Sitenin bölümleri
Editörün Seçimi:
- Nadezhda Mandelstam'ın kişisel hayatı
- Shel Silverstein: Cömert ağaç Masal cömert ağaç ihtiyacınız olanı yazın
- "Anna Ahmatova. "Requiem. Requiem (Akhmatova) Şiir Ağıt Son Sözü 2 bölüm
- Çeviri B şiirinden bir alıntı
- İki şair - iki kadın - iki trajedi
- Firavun'un Yardımıyla İlgili Süleyman'ın Mahkemeleri
- "Her zaman kaderin bir oyun olduğunu söyledim..." Ve
- Teolog nikolai evgrafovich pestov arması Ortodoks yazar pestov değil
- - Derecelendirme düğmeleri "Yandex
- Slav alfabesinin yaratıcıları: Cyril ve Methodius
reklam
Çok karmaşık bir fonksiyonun türevi. Karmaşık işlev. Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Üstel fonksiyonun türevi |
Karmaşık türevler. Logaritmik türev. |
Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir çarpan ortaya çıktı.
Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:
Yanıtlar:
Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha basit bir biçimde yazılamaz. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakıyoruz.
Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilgili türev alma kuralını uygularız:
Bu örnekte, iki fonksiyonun çarpımı:
Logaritmik bir fonksiyonun türevi
İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:
Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmanın keyfi birini bulmak için, örneğin:
Bu logaritmayı tabana getirmeniz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:
Ancak şimdi bunun yerine şunu yazacağız:
Payda sadece bir sabittir (sabit sayı, değişken yok). Türev çok basittir:
Üstel türevler ve logaritmik fonksiyonlar sınavda neredeyse hiç oluşmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir arktanjant değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor görünüyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey geçecek), ancak matematik açısından "zor" kelimesi "zor" anlamına gelmez.
Küçük bir taşıma bandı düşünün: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bir tür hareket yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için, ters adımları ters sırayla yapmanız gerekir.
Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı verildi (çikolata çubuğu), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra sahip olduğum şeyin karesini alıyorsunuz (bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucuyla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.
Diğer bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .
Örneğimiz için,
Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.
İkinci örnek: (aynı). ...
En son yaptığımız eylem çağrılacak "Harici" işlev, ve ilk yapılan işlem - sırasıyla "Dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).
Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:
Yanıtlar:İç ve dış işlevleri ayırmak, değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin, bir işlevde
- Yapılacak ilk işlem nedir? İlk önce sinüsü hesaplayacağız ve ancak o zaman onu bir küp haline getireceğiz. Bu, dahili bir işlev olduğu, ancak harici bir işlev olduğu anlamına gelir.
Ve orijinal işlev onların bileşimidir:. - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: . - Dahili:; harici:.
Muayene: .
değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.
Peki, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - bir türev arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak, şöyle görünür:
Başka bir örnek:
Öyleyse, nihayet resmi bir kural formüle edelim:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:
Her şey basit görünüyor, değil mi?
Örneklerle kontrol edelim:
Çözümler:
1) Dahili:;
Harici:;
2) Dahili:;
(Şimdilik azaltmaya çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılamaz, hatırladınız mı?)
3) Dahili:;
Harici:;
Bunun üç seviyeli bir karmaşık işlev olduğu hemen açıktır: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlevdir ve ondan kökü de çıkarırız, yani üçüncü eylemi gerçekleştiririz (bir çikolata koyarız). sarın ve kurdeleli bir evrak çantasına koyun). Ancak korkmak için bir neden yok: her neyse, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla "açacağız": sondan.
Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra tüm bunları çarpıyoruz.
Bu gibi durumlarda, adımları numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla yapacağız? Bir örnek verelim:
Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar “harici” olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:
Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Bir hareket tarzı tanımlayalım.
