Bu derste nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. türev karmaşık fonksiyon ... Ders, dersin mantıklı bir devamıdır Türevini nasıl bulurum?üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleriyle pek ilgili değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içinde olun - materyal kolay değil, ancak yine de onu basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, neredeyse her zaman, türevleri bulmak için görevler verildiğinde.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlamak. Öncelikle kayda dikkat edelim. Burada iki işlevimiz var - ve dahası, mecazi anlamda işlev, işleve gömülüdür. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon ve işlev - bir iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Resmi olmayan "dış işlev", "iç" işlev ifadelerini yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, bir tamsayı ifademiz var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak mümkün olmayacak. İlk dört kuralı burada uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki bir sinüsü “parçalayamazsınız”:

Bu örnekte, zaten açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (yuvalama) ve bir harici fonksiyon olduğu sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunurken yapılması gereken, Hangi işlevin dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Ne zaman basit örnekler sinüsün altında bir polinomun iç içe olduğu açık görünüyor. Ama ya her şey açık değilse? Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel veya taslak üzerinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

Bir hesap makinesinde bir ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek:, bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, bu nedenle sinüs harici bir fonksiyon olacaktır:

bizden sonra Çözmek iç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygulamanın tam zamanıdır.

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevini nasıl bulurum? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakın ve buna dikkat edin. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Bunu not et dahili fonksiyon değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülün nihai tasarımda uygulanmasının sonucu şöyle görünür:

Genellikle bir ifadenin başına sabit bir faktör yerleştirilir:

Herhangi bir karışıklık varsa, çözümü yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi, şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, (zihinsel olarak veya bir taslakta) adresindeki ifadenin değerini hesaplamayı deneyin. İlk önce ne yapılmalı? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle, güç işlevi harici bir işlevdir:

Formüle göre, önce dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Tabloda gerekli formülü arıyoruz: Tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir... Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun bizim için değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye, iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dışsal olanın ve iç fonksiyonun nerede olduğunu tahmin edin, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşmaya uygun bir forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir işlevi türevlendirme kuralını uygularız:

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevlendirmek için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca parantez içindeki ifadeyi şuraya da getirebilirsiniz: ortak payda ve her şeyi bir kesir halinde yazın. Güzel, elbette, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olur).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir karar bir sapkınlık olarak komik görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türevini almak için kuralı kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlarız - eksiyi türevin işaretinin dışına taşırız ve kosinüsü paya yükseltiriz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanıyoruz:

Dahili fonksiyonun türevini bulun, kosinüsü sıfırlayın:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir ekimizin olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Test değerini kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışmak. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:

O zaman birin bu arksinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, 7'yi güce yükseltin:

Yani, bu örnekte üç farklı işlevler ve iki ek, en içteki fonksiyon ark sinüs iken en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

çözmeye başlıyoruz

Kurala göre, önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve türevi buluruz. üstel fonksiyon: Tek fark, "X" yerine karmaşık ifade, bu formülün geçerliliğini reddetmez. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Darbe altında, yine karmaşık bir fonksiyonumuz var! Ama zaten daha basit. İç fonksiyonun ark sinüs, dış fonksiyonun derece olduğunu doğrulamak kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralına göre, önce derecenin türevini almanız gerekir.

Türev ve hesaplama yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmadan matematikte fiziksel problemleri veya örnekleri çözmek kesinlikle imkansızdır. Türev en önemli kavramlardan biridir. matematiksel analiz... Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlam Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) belirli aralıklarla verilir (a, b) ... х ve х0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Bir argümanı değiştirme - değerleri arasındaki fark x-x0 ... Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerlerindeki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra eğilimli olduğu durumdaki artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde, şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Ve işte ne:

fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının tanjantına ve bu noktadaki fonksiyonun grafiğine tanjantına eşittir.

Fiziksel anlamda türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de, okul zamanlarından beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x = f(t) ve zaman T ... Bir süre boyunca ortalama hız:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinin dışına taşınabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplıyoruz ve sonra doğrudan ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarpıyoruz.

