Transcript

1 Cauchy-Riemann koşulları.) w zi e fonksiyonu için Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. z noktasında türevi olan bir fonksiyona bu noktada türevlenebilir fonksiyon denir. Cauchy - Riemann (d'Alembert - Euler, Euler - d'Alembert) koşulları: wfzu, iv, sonra fz fonksiyonunun her türevlenebilirlik noktasında zi eşitlikleri geçerliyse, uvuv Bu fonksiyonu cebirsel formda yazıyoruz, zi ayarını yapıyoruz: zi ii w: u, e cos v, e sin fonksiyonunun gerçek u ve sanal v kısımlarını ayıralım. Kısmi türevleri hesaplayın: u cos ee cos ve sin e cos ue cos e sin ve sin e sin - Cauchy-Riemann koşulları sağlandı. Edebiyat :) Gusak A.A. "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları ve işlem hesabı", 00, sayfa 59 (örnek 9), sayfa 0 (örnek);) Yazılı D.T. "Yüksek matematik üzerine ders notları", 006, s. 530, s. (Euler-D'Alembert koşulları, fonksiyonun analitikliği) w z 4iz fonksiyonu için Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Bu işlevi cebirsel biçimde yazıyoruz, z i ayarını yapıyoruz: w i 4i i i 4 i i

2 w fonksiyonunun gerçel u ve sanal v kısımlarını seçelim: u, 4 v, 4 Kısmi türevleri hesaplayın: u 4 v 4 u 4 4 v Cauchy-Riemann koşulları sağlanır. 3) sin iz işlevi için Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. ifade edelim trigonometrik fonksiyonüstel yoluyla sin z: iz ee sin zi ve zi: ii ii ii ii iieeeeeee sin iz iiieeeeeee cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cos sinie eeiee u'nun gerçek ve hayali kısımları iv: u, sin ee, cos vee

3 Kısmi türevleri hesaplayın: u sin sin e e e v cos e e e e sin e e ve u sin cos e e e cos cos e e v Gördüğünüz gibi, Cauchy-Riemann koşulları u v u v siniz karşılanmıştır. fonksiyon 4) için Cauchy-Riemann koşullarını kullanarak w f z fonksiyonunun analitik olup olmadığını kontrol edin: fonksiyon wsin z3 z. w f z, hem z noktasında hem de bazı komşularında türevlenebilirse, z noktasında analitik olarak adlandırılır. Bazı D bölgesinin her noktasında türevlenebilen bir w f z fonksiyonuna bu alanda analitik fonksiyon denir. Cauchy - Riemann (D'Alembert - Euler, Euler - D'Alembert) koşulları: Eğer z i w f z u, iv ise, o zaman f z fonksiyonunun her türevlenebilirlik noktasında u v u v eşitlikleri sağlanır. Bu işlevi cebirsel biçimde yazıyoruz, ayar z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i e e 3i3 i i e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e i3 cossin

4 cos eeiee sin 3i3 i cos ieeee sin 3i3 ee sin iee cos 3i3 ee sin 3i ee cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Dönüşümlerde kullanılan formüller: iz ee sin zi, zc ee sh, R ee ch, R Select real ve sanal kısımlar wzu, iv, u, chsin 3 v, shcos3: Kısmi türevleri hesaplayın: u ch sin 3 cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin So, Cauchy-Riemann koşulları uvuv , uygulanmış; bu nedenle, sin w f z z3 z işlevi analitiktir. 4

5 5) Fonksiyonun analitikliğini kanıtlayın ve türevini bulun: zzewe Bu fonksiyonu cebirsel formda yazıyoruz, zi ayarı: iieewe cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos eeiee sin eeee cos i sin ch cos ish sin Reel ve sanal kısımları ayıralım wzu, iv, u, chcos v, shsin Kısmi türevleri hesaplayın: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy-Riemann koşulları uvuv, memnun; bu nedenle, w f z e z e z işlevi analitiktir. Herhangi bir analitik fonksiyon fzu, iv için, uu ve vv fonksiyonlarının kısmi türevleri: türev fuvvuuuvvfziiii Fonksiyonun türevini u fonksiyonlarının türevlerini hesaplarız ve v,: z, fz cinsinden ifade edilir. wzzzeeuvwzi sh cos ich sin z fonksiyonunun türevinin bölümler cinsinden ifadesi 5