1. Radikal bir ifade. ...
2. Kök. ...
3. Sinüs. ...
4. Kare. ...
5. Her şeyi bir araya getirmek:
TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA
Bir fonksiyonun türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:
Temel türevler:
Farklılaşma kuralları:
Sabit türev işaretinin dışına taşınır:
Tutarın türevi:
İşin türevi:
Bölümün türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:
- "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
- "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
- Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.
Fonksiyonlar karmaşık tür her zaman karmaşık bir işlevin tanımına uymaz. y = sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 şeklinde bir fonksiyon varsa, y = sin 2 x'in aksine karmaşık olarak kabul edilemez.
Bu makale, karmaşık bir işlev kavramını ve tanımını gösterecektir. Sonuçtaki çözüm örnekleriyle türevi bulmak için formüllerle çalışalım. Türev tablosu ve türev alma kuralının kullanılması türev bulma süresini önemli ölçüde azaltır.
Temel tanımlar
tanım 1Karmaşık bir işlev, argümanı da bir işlev olan bir işlevdir.
Bu şekilde gösterilir: f (g (x)). g (x) fonksiyonunun f (g (x)) için bir argüman olarak kabul edildiğini gördük.
tanım 2
Bir f fonksiyonu varsa ve bir kotanjant fonksiyon ise, g (x) = ln x bir doğal logaritma fonksiyonudur. Karmaşık f (g (x)) fonksiyonunun arctan (lnx) olarak yazılacağını anlıyoruz. Veya g (x) = x 2 + 2 x - 3'ün bir tamsayı olarak kabul edildiği, 4. kuvvete yükseltilmiş bir fonksiyon olan f fonksiyonu rasyonel fonksiyon, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4'ü elde ederiz.
Açıkçası g (x) yanıltıcı olabilir. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 örneğinden, g değerinin kesirli bir küp kökü olduğunu görebilirsiniz. Bu ifadenin y = f (f 1 (f 2 (x))) şeklinde gösterilmesine izin verilir. Buradan f'nin bir sinüs fonksiyonu ve f 1'in altında bulunan bir fonksiyon olduğunu görüyoruz. kare kök, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 bir kesirli rasyonel fonksiyondur.
tanım 3
Yuvalama derecesi herhangi biri tarafından belirlenir. doğal sayı ve y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) olarak yazılır.
tanım 4
Fonksiyon bileşimi kavramı, problemin durumuna göre iç içe geçmiş fonksiyonların sayısını ifade eder. Çözüm için, formun karmaşık bir fonksiyonunun türevini bulma formülü
(f (g (x))) "= f" (g (x)) g "(x)
Örnekleri
örnek 1y = (2 x + 1) 2 biçimindeki karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.
Çözüm
Koşulla, f'nin bir kare alma işlevi olduğunu ve g (x) = 2 x + 1'in doğrusal bir işlev olarak kabul edildiğini görebilirsiniz.
Karmaşık bir fonksiyon için türev formülünü uygulayalım ve şunu yazalım:
f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1); g "(x) = (2 x + 1)" = (2 x) "+ 1" = 2 x "+ 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f " (g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
Fonksiyonun basitleştirilmiş orijinal formuna sahip bir türev bulmak gerekir. Alırız:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
Bu yüzden bizde var
y "= (4 x 2 + 4 x + 1)" = (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "= 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 = = 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4
Sonuçlar eşleşti.
Bu tür problemleri çözerken, f ve g (x) formunun işlevinin nerede bulunacağını anlamak önemlidir.
Örnek 2
y = sin 2 x ve y = sin x 2 biçimindeki karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmalısınız.
Çözüm
Fonksiyonun ilk gösterimi, f'nin bir kare alma fonksiyonu ve g (x)'in bir sinüs fonksiyonu olduğunu söyler. O zaman bunu alırız
y "= (günah 2 x)" = 2 günah 2 - 1 x (günah x) "= 2 günah x cos x
İkinci giriş, f'nin bir sinüs fonksiyonu olduğunu ve g (x) = x 2'nin gösterildiğini gösterir. güç fonksiyonu... Karmaşık bir fonksiyonun çarpımı şu şekilde yazılabilir:
y "= (sin x 2)" = cos (x 2) (x 2) "= cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) türevinin formülü y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 ( ... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x))) )) ·. ... ... · F n "(x)
Örnek 3
y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) fonksiyonunun türevini bulun.
