmek için kullanırız:

burada zamana göre ikinci türevi anlamına gelir: .

Ortaya çıkan denklem, dikkate alınan denklemin matematiksel modelini tanımlar. fiziksel sistem. Bu modele "harmonik osilatör" denir.

Resmi sınıflandırmaya göre bu model lineer, deterministik, dinamik, konsantre, süreklidir. Yapım sürecinde, gerçekte yerine getirilmeyebilecek birçok varsayımda bulunduk (dış kuvvetlerin yokluğu, sürtünme yokluğu, sapmaların küçüklüğü vb. hakkında).

Gerçekle ilgili olarak, bu genellikle bir tip 4 modelidir. sadeleştirme(“Açıklık için bazı ayrıntıları atlıyoruz”), çünkü bazı temel evrensel özellikler (örneğin, dağılma) atlanmıştır. Bazı yaklaşımlarda (örneğin, yükün dengeden sapması küçük olduğu, çok az sürtünmeyle, çok uzun olmayan bir süre için ve diğer bazı koşullara tabi olduğu sürece), böyle bir model gerçek bir mekanik sistemi oldukça iyi tanımlar, çünkü atılan faktörlerin davranışı üzerinde ihmal edilebilir bir etkisi vardır. Ancak, model bu faktörlerin bazıları dikkate alınarak geliştirilebilir. Bu, daha geniş (yine sınırlı olsa da) kapsamı olan yeni bir modele yol açacaktır.

Bununla birlikte, model iyileştirildiğinde, matematiksel çalışmasının karmaşıklığı önemli ölçüde artabilir ve modeli neredeyse işe yaramaz hale getirebilir. Çoğu zaman, daha basit bir model, gerçek sistemi daha karmaşık (ve resmi olarak “daha ​​doğru”) olandan daha iyi ve daha derin bir şekilde keşfetmenize izin verir.

Harmonik osilatör modelini fizikten uzak nesnelere uygularsak anlamlı durumu farklı olabilir. Örneğin, bu modeli biyolojik popülasyonlara uygularken, büyük olasılıkla tip 6'ya atfedilmelidir. analoji(“Yalnızca bazı özellikleri dikkate alalım”).

Sert ve yumuşak modeller

Harmonik osilatör, sözde "sert" modelin bir örneğidir. Gerçek bir fiziksel sistemin güçlü bir şekilde idealleştirilmesinin bir sonucu olarak elde edilir. Uygulanabilirliği sorununu çözmek için, ihmal ettiğimiz faktörlerin ne kadar önemli olduğunu anlamak gerekir. Başka bir deyişle, "sert" olanın küçük bir pertürbasyonu ile elde edilen "yumuşak" modeli araştırmak gerekir. Örneğin, aşağıdaki denklemle verilebilir:

Burada - sürtünme kuvvetini veya yayın sertlik katsayısının gerilme derecesine bağımlılığını hesaba katabilen bazı işlevler - bazı küçük parametreler. us fonksiyonunun açık biçimi şu an ilgilenmiyorum. Yumuşak bir modelin davranışının, sert bir modelin davranışından temelde farklı olmadığını kanıtlarsak (yeterince küçüklerse, rahatsız edici faktörlerin açık biçiminden bağımsız olarak), sorun sert modeli incelemeye indirgenecektir. Aksi takdirde, katı model çalışmasında elde edilen sonuçların uygulanması ek araştırma gerektirecektir. Örneğin, bir harmonik osilatörün denkleminin çözümü formun fonksiyonlarıdır , yani sabit bir genliğe sahip salınımlar. Bundan gerçek bir osilatörün sabit bir genlikle süresiz olarak salınacağı sonucu mu çıkıyor? Hayır, çünkü keyfi olarak küçük bir sürtünmeye sahip bir sistem düşünüldüğünde (her zaman gerçek bir sistemde bulunur), sönümlü salınımlar elde ederiz. Sistemin davranışı niteliksel olarak değişti.

Bir sistem küçük bir bozulma altında niteliksel davranışını koruyorsa, yapısal olarak kararlı olduğu söylenir. Harmonik osilatör, yapısal olarak kararsız (kaba olmayan) bir sistemin bir örneğidir. Ancak bu model, sınırlı zaman aralıklarında süreçleri incelemek için kullanılabilir.