6 veya doğrudan: z z e z z z z w e e z e e e e ben i e e e e e e e cos isin e cosisine cos isin e cos isin cos sin e e e e e e e cosie s, wı, wı e cosine e, w, Analitik olup olmayacağını kontrol edin, evet ise, z0 6 noktasındaki türevi bulun. Bu sayıda, açık biçimde gerçek u'yu ve sanal kısmı, ep ep ep ep e cos i sin e cos ie sin v'yi seçin. : iw iz iiiiee - cebirsel gösterimde karmaşık bir sayı elde edilir. Re wu, e cos Im wv, es sin Herhangi bir analitik fonksiyon için fzu, iv, uu ve vv, fonksiyonlarının kısmi türevleri: fuvvuuuvvfziiiiz türevi şu şekilde ifade edilir Kısmi türevleri hesaplayın u, e cos, sin veue cos sin eu cos e coseve sin sin ev sin e cos e O düzleminin tüm noktaları için Cauchy-Riemann koşulları sağlandığından (uv, uv) incelenen fonksiyon tüm düzlemde analitiktir ve türevi 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 z0 i0 noktasında: Edebiyat :) Gusak A.A. "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları ve işlemsel hesap teorisi", 00, sayfa 59 (örnek 9), sayfa 0 (örnek). Fonksiyonun değerini hesaplayın. 7) w cos z karmaşık değişkeninin fonksiyonunun z0 i noktasındaki değerini hesaplayın. e Herhangi bir z C için: cos ziz eiz Sonra ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e e e e e e e e cos i sin ch coschoz: Literatür i ish cos sin. "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi", 009, cilt 0, ed. MGTU, s. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları", 00, sayfa) z 0 ln 3 noktasında z ile karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun değerini cebirsel biçimde hesaplayın. z z e Herhangi bir z C için: z z z e e Ben i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e th ln 3 i ln 3 i ben i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4 yaz

8 ii 9cos isin cos isin 9e 4 eii 9e 4 e 4 9cos isin cos isin ii 9 ii 9 ii 9 ii 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 40 9i 40 9 i 54i54i sonuç cebirsel formda hesaplamalar. 9) Ln z karmaşık değişkeninin fonksiyonunun z 0 noktasındaki değerini hesaplayın. Fonksiyonun ana değerini belirtin. Logaritmik fonksiyon Ln ln arg z z i z k kz z sayısının logaritmasının ana değerine, z sayısının argümanının ana değerine karşılık gelen değer denir; şunlar. k 0 için logaritmanın temel değeri elde edilir: ln z ln zi arg z z0 0 i: z 0 arg z 0 sayısının modülü ve argümanı Bu nedenle, Ln ln ik 0k i kz, fonksiyonun değerleridir z 0 noktasındaki karmaşık bir değişkenin cebirsel biçimde yazılmış hali. (Ln z logaritmik fonksiyonu çok değerlidir) z ln 0 i 8 sayısının logaritmasının temel değeri

9 0) z i 0 noktasında karmaşık i z değişkeninin fonksiyonunun değerini hesaplayın. Herhangi biri için w z C: w z z Ln w e. i iln i iln iarg i ki iee, kz sayısının modülü ve argümanı wi: i arg iarctg 4 ln i ln i ki ikikii ln iarg i ki ln iiee 4 e 4 e 4 ln kik 4 e ln 4 ln kik 4 e ln , kz - z0 i noktasındaki karmaşık değişken z fonksiyonunun değerleri, trigonometrik biçimde yazılmıştır (çok değerli fonksiyon).) Karmaşık değişken arcctg z fonksiyonunun z0 i noktasındaki değerini hesaplayın, yazın cevap cebirsel formda. izi Arcctg z Ln zi Ln z ln z iarg zk, kz (k 0 için ln z ln zi arg z logaritmasının temel değerini elde ederiz) z0 i ii i i3i i3i3 4i izi ii 3i 3i3i z0 n il L ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 ve z0 i ln 5 i arctan zi 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctan i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (Arcctg i'nin ana değeri) 9