Çözüm
Bu örnek, yazma ve yerleştirme işlevlerinin karmaşıklığını gösterir. O zaman y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ifade eder, burada f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) bir sinüs fonksiyonu, bir fonksiyondur 3 derecede yükseltme, logaritma ve taban e ile fonksiyon, arktanjant fonksiyon ve lineer.
Karmaşık bir fonksiyonun tanımı için formülden şunu elde ederiz:
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
Ne bulacağımızı alıyoruz
- f "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) türev tablosuna göre sinüs türevi olarak, sonra f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ) )))) ) = cos (ln 3 arctan (2 x))).
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) güç fonksiyonunun türevi olarak, o zaman f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arktan (2 x) = 3 ln 2 arktan (2 x).
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logaritmik türevi olarak, sonra f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
- f 3 "(f 4 (x)) arktanjantın türevi olarak, o zaman f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- F 4 (x) = 2 x türevini bulurken, üssü 1'e eşit olan bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kullanarak türevin işaretinin dışında 2'yi çıkarın, ardından f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x "= 2 1 x 1 - 1 = 2.
Ara sonuçları birleştiririz ve şunu elde ederiz:
y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arktan (2 x)) 3 ln 2 arktan (2 x) 1 arktan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arktan (2 x)) ln 2 arktan (2 x) arktan (2 x) (1 + 4 x 2)
Bu tür işlevlerin analizi, iç içe geçmiş bebekleri andırıyor. Türevler tablosu kullanılarak türevlendirme kuralları her zaman açıkça uygulanamaz. Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için genellikle bir formül kullanmak gerekir.
Karmaşık bir görünüm ile karmaşık bir işlev arasında bazı farklılıklar vardır. Bunu ayırt etmek için bariz bir yetenekle, türevleri bulmak özellikle kolay olacaktır.
Örnek 4
Benzer bir örnek vermeyi düşünmek gerekir. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 biçiminde bir fonksiyon varsa, o zaman karmaşık bir form g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 olarak düşünülebilir. Açıkçası, karmaşık bir türev için bir formül uygulamak gerekir:
f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "= = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tgx + 3; g "(x) = (tgx)" = 1 çünkü 2 x ⇒ y "= (f (g (x)))" = f "(g (x)) g" (x) = (2 tgx + 3 ) 1 çünkü 2 x = 2 tgx + 3 çünkü 2 x
y = t g x 2 + 3 t g x + 1 biçimindeki bir fonksiyon, t g x 2, 3 t g x ve 1 toplamına sahip olduğu için zor kabul edilmez. Bununla birlikte, t g x 2 karmaşık bir fonksiyon olarak kabul edilir, o zaman tanjantın bir fonksiyonu olan g (x) = x 2 ve f biçiminde bir güç fonksiyonu elde ederiz. Bunu yapmak için, miktara göre ayırt etmek gerekir. anladık
y "= (tgx 2 + 3 tgx + 1)" = (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "= = (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 = (tgx 2)" + 3 çünkü 2 x
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmaya devam ediyoruz (t g x 2) ":
f "(g (x)) = (tan (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tgx 2) "= f" (g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)
y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) "+ 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
Karmaşık işlevler, karmaşık işlevlere dahil edilebilir ve karmaşık işlevlerin kendileri karmaşık işlevler olabilir.
Örnek 5
Örneğin, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) biçimindeki karmaşık bir işlevi ele alalım.