Modellerin evrenselliği

En önemli matematiksel modeller genellikle önemli özelliklere sahiptir. evrensellik: temelde farklı gerçek fenomenler aynı matematiksel modelle tanımlanabilir. Örneğin, bir harmonik osilatör yalnızca bir yay üzerindeki yükün davranışını değil, aynı zamanda genellikle tamamen farklı nitelikteki diğer salınım işlemlerini de tanımlar: bir sarkacın küçük salınımları, şekilli bir kaptaki sıvı seviyesindeki dalgalanmalar veya bir bir salınım devresinde akım gücündeki değişiklik. Böylece, bir matematiksel modeli incelerken, aynı anda onun tanımladığı bütün bir fenomen sınıfını inceleriz. Ludwig von Bertalanffy'nin “Genel Sistemler Teorisi”ni yaratmasına yol açan, bilimsel bilginin çeşitli bölümlerinde matematiksel modellerle ifade edilen yasaların bu eşbiçimliliğidir.

Matematiksel modellemenin doğrudan ve ters problemleri

Matematiksel modelleme ile ilgili birçok problem vardır. Öncelikle modellenen nesnenin temel şemasını çıkarmak, onu bu bilimin idealleştirmeleri çerçevesinde yeniden üretmek gerekir. Böylece, bir tren vagonu bir plaka sistemine ve farklı malzemelerden yapılmış daha karmaşık gövdelere dönüşür, her malzeme standart mekanik idealleştirme (yoğunluk, elastik modül, standart mukavemet özellikleri) olarak verilir, ardından yol boyunca denklemler hazırlanır. bazı detaylar önemsiz olarak atılır, hesaplamalar yapılır, ölçümlerle karşılaştırılır, model rafine edilir vb. Ancak matematiksel modelleme teknolojilerinin geliştirilmesi için bu süreci ana bileşenlerine ayırmakta fayda var.

Geleneksel olarak, matematiksel modellerle ilişkili iki ana problem sınıfı vardır: doğrudan ve ters.

Doğrudan sorun: modelin yapısı ve tüm parametrelerinin bilindiği kabul edilir, asıl görev, nesne hakkında faydalı bilgiler elde etmek için modeli incelemektir. Köprü hangi statik yüke dayanabilir? Dinamik bir yüke (örneğin, bir asker grubunun yürüyüşüne veya bir trenin farklı hızlarda geçişine) nasıl tepki vereceği, uçağın ses bariyerini nasıl aşacağı, çarpıntıdan düşüp düşmeyeceği - burada tipik örnekler doğrudan görev. Doğru doğrudan sorunu belirlemek (doğru soruyu sormak) özel beceri gerektirir. ayarlanmazsa doğru sorular, o zaman davranışı için iyi bir model oluşturulmuş olsa bile köprü çökebilir. Böylece, 1879'da, tasarımcıları bir köprü modeli inşa eden Büyük Britanya'da Tey Nehri boyunca metal bir köprü çöktü, yük için 20 kat güvenlik marjı hesapladı, ancak bu yerlerde sürekli esen rüzgarları unuttu. . Ve bir buçuk yıl sonra çöktü.

En basit durumda (örneğin bir osilatör denklemi), doğrudan problem çok basittir ve bu denklemin açık bir çözümüne indirgenir.

ters problem: birçok olası model bilinmektedir, nesneyle ilgili ek verilere dayanarak belirli bir model seçmek gerekir. Çoğu zaman, modelin yapısı bilinir ve bazı bilinmeyen parametrelerin belirlenmesi gerekir. Ek bilgiler, ek deneysel verilerden veya nesne gereksinimlerinden oluşabilir ( tasarım görevi). Ters problemi çözme sürecinden bağımsız olarak ek veriler gelebilir ( pasif gözlem) veya çözüm sırasında özel olarak planlanmış bir deneyin sonucu olabilir ( aktif gözetim).

Mevcut verilerin mümkün olan en eksiksiz kullanımıyla bir ters problemin virtüöz çözümünün ilk örneklerinden biri, gözlemlenen sönümlü salınımlardan sürtünme kuvvetlerini yeniden oluşturmak için I. Newton tarafından oluşturulan yöntemdi.