Dördüncü kural: iki fonksiyonun bölüm türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Size sıfırdan mankenler için türevlerden bahsetmeye çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ama bu formülü kullanarak hesaplamaya çalışın, diyelim ki bir fonksiyonun türevi F(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Günah x... Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç ​​olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Ayrıca, onları ezberlemek hiç de zor değil - bu yüzden temeldirler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

Temel işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak, sabitler türevin işaretinin dışına taşınabilir. Örneğin:

(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir - ve çok daha fazlası. Böylece, artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplamın ve farkın türevi

fonksiyonlara izin ver F(x) ve G(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle fark F − G toplamı olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(x) = x 2 + günah x; G(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev F(x) Bu nedenle, iki temel işlevin toplamıdır:

F ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2) '+ (günah x)’ = 2x+ çünkü x;

İşlev için benzer şekilde akıl yürütürüz G(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
F ’(x) = 2x+ çünkü x;
G ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Bir işin türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok kişi, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"> türevlerin çarpımına eşittir. Ama incir seni! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman gözden kaçar. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = x 3 çünkü x; G(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .

İşlev F(x) iki temel fonksiyonun ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

F ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3) çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (- günah x) = x 2 (3cos x − x Günah x)

İşlev G(x) ilk faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7)' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .

Cevap:
F ’(x) = x 2 (3cos x − x Günah x);
G ’(x) = x(x+ 9) e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bunu yapmanız gerekmez, ancak çoğu türev kendi başına değil, fonksiyonu araştırmak için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin netleştirileceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa F(x) ve G(x), ve G(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(x) = F(x)/G(x). Böyle bir fonksiyon için bir türev de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, ha? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Bu nasıl! Bu en zor formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayırmak, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. F(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x hadi diyelim x 2 + l x... ortaya çıkacak F(x) = günah ( x 2 + l x) Karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kurallara göre onu bulmak işe yaramaz.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, değişken değiştirme ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

F ’(x) = F ’(T) · T', Eğer x ile değiştirilir T(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, her adımın ayrıntılı bir açıklaması ile belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = e 2x + 3 ; G(x) = günah ( x 2 + l x)

İşlevde ise F(x) ifadesi yerine 2 x+ 3 kolay olacak x o zaman ortaya çıkacak temel fonksiyon F(x) = e x... Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T... Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirmeyi gerçekleştiriyoruz: T = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyonla ilgilenelim G(x). Açıkçası, değiştirmeniz gerekir x 2 + l x = T... Sahibiz:

G ’(x) = G ’(T) · T'= (Günah T)’ · T'= Çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = x 2 + l x... Sonra:

G ’(x) = çünkü ( x 2 + l x) · ( x 2 + l x) '= Cos ( x 2 + l x) (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de görebileceğiniz gibi, tüm problem türetilmiş toplamı hesaplamaya indirgendi.

Cevap:
F ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
G ’(x) = (2x + 1/x) Çünkü ( x 2 + l x).

Derslerimde çok sık "türev" terimi yerine "stroke" kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamın asal değeri, vuruşların toplamına eşittir. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, üslü sayının rasyonel üslü türevine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolün ne olduğunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5. Ama ya kökünde süslü bir şey varsa? Yine, karmaşık bir işlev elde edersiniz - bu tür yapılar vermeyi sever kontrol işleri ve sınavlar.

Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir değiştirme yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = T... Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T'= 0,5 T−0.5 T ’.

Ters değiştirme yapıyoruz: T = x 2 + 8x- 7. Bizde:

F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim:

Fonksiyonlar karmaşık tür her zaman karmaşık bir işlevin tanımına uymaz. y = sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 şeklinde bir fonksiyon varsa, y = sin 2 x'in aksine karmaşık olarak kabul edilemez.

Bu makale, karmaşık bir işlev kavramını ve tanımını gösterecektir. Sonuçtaki çözüm örnekleriyle türevi bulmak için formüllerle çalışalım. Türev tablosu ve türev alma kuralının kullanılması türev bulma süresini önemli ölçüde azaltır.

Temel tanımlar

Karmaşık bir işlev, argümanı da bir işlev olan bir işlevdir.