Bu fonksiyon y = f (g (x)) şeklinde temsil edilebilir, burada f değeri 3 tabanına göre logaritmanın bir fonksiyonudur ve g (x), h biçimindeki iki fonksiyonun toplamı olarak kabul edilir ( x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 ve k (x) = ln 2 x (x 2 + 1). Açıkçası, y = f (h (x) + k (x))).
h (x) fonksiyonunu düşünün. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7'nin m (x) = e x 2 + 3 3'e oranıdır.
l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x), n (x) = x 2 + 7 ve p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), burada p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))), sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyondur ve p 1 bir küp fonksiyonudur , p 2 bir kosinüs fonksiyonu olarak, p 3 (x) = 2 x + 1 - doğrusal bir fonksiyon.
m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x), q (x) = ex 2 ve r (x) = 3 3 olmak üzere iki fonksiyonun toplamıdır, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) karmaşık bir fonksiyondur, q 1 üstel fonksiyona sahip bir fonksiyondur, q 2 (x) = x 2 bir kuvvet fonksiyonudur.
Bu, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) olduğunu gösterir. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
Rasyonel tamsayı t (x) = x 2 + 1 ile k (x) = ln 2 x s 2 (x)) biçiminde bir ifadeye geçiş, burada s 1 kare alma işlevidir ve s 2 (x) = ln x, e tabanı ile logaritmiktir.
Buradan, ifadenin k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) şeklini aldığı sonucu çıkar.
O zaman bunu alırız
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
Fonksiyon yapıları ile, bir ifadeyi farklılaştırırken basitleştirmek için nasıl ve hangi formüllerin kullanılması gerektiği netleşti. Kendinizi bu tür problemlere ve çözüm kavramına alıştırmak için, fonksiyonun türevini bulma noktasına, yani türevini bulma noktasına dönmelisiniz.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın
Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:
Her şey açık görünüyor. Ama bu formülü kullanarak hesaplamaya çalışın, diyelim ki bir fonksiyonun türevi F(x) = x 2 + (2x+ 3) e x Günah x... Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.
Başlangıç olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.
Temel fonksiyonların türevleri
Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Ayrıca, onları ezberlemek hiç de zor değil - bu yüzden temeldirler.
Böylece, temel fonksiyonların türevleri:
İsim | İşlev | Türev |
Devamlı | F(x) = C, C ∈ r | 0 (evet, sıfır!) |
rasyonel not | F(x) = x n | n · x n − 1 |
Sinüs | F(x) = günah x | çünkü x |
Kosinüs | F(x) = çünkü x | - günah x(eksi sinüs) |
Teğet | F(x) = tg x | 1 / çünkü 2 x |
Kotanjant | F(x) = ctg x | - 1 / günah 2 x |
Doğal logaritma | F(x) = ln x | 1/x |
keyfi logaritma | F(x) = günlük a x | 1/(x ln a) |
üstel fonksiyon | F(x) = e x | e x(hiçbirşey değişmedi) |
Temel işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:
(C · F)’ = C · F ’.
Genel olarak, sabitler türevin işaretinin dışına taşınabilir. Örneğin:
(2x 3) '= 2 · ( x 3) '= 2 3 x 2 = 6x 2 .
Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir - ve çok daha fazlası. Böylece, artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.
Toplamın ve farkın türevi
fonksiyonlara izin ver F(x) ve G(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:
- (F + G)’ = F ’ + G ’
- (F − G)’ = F ’ − G ’
Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.
Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle fark F − G toplamı olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.
F(x) = x 2 + günah x; G(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
İşlev F(x) İki temel fonksiyonun toplamıdır, bu nedenle:
F ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2) '+ (günah x)’ = 2x+ çünkü x;
İşlev için benzer şekilde akıl yürütürüz G(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):
G ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Cevap:
F ’(x) = 2x+ çünkü x;
G ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Bir işin türevi
Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok kişi, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"> türevlerin çarpımına eşittir. Ama incir seni! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Formül basittir, ancak çoğu zaman gözden kaçar. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = x 3 çünkü x; G(x) = (x 2 + 7x- 7) e x .