10) Karmaşık değişken arccos z'nin fonksiyonunun z0 i noktasındaki değerini hesaplayın, cevabı cebirsel formda yazın. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz k 0 için logaritma ln z ln z i arg z'nin temel değerini ve arccosin arccos z arg z z iln z z'nin temel değerini elde ederiz Kare kök karmaşık bir sayıdan iki değer verir; fonksiyonun ana değeri için, argümanı 0; aralığına giren birini seçiyoruz. Bu durumda: arccos ln ln iln i i i ben ben ben ben ben i sayısının kökü iki değer alır. Onları bulalım: cos arctan i sin arctan i arctan k arctan ki 5 cos isin 4 arctan arctan 5cos isin, k 0 i 4 arctan arctan 5 cos ben sin, k cos cos cosarctan 5 formüllerini kullanarak şunları elde ederiz: cos ve günah, ve arctan 5 5 cos 0 arctan 5 5 sin 0 ve ardından i, k 0 i, kii, ki, k 0 0 0 olduğuna dikkat ederek

11 ve 5 5 i, k 0 i ben 5 5 i, k İki değerden ikinciyi seçin, çünkü argümanı 0 aralığına düşer; Yani, ii 5 i arccos z arg zz iln zz arctan 5 5 iln i 5 5 arctan 5 5 i ln 5 arctan 5 iln 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (Arccos i'nin ana değeri) Edebiyat :) Morozova V.D ... "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi", 009, cilt 0, ed. MGTU, s. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Karmaşık bir değişkenin işlevleri", 00, s. 40.

Bir karmaşık sayı, x y (bir karmaşık sayının cebirsel biçimi) biçiminin bir ifadesidir, burada x, y R; x Re - karmaşık sayının gerçek kısmı; y Im - karmaşık sayının sanal kısmı; - hayali

Konu 11 Karmaşık sayılar teorisinden temel bilgiler. Karmaşık bir sayı, şu şekilde yazılmış sıralı bir gerçek sayı çiftidir - burada i - "hayali birim" için i = -1; - gerçek kısım

Karışık sayılar. Polinomlar. Karışık sayılar. 1. Problemleri çözmek için temel tanımlar ve formüller Cebirsel biçimdeki bir karmaşık sayı, x ve y'nin gerçek olduğu = x + y biçiminin bir ifadesidir.

1 Karmaşık bir değişkenin işlevlerinin temel kavramları Karmaşık bir değişkenin bir işleviyle ilişkili temel kavramlar, gerçek alandaki ile aynıdır. İki set karmaşık olsun

Saint Petersburg Devlet Üniversitesi Matematiksel Analiz Bölümü Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi üzerine pratik alıştırmalar yapmak için METODOLOJİK TALİMATLAR Bölüm 1 Başlangıç ​​bölümleri

Matematikte test çalışması için metodik talimatlar Konu 1. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu tanımlayalım. Tanım. Bir kompleksin noktalarının D kümesinde olduğunu söylüyorlar.

Varyant Görevi Cevabı cebirsel biçimde vermek için bir fonksiyonun değerini hesaplayın: a sh; b l Çözüm a Trigonometrik sinüs ile hiperbolik sinüs arasındaki ilişki formülünü kullanalım:; sh -s alırız

Varyant Problemi Bir fonksiyonun değerini hesaplayın (cevabı cebirsel olarak veriniz: a th (; b L (/ Çözüm a) Tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edelim: th ( ch (/ formülleri için) farkın sinüsü ve kosinüs

Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu GUBKIN RUSYA DEVLET PETROL VE GAZ ÜNİVERSİTESİ Melnikov'da, AMA Fastovets KARMAŞIK DEĞİŞKEN OPERASYONELİN FONKSİYONLARI TEORİSİ

Konu: Karmaşık sayılar ve fonksiyonlar. Karmaşık sayının tanımı, karmaşık sayının cebirsel biçimi. Karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımları. Karmaşık sayılarda toplama ve çarpma işlemleri.