Başka bir örnek matematiksel istatistiklerdir. Bu bilimin görevi, kitlesel rastgele olayların olasılıklı modellerini oluşturmak için gözlemsel ve deneysel verileri kaydetme, tanımlama ve analiz etme yöntemlerinin geliştirilmesidir. Onlar. olası modeller kümesi, olasılıklı modellerle sınırlıdır. Spesifik problemlerde, model seti daha sınırlıdır.

Bilgisayar simülasyon sistemleri

Matematiksel modellemeyi desteklemek için, örneğin Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, vb. gibi bilgisayar matematik sistemleri geliştirilmiştir. Bunlar, hem basit hem de karmaşık süreçlerin ve cihazların formal ve blok modellerini oluşturmanıza ve işlem sırasında model parametrelerini kolayca değiştirmenize olanak tanır. simülasyon. Blok Modeller seti ve bağlantısı model diyagramı tarafından belirtilen bloklarla (çoğunlukla grafiksel) temsil edilir.

Ek örnekler

Malthus modeli

Büyüme hızı, mevcut nüfus büyüklüğü ile orantılıdır. Diferansiyel denklem ile tanımlanır

doğum oranı ve ölüm oranı arasındaki fark tarafından belirlenen belirli bir parametre nerede. Bu denklemin çözümü üstel bir fonksiyondur. Doğum oranı ölüm oranını () aşarsa, nüfus büyüklüğü süresiz ve çok hızlı bir şekilde artar. Gerçekte bunun sınırlı kaynaklar nedeniyle gerçekleşemeyeceği açıktır. Belirli bir kritik nüfus büyüklüğüne ulaşıldığında, sınırlı kaynakları hesaba katmadığı için model yeterli olmaktan çıkar. Malthus modelinin iyileştirilmesi, Verhulst diferansiyel denklemi ile tanımlanan lojistik model olabilir.

doğum oranının ölüm oranıyla tam olarak telafi edildiği "denge" nüfus büyüklüğü nerede. Böyle bir modeldeki popülasyon büyüklüğü denge değerine eğilimlidir ve bu davranış yapısal olarak kararlıdır.

avcı-av sistemi

Diyelim ki belirli bir bölgede iki tür hayvan yaşıyor: tavşanlar (bitki yiyen) ve tilki (tavşan yiyen). Tavşan sayısı, tilki sayısı olsun. Malthus modelini gerekli düzeltmelerle kullanarak, tavşanların tilkiler tarafından yemesini dikkate alarak, adını taşıyan aşağıdaki sisteme ulaşıyoruz. tepsi modelleri - Volterra:

Bu sistem, tavşan ve tilki sayısının sabit olduğu bir denge durumuna sahiptir. Bu durumdan sapma, harmonik osilatördeki dalgalanmalara benzer şekilde tavşan ve tilki sayısında dalgalanmalara yol açar. Harmonik osilatör durumunda olduğu gibi, bu davranış yapısal olarak kararlı değildir: modelde küçük bir değişiklik (örneğin, tavşanların ihtiyaç duyduğu sınırlı kaynakları dikkate alarak) davranışta niteliksel bir değişikliğe yol açabilir. Örneğin, denge durumu kararlı hale gelebilir ve nüfus dalgalanmaları kaybolacaktır. Denge konumundan herhangi bir küçük sapma, türlerden birinin tamamen yok olmasına kadar feci sonuçlara yol açacağı zaman, tersi durum da mümkündür. Bu senaryolardan hangisinin gerçekleştiği sorusuna Volterra-Lotka modeli bir cevap vermiyor: burada ek araştırma gerekiyor.