İşlev F(x) iki temel fonksiyonun ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:
F ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3) çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (- günah x) = x 2 (3cos x − x Günah x)
İşlev G(x) ilk faktör biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:
G ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) e x)’ = (x 2 + 7x- 7)' e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) e x + (x 2 + 7x- 7) e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .
Cevap:
F ’(x) = x 2 (3cos x − x Günah x);
G ’(x) = x(x+ 9) e
x
.
Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bunu yapmanız gerekmez, ancak çoğu türev kendi başına değil, fonksiyonu araştırmak için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin netleştirileceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.
iki fonksiyon varsa F(x) ve G(x), ve G(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(x) = F(x)/G(x). Böyle bir fonksiyon için bir türev de bulabilirsiniz:
Zayıf değil, ha? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Bu nasıl! Bu en çok biri karmaşık formüller- şişe olmadan anlayamazsın. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:
Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonlar içerir, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:
Geleneğe göre, payı çarpanlara ayırmak, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:
Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. F(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x hadi diyelim x 2 + l x... ortaya çıkacak F(x) = günah ( x 2 + l x) Karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kurallara göre onu bulmak işe yaramaz.
Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, değişken değiştirme ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:
F ’(x) = F ’(T) · T', Eğer x ile değiştirilir T(x).
Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, her adımın ayrıntılı bir açıklaması ile belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir.
Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(x) = e 2x + 3 ; G(x) = günah ( x 2 + l x)
İşlevde ise F(x) ifadesi yerine 2 x+ 3 kolay olacak x o zaman ortaya çıkacak temel fonksiyon F(x) = e x... Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = T, F(x) = F(T) = e T... Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:
F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’
Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirmeyi gerçekleştiriyoruz: T = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:
F ’(x) = e T · T ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Şimdi fonksiyonla ilgilenelim G(x). Açıkçası, değiştirmeniz gerekir x 2 + l x = T... Sahibiz:
G ’(x) = G ’(T) · T'= (Günah T)’ · T'= Çünkü T · T ’
Ters değiştirme: T = x 2 + l x... Sonra:
G ’(x) = çünkü ( x 2 + l x) · ( x 2 + l x) '= Cos ( x 2 + l x) (2 x + 1/x).
Bu kadar! Son ifadeden de görebileceğiniz gibi, tüm problem türetilmiş toplamı hesaplamaya indirgendi.
Cevap:
F ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
G ’(x) = (2x + 1/x) Çünkü ( x 2 + l x).
Derslerimde çok sık "türev" terimi yerine "stroke" kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamın asal değeri, vuruşların toplamına eşittir. Bu daha net mi? Tamam bu harika.
Böylece, türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, üslü sayının rasyonel üslü türevine dönelim:
(x n)’ = n · x n − 1
Rolün ne olduğunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5. Ama ya kökünde süslü bir şey varsa? Yine, bu karmaşık bir işlev olacak - bu tür yapılar pes etmeyi sever. kontrol işleri ve sınavlar.
Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:
İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:
F(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Şimdi bir değiştirme yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = T... Türevi aşağıdaki formülle buluruz:
F ’(x) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T'= 0,5 T−0.5 T ’.
Ters değiştirme yapıyoruz: T = x 2 + 8x- 7. Bizde:
F ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) −0.5 x 2 + 8x- 7) '= 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Son olarak, köklere geri dönelim:
Okumak: |
---|
Popüler:
Yeni
- Mythi Ulusal Nükleer Araştırma Enstitüsü
- Çevrimiçi faiz hesaplayıcı
- Çevrimiçi faiz hesaplayıcı
- Pazar Okulu Mezuniyet (Toosh) Pazar Okulu Mezuniyet Belgesi
- Kutsal doktor-şehit Eugene Botkin
- Tutkulu Evgeny Botkin
- Kaygı, korku ve endişeden nasıl kurtulurum
- Erkek psikolojisinde "Napolyon kompleksi" Napolyon sendromu nedir
- Evgeny botkin
- Kadın sesi: sınıflandırma, en düşük ve en yüksek kadın sesi