Bu şekilde gösterilir: f (g (x)). g (x) fonksiyonunun f (g (x)) için bir argüman olarak kabul edildiğini gördük.

tanım 2

Bir f fonksiyonu varsa ve bir kotanjant fonksiyon ise, g (x) = ln x bir doğal logaritma fonksiyonudur. Karmaşık f (g (x)) fonksiyonunun arctan (lnx) olarak yazılacağını anlıyoruz. Veya g (x) = x 2 + 2 x - 3'ün bir tamsayı olarak kabul edildiği, 4. kuvvete yükseltilmiş bir fonksiyon olan f fonksiyonu rasyonel fonksiyon, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4'ü elde ederiz.

Açıkçası g (x) yanıltıcı olabilir. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 örneğinden, g değerinin kesirli bir küp kökü olduğunu görebilirsiniz. Bu ifadenin y = f (f 1 (f 2 (x))) şeklinde gösterilmesine izin verilir. Buradan f'nin bir sinüs fonksiyonu ve f 1'in altında bulunan bir fonksiyon olduğunu görüyoruz. kare kök, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 bir kesirli rasyonel fonksiyondur.

tanım 3

Yuvalama derecesi herhangi biri tarafından belirlenir. doğal sayı ve y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) olarak yazılır.

tanım 4

Fonksiyon bileşimi kavramı, problemin durumuna göre iç içe geçmiş fonksiyonların sayısını ifade eder. Çözüm için, formun karmaşık bir fonksiyonunun türevini bulma formülü

(f (g (x))) "= f" (g (x)) g "(x)

Örnekleri

y = (2 x + 1) 2 biçimindeki karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm

Koşulla, f'nin bir kare alma işlevi olduğunu ve g (x) = 2 x + 1'in doğrusal bir işlev olarak kabul edildiğini görebilirsiniz.

Karmaşık bir fonksiyon için türev formülünü uygulayalım ve şunu yazalım:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 ​​​​x + 1); g "(x) = (2 x + 1)" = (2 x) "+ 1" = 2 x "+ 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f " (g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Fonksiyonun basitleştirilmiş orijinal formuna sahip bir türev bulmak gerekir. Alırız:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Bu yüzden bizde var

y "= (4 x 2 + 4 x + 1)" = (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "= 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 = = 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Sonuçlar eşleşti.

Bu tür problemleri çözerken, f ve g (x) formunun işlevinin nerede bulunacağını anlamak önemlidir.

Örnek 2

y = sin 2 x ve y = sin x 2 biçimindeki karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmalısınız.

Çözüm

Fonksiyonun ilk gösterimi, f'nin bir kare alma fonksiyonu ve g (x)'in bir sinüs fonksiyonu olduğunu söyler. O zaman bunu alırız

y "= (günah 2 x)" = 2 günah 2 - 1 x (günah x) "= 2 günah x cos x

İkinci giriş, f'nin bir sinüs fonksiyonu olduğunu ve g (x) = x 2'nin gösterildiğini gösterir. güç fonksiyonu... Karmaşık bir fonksiyonun çarpımı şu şekilde yazılabilir:

y "= (sin x 2)" = cos (x 2) (x 2) "= cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) türevinin formülü y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 ( ... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x))) )) ·. ... ... · F n "(x)

Örnek 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Bu örnek, yazma ve yerleştirme işlevlerinin karmaşıklığını gösterir. O zaman y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ifade eder, burada f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) bir sinüs fonksiyonu, bir fonksiyondur 3 derecede yükseltme, logaritma ve taban e ile fonksiyon, arktanjant fonksiyon ve lineer.

Karmaşık bir fonksiyonun tanımı için formülden şunu elde ederiz:

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Ne bulacağımızı alıyoruz

1. f "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) türev tablosuna göre sinüs türevi olarak, sonra f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ) )))) ) = cos (ln 3 arctan (2 x))).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) güç fonksiyonunun türevi olarak, o zaman f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arktan (2 x) = 3 ln 2 arktan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logaritmik türevi olarak, sonra f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) arktanjantın türevi olarak, o zaman f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) = 2 x türevini bulurken, üssü 1'e eşit olan bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kullanarak türevin işaretinin dışında 2'yi çıkarın, ardından f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x "= 2 1 x 1 - 1 = 2.

Ara sonuçları birleştiririz ve şunu elde ederiz:

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arktan (2 x)) 3 ln 2 arktan (2 x) 1 arktan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arktan (2 x)) ln 2 arktan (2 x) arktan (2 x) (1 + 4 x 2)

Bu tür işlevlerin analizi, iç içe geçmiş bebekleri andırıyor. Türevler tablosu kullanılarak türevlendirme kuralları her zaman açıkça uygulanamaz. Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için genellikle bir formül kullanmak gerekir.