notlar

1. "Gerçekliğin matematiksel bir temsili" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Sibernetik modellemenin felsefi soruları üzerine. M., Bilgi, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Sistem Modelleme: Proc. üniversiteler için - 3. baskı, gözden geçirilmiş. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mihaylov A.P. Matematiksel modelleme. Fikirler. Yöntemler Örnekler - 2. baskı, düzeltildi. - E.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matematiksel modeller teorisinin unsurları. - 3. baskı, Rev. - E.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4 ile
6. Sevostyanov, A.G. Teknolojik süreçlerin modellenmesi: ders kitabı / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Kolay ve Gıda endüstrisi, 1984. - 344 s.
7. Vikisözlük: matematiksel modeller
8. CliffsNotes.com. Yer Bilimleri Sözlüğü. 20 Eyl 2010
9. Çok Ölçekli Olaylar için Model İndirgeme ve Kaba Tane Yaklaşımları, Springer, Karmaşıklık serisi, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
10. “Bir teori, kullandığı matematiksel modelin lineer veya lineer olmayan ne olduğuna, ne lineer veya lineer olmayan matematiksel modellere bağlı olarak lineer veya lineer olmayan olarak kabul edilir. ... ikincisini inkar etmeden. modern fizikçi, doğrusal olmama gibi önemli bir varlığı yeniden tanımlaması gerekseydi, büyük olasılıkla farklı davranırdı ve doğrusal olmayanlığı iki karşıttan daha önemli ve yaygın olanı olarak tercih ederek, doğrusallığı "doğrusal olmayanlık değil" olarak tanımlardı. ”. Danilov Yu.A., Doğrusal olmayan dinamikler üzerine dersler. İlköğretim tanıtımı. Sinerjetik: geçmişten geleceğe seri. Ed.2. - E.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. “Sonlu sayıda adi diferansiyel denklemle modellenen dinamik sistemlere toplu veya nokta sistemleri denir. Sonlu boyutlu bir faz uzayı kullanılarak tanımlanırlar ve sonlu sayıda serbestlik derecesi ile karakterize edilirler. Farklı koşullar altında tek ve aynı sistem, yoğunlaşmış veya dağıtılmış olarak kabul edilebilir. Dağıtılmış sistemlerin matematiksel modelleri, kısmi diferansiyel denklemler, integral denklemler veya normal gecikme denklemleridir. Dağıtılmış bir sistemin serbestlik derecesi sonsuzdur ve durumunu belirlemek için sonsuz sayıda veri gerekir. Anishchenko V.S., Dinamik Sistemler, Soros Eğitim Dergisi, 1997, Sayı 11, s. 77-84.
12. “S sisteminde çalışılan süreçlerin doğasına bağlı olarak, tüm modelleme türleri deterministik ve stokastik, statik ve dinamik, ayrık, sürekli ve ayrık-sürekli olarak ayrılabilir. Deterministik modelleme, deterministik süreçleri, yani rastgele etkilerin bulunmadığının varsayıldığı süreçleri gösterir; stokastik modelleme, olasılıksal süreçleri ve olayları gösterir. … Statik modelleme, herhangi bir zamanda bir nesnenin davranışını tanımlamak için kullanılırken, dinamik modelleme bir nesnenin zaman içindeki davranışını yansıtır. Ayrık modelleme, sırasıyla ayrık olduğu varsayılan süreçleri tanımlamaya hizmet eder, sürekli modelleme, sistemlerdeki sürekli süreçleri yansıtmanıza izin verir ve ayrık-sürekli modelleme, hem ayrık hem de sürekli süreçlerin varlığını vurgulamak istediğiniz durumlar için kullanılır. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A. ISBN 5-06-003860-2
13. Genellikle matematiksel model, modellenen nesnenin yapısını (cihazını), bu nesnenin çalışmanın amaçları için gerekli olan bileşenlerinin özelliklerini ve ara bağlantılarını yansıtır; böyle bir modele yapısal denir. Model yalnızca nesnenin nasıl çalıştığını - örneğin, dış etkilere nasıl tepki verdiğini - yansıtırsa, o zaman işlevsel veya mecazi olarak kara kutu olarak adlandırılır. Modeller de mümkündür kombine tip. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “Açık ama önemli İlk aşama Matematiksel bir model oluşturmak veya seçmek, modellenen nesne hakkında mümkün olduğunca netleşmek ve gayri resmi tartışmalara dayalı olarak içerik modelini netleştirmektir. Bu aşamada zaman ve emek harcanmamalı, tüm çalışmanın başarısı büyük ölçüde buna bağlıdır. Bir matematik problemini çözmek için harcanan önemli çalışmanın, konunun bu yönüne yeterince dikkat edilmemesi nedeniyle etkisiz olduğu ve hatta boşa gittiği birçok kez oldu. Myshkis A.D., Matematiksel modeller teorisinin unsurları. - 3. baskı, Rev. - E.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
15. « Sistemin kavramsal modelinin açıklaması. Bir sistem modeli oluşturmanın bu alt aşamasında: a) M kavramsal modeli soyut terimler ve kavramlarla tanımlanır; b) modelin tanımı tipik matematiksel şemalar kullanılarak verilir; c) hipotezler ve varsayımlar nihayet kabul edilir; d) bir model oluştururken gerçek süreçleri yaklaştırmak için bir prosedür seçimi doğrulanır. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Sistem Modelleme: Proc. üniversiteler için - 3. baskı, gözden geçirilmiş. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D.,