Karmaşık analiz Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları Nikita Aleksandrovich Evseev Fizik Fakültesi, Novosibirsk Devlet Üniversitesi Heilongjiang Üniversitesi Çin-Rus Enstitüsü

Konular: Bölüm adı, konular Toplam ders saati Dersler, saatler Pratik dersler, saatler 1 2 3 4 Konu 1. Analitik geometri ve lineer cebir 68 34 34 Konu 2. Matematiksel analize giriş

VD Mikhailov Örneklerde ve problemlerde karmaşık bir değişkenin fonksiyonları 04 UDC 57.5 BBK.6 М69 Mikhailov V.D. Örneklerde ve problemlerde karmaşık değişken fonksiyonlar: öğretici... SPb., 04.30 s. öğretici

P. 1 / 14 2. ders. Karmaşık bir sayının üstel biçimi Mat. analiz, uygulama Mat., 4. dönem A1 Aşağıdaki karmaşık sayıların modüllerini ve argümanlarını bulun ve bu sayıları z = ρe iϕ biçiminde yazın,

RUSYA ŞUBELER BAKANLIĞI Federal Devlet Bütçesi Eğitim kurumu daha yüksek mesleki Eğitim"Tula Devlet Üniversitesi" Yüksek Hassasiyetli Sistemler Enstitüsü, V.P.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI ANGARSK DEVLET TEKNİK AKADEMİSİ Museva TN Sverdlova OL Turkina NM KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONU TEORİSİNİN ELEMANLARI Ders Kitabı Angarsk İÇİNDEKİLER

KARMAŞIK DEĞİŞKEN OPERASYONEL HESAPLAMANIN FONKSİYON TEORİSİ ELEMANLARI Bu konuyu çalışmanın bir sonucu olarak, öğrenci şunları öğrenmelidir: karmaşık bir sayının trigonometrik ve üstel formlarını bulma

KENDİNİ HAZIRLAMA SORUNLARI Karmaşık sayılar ve bunlarla ilgili işlemler Karmaşık sayılar verilir ve bulun :)))) 5): a) b) Bu karmaşık sayıyı :) trigonometrik formda) üstel formda yazın

VARYANT PROBLEM FONKSİYON DEĞERİNİ HESAPLAYIN (CEVAP CEBİRSEL ŞEKİLDE: a Kemer; b ÇÖZÜM A ARH'I FORMÜL İLE HESAPLAYACAĞIZ Kemer (L (BU ÖRNEKTE ZI, SONUÇ OLARAK, Kemer L (± L (SONRAKİ ± SONRAKİ))

Seçenek 9 Problem Fonksiyonun değerini hesaplayın (cevabı cebirsel formda verin: a cos (; b l (Çözüm a) Trigonometri formülü ile cos (-cos cos (s s)

FEDERAL EĞİTİM AJANSI DEVLET MESLEK YÜKSEK EĞİTİM KURULUŞU "SAMARA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Ders 7. Sayı kavramının genişletilmesi. Karmaşık sayılar, bunlarla ilgili işlemler Özet: Ders, sayı kavramını doğaldan karmaşığa doğru genelleme ihtiyacına işaret eder. Cebirsel,

FONKSİYON CEVABININ DEĞERİNİ CEBİRSEL FORMDA HESAPLAMAK İÇİN DEĞİŞKEN GÖREV: a Arch b ÇÖZÜMÜ A ARH'I FORMÜL İLE HESAPLAYACAĞIZ Arch L BU ÖRNEKTE Arch L, SONUÇ OLARAK, Arch L ± L ± DAHA FAZLA KULLANIYORUZ

Ders ... 3. Belirsiz integral Özet: Belirsiz integral, integralin ters türevleri kümesi olarak tanımlanır. Belirsiz integralin özellikleri göz önüne alındığında,

"Eylem işareti" a + (- b) = a-b 1) Negatif sayılar neden girilir? "Miktar işareti") Neden onlar üzerinde eylemler, başkalarına göre değil de şu ve bu kurallara göre gerçekleştirilir? Negatifi çarparken ve bölerken neden

uygulamalı ders Analitik fonksiyonlar Cauchy-Riemann koşulları Karmaşık değişkenli bir fonksiyonun türevi ve diferansiyeli Cauchy-Riemann koşulları 3 geometrik anlam türevin modülü ve argümanı 4 Konformal

Ders 2 2.1 Karmaşık sayı dizileri Herhangi bir ε> 0 sayısı için n 0 n 0 (ε) sayısı şu şekildeyse, bir karmaşık sayı a, karmaşık sayılar dizisinin (z n) limiti olarak adlandırılır.