Karmaşık bir görünüm ile karmaşık bir işlev arasında bazı farklılıklar vardır. Bunu ayırt etmek için bariz bir yetenekle, türevleri bulmak özellikle kolay olacaktır.

Örnek 4

Benzer bir örnek vermeyi düşünmek gerekir. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 şeklinde bir fonksiyon varsa, o zaman karmaşık bir form g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 olarak düşünülebilir. Açıkçası, karmaşık bir türev için bir formül uygulamak gerekir:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "= = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tgx + 3; g "(x) = (tgx)" = 1 çünkü 2 x ⇒ y "= (f (g (x)))" = f "(g (x)) g" (x) = (2 tgx + 3 ) 1 çünkü 2 x = 2 tgx + 3 çünkü 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 biçimindeki bir fonksiyon, t g x 2, 3 t g x ve 1 toplamına sahip olduğu için zor kabul edilmez. Bununla birlikte, t g x 2 karmaşık bir fonksiyon olarak kabul edilir, o zaman tanjantın bir fonksiyonu olan g (x) = x 2 ve f biçiminde bir güç fonksiyonu elde ederiz. Bunu yapmak için, miktara göre ayırt etmek gerekir. anladık

y "= (tgx 2 + 3 tgx + 1)" = (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "= = (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 = (tgx 2)" + 3 çünkü 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmaya devam ediyoruz (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (tan (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tgx 2) "= f" (g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) "+ 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Karmaşık işlevler, karmaşık işlevlere dahil edilebilir ve karmaşık işlevlerin kendileri karmaşık işlevler olabilir.

Örnek 5

Örneğin, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) biçimindeki karmaşık bir işlevi ele alalım.

Bu fonksiyon y = f (g (x)) şeklinde temsil edilebilir, burada f değeri 3 tabanına göre logaritmanın bir fonksiyonudur ve g (x), h biçimindeki iki fonksiyonun toplamı olarak kabul edilir ( x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 ve k (x) = ln 2 x (x 2 + 1). Açıkçası, y = f (h (x) + k (x))).

h (x) fonksiyonunu düşünün. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7'nin m (x) = e x 2 + 3 3'e oranıdır.

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x), n (x) = x 2 + 7 ve p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), burada p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))), sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyondur ve p 1 bir küp fonksiyonudur , p 2 bir kosinüs fonksiyonu olarak, p 3 (x) = 2 x + 1 - doğrusal bir fonksiyon.

m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x), q (x) = ex 2 ve r (x) = 3 3 olmak üzere iki fonksiyonun toplamıdır, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) karmaşık bir fonksiyondur, q 1 üstel fonksiyona sahip bir fonksiyondur, q 2 (x) = x 2 bir kuvvet fonksiyonudur.

Bu, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) olduğunu gösterir. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Rasyonel tamsayı t (x) = x 2 + 1 ile k (x) = ln 2 x s 2 (x)) biçiminde bir ifadeye geçiş, burada s 1 kare alma işlevidir ve s 2 (x) = ln x, e tabanı ile logaritmiktir.

Buradan, ifadenin k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) şeklini aldığı sonucu çıkar.

O zaman bunu alırız

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Fonksiyon yapıları ile, bir ifadeyi farklılaştırırken basitleştirmek için nasıl ve hangi formüllerin kullanılması gerektiği netleşti. Kendinizi bu tür problemlere ve çözüm kavramına alıştırmak için, fonksiyonun türevini bulma noktasına, yani türevini bulma noktasına dönmelisiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çeker), o zaman hemen hemen her şey diferansiyel hesapçocukça bir şaka gibi gelecek.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin "X"in deneysel değerini alıyoruz ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifadede" değiştirmeye çalışıyoruz.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor:

1) Karekökün türevini alın.

2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

6) Ve son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Kulağa çok zor gelebilir, ancak bu henüz en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek, kendin yap çözümü içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uygulayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki fonksiyonun çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralın uygulanması ikinci kez kaldı parantez için:

Yine de saptırılabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gitmenin birkaç yolu var:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür?

Payın ifadesini ortak paydaya getirelim ve üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümleri durumunda hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.