Matematiksel bir model oluşturmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. gerçek nesneyi veya süreci dikkatlice analiz edin;
2. en önemli özelliklerini ve özelliklerini vurgulayın;
3. değişkenleri tanımlayın, yani değerleri nesnenin ana özelliklerini ve özelliklerini etkileyen parametreler;
4. mantıksal ve matematiksel ilişkiler (denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar) kullanarak bir nesnenin, işlemin veya sistemin temel özelliklerinin değişkenlerin değerine bağımlılığını tanımlar;
5. kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar kullanarak bir nesnenin, sürecin veya sistemin iç bağlantılarını vurgulayın;
6. dış ilişkileri belirler ve bunları kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar kullanarak tanımlar.

Matematiksel modelleme, bir nesneyi, süreci veya sistemi incelemeye ve matematiksel açıklamalarını derlemeye ek olarak şunları da içerir:

1. bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını modelleyen bir algoritmanın oluşturulması;
2. hesaplamalı ve doğal deneye dayalı olarak model ve nesne, süreç veya sistemin yeterliliğinin doğrulanması;
3. model ayarı;
4. modeli kullanarak.

İncelenen süreç ve sistemlerin matematiksel açıklaması şunlara bağlıdır:

1. gerçek bir sürecin veya sistemin doğasıdır ve fizik, kimya, mekanik, termodinamik, hidrodinamik, elektrik mühendisliği, plastisite teorisi, elastikiyet teorisi vb. kanunları temelinde derlenir.
2. gerçek süreç ve sistemlerin incelenmesi ve incelenmesinin gerekli güvenilirliği ve doğruluğu.

Matematiksel bir modelin inşası, genellikle, söz konusu nesne, süreç veya sistemin en basit, en kaba matematiksel modelinin inşası ve analizi ile başlar. Gelecekte, gerekirse model rafine edilir, nesneye yazışması daha eksiksiz hale getirilir.

Basit bir örnek verelim. Masanın yüzey alanını belirlemeniz gerekiyor. Genellikle bunun için uzunluğu ve genişliği ölçülür ve ardından ortaya çıkan sayılar çarpılır. Böyle bir temel prosedür aslında şu anlama gelir: gerçek nesne (masa yüzeyi) soyut bir matematiksel model - bir dikdörtgen ile değiştirilir. Masa yüzeyinin uzunluğunun ve genişliğinin ölçülmesi sonucu elde edilen boyutlar dikdörtgene atfedilir ve böyle bir dikdörtgenin alanı yaklaşık olarak tablonun istenen alanı olarak alınır. Ancak masa dikdörtgen modeli en basit, en kaba modeldir. Soruna daha ciddi bir yaklaşımla, tablo alanını belirlemek için dikdörtgen modeli kullanmadan önce bu modelin kontrol edilmesi gerekir. Kontroller şu şekilde yapılabilir: tablonun karşılıklı kenarlarının uzunluklarını ve köşegenlerinin uzunluklarını ölçün ve bunları birbirleriyle karşılaştırın. Gerekli doğruluk derecesi ile, karşılıklı kenarların uzunlukları ve köşegenlerin uzunlukları ikili olarak eşitse, o zaman tablonun yüzeyi gerçekten bir dikdörtgen olarak kabul edilebilir. Aksi takdirde, dikdörtgen model reddedilecek ve genel bir dörtgen model ile değiştirilecektir. Daha yüksek doğruluk gereksinimi ile, örneğin tablonun köşelerinin yuvarlatılmasını hesaba katmak için modeli daha da hassaslaştırmak gerekebilir.

Bunun yardımıyla basit bir örnek matematiksel modelin, araştırılan nesne, süreç veya nesne tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmediği gösterildi. sistem.

VEYA (yarın onaylanacak)

Mat çözmenin yolları. Modeller:

1, m.'nin doğa yasalarına göre inşası (analitik yöntem)

2. İstatistik yardımı ile biçimsel yol. İşleme ve ölçüm sonuçları (istatistiksel yaklaşım)

3. Bir eleman modeline dayalı bir sayacın yapımı (karmaşık sistemler)

1, Analitik - yeterli çalışma ile kullanın. Genel desen Izv. modeller.

2. deney. Bilgi yokluğunda

3. Taklit m - sst nesnesinin özelliklerini araştırır. Genel olarak.

Matematiksel bir model oluşturmaya bir örnek.

Matematiksel model gerçekliğin matematiksel bir temsilidir.

Matematiksel modelleme matematiksel modeller oluşturma ve çalışma sürecidir.

Matematiksel aygıtı kullanan tüm doğa bilimleri ve sosyal bilimler aslında matematiksel modelleme ile uğraşırlar: bir nesneyi onun matematiksel modeliyle değiştirirler ve sonra ikincisini incelerler. Matematiksel bir modelin gerçeklikle bağlantısı, bir hipotezler zinciri, idealleştirmeler ve basitleştirmeler yardımıyla gerçekleştirilir. Matematiksel yöntemlerin yardımıyla, kural olarak, anlamlı modelleme aşamasında inşa edilen ideal bir nesne tanımlanır.

Modellere neden ihtiyaç duyulur?

Çok sık, bir nesneyi incelerken zorluklar ortaya çıkar. Orijinalin kendisi bazen mevcut değildir veya kullanımı tavsiye edilmez veya orijinalin dahil edilmesi maliyetlidir. Bütün bu problemler simülasyon yardımı ile çözülebilir. Model, belirli bir anlamda incelenen nesnenin yerini alabilir.

En basit model örnekleri

§ Bir fotoğraf, bir kişinin modeli olarak adlandırılabilir. Bir insanı tanımak için fotoğrafını görmek yeterlidir.

§ Mimar, yeni yerleşim alanının düzenini oluşturmuştur. Elinin bir hareketi ile yüksek bir binayı bir parçadan diğerine taşıyabilir. Gerçekte, bu mümkün olmazdı.

Model türleri

Modeller ayrılabilir malzeme" ve ideal. yukarıdaki örnekler malzeme modelleridir. İdeal modeller genellikle ikonik bir şekle sahiptir. Aynı zamanda, gerçek kavramların yerini kağıda, bilgisayar belleğine vb. kolayca sabitlenebilen bazı işaretler alır.

Matematiksel modelleme

Matematiksel modelleme, işaret modelleme sınıfına aittir. Aynı zamanda, herhangi bir matematiksel nesneden modeller oluşturulabilir: sayılar, fonksiyonlar, denklemler, vb.

Matematiksel bir model oluşturma

§ Matematiksel bir model oluşturmanın birkaç aşaması vardır:

1. Görevi anlamak, bizim için en önemli nitelikleri, özellikleri, değerleri ve parametreleri vurgulamak.

2. Notasyonun tanıtılması.

3. Girilen değerler tarafından karşılanması gereken bir kısıtlama sistemi hazırlamak.

4. Arzu edilen optimal çözümün sağlaması gereken koşulların formüle edilmesi ve kaydedilmesi.

Modelleme süreci, modelin derlenmesiyle bitmez, sadece onunla başlar. Bir model derledikten sonra, cevabı bulmak için bir yöntem seçerler, sorunu çözerler. cevap bulunduktan sonra, gerçekle karşılaştırın. Ve cevabın tatmin edici olmaması mümkündür, bu durumda model değiştirilir veya hatta tamamen farklı bir model seçilir.

Matematiksel bir model örneği

Görev

İki mobilya fabrikasını bünyesinde barındıran üretim birliğinin makine parkurunu yenilemesi gerekiyor. Ayrıca, ilk mobilya fabrikasının üç makineyi ve ikinci yedi makineyi değiştirmesi gerekiyor. Siparişler iki takım tezgahı fabrikasına verilebilir. İlk fabrika en fazla 6 makine üretebilir ve ikinci fabrika en az üç makine varsa sipariş kabul eder. Siparişlerin nasıl verileceğini belirlemek gereklidir.