Seçenek Görev Fonksiyonun değerini hesaplayın (cevabı cebirsel formda verin: a cos (; b l (Çözüm a) Trigonometri formülü ile cos (cos cos (-s s)

Federal ajans eğitim tarafından Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu "Ural Devleti Pedagoji Üniversitesi»Matematik Fakültesi Bölümü

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Komsomolsk-on-Amur Devlet Teknik

MOSKOVA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ SİVİL HAVACILIK O.G. Illarionova, I.V. Platonov YÜKSEK MATEMATİK Eğitimi araç setiöğrenciler için pratik görevlerin uygulanması hakkında II

Karmaşık değişken kavramı Karmaşık bir değişkenin limiti ve sürekliliği D ve Δ iki karmaşık sayı kümesi verilsin ve her z D numarasına ω Δ ile gösterilen bir sayı atansın

Karmaşık analiz Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarına örnekler Nikita Aleksandrovich Evseev Fizik Fakültesi, Novosibirsk Devlet Üniversitesi Çin-Rus Heilongjiang Üniversitesi Enstitüsü

DERS N34. Karmaşık elemanlı sayısal seriler. Karmaşık bir alanda kuvvet serileri. Analitik fonksiyonlar. Ters fonksiyonlar ... karmaşık terimli sayı serileri ... karmaşık bir alandaki kuvvet serileri ...

RF FEDERAL EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI DEVLET BÜTÇESİ EĞİTİM YÜKSEK PROFESYONEL EĞİTİM KURULUŞU "SAMARA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Giriş 1 Sayıyı cebirsel biçimde yazın Find, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Çözüm Çarpın ve sayıyı paydanın eşleniğine bölün: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Karmaşık fonksiyonlar 1.1 Karmaşık sayılar Karmaşık sayıların, C = ((x, y): x, y R), z = x + iy, gerçek sayı çiftleri kümesi olarak tanımlanabileceğini hatırlayın, burada i sanal birimdir ( Bence

Temel kavramlar 1 KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık sayı, i formunun bir ifadesidir, burada gerçel sayılardır, i, i koşulunu sağlayan sanal bir birimdir 1 Sayıya bir kompleksin gerçel kısmı denir

Anlatım 3. Belirsiz integral. Ters türev ve belirsiz integral В diferansiyel hesap problem çözüldü: verilen bir f () fonksiyonu için türevini (veya diferansiyelini) bulun. Integral hesabı

BÖLÜM KARMAŞIK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI TEORİSİ Karmaşık değişkenli bir fonksiyon kavramı

Fonksiyonlar Fonksiyonların türevlenmesi 1 Türev alma kuralları Bir fonksiyonun türevi gerçek alanda olduğu gibi belirlendiğinden, yani. bir sınır olarak, daha sonra bu tanımı kullanarak ve sınır özellikleri,

Varyant Görevi Bir fonksiyonun değerini hesaplayın (cebirsel formda cevabı verin: a Arctg; b (Çözüm a Genel olarak Arctg arctan + kπ) Kompleks + düzlemde diğer değerleri bulacağız Arctg'yi formülle hesaplayacağız

Birkaç değişkenli fonksiyonlar Birkaç değişkenli fonksiyonlar değişkenler Aşırı birkaç değişkenli fonksiyonlar. Kapalı bir alanda bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulma Koşullu ekstremum Kompleks

GÖREV BANKASI giriş sınavları sulh hakimi (temel kısım) Bilet atamaları, 4 5 Bölüm, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Puan sayısı 5 b b 5 b İçindekiler Bölüm Türev, bölüm

Anlatım 5 Temel elemanter fonksiyonların türevleri Özet: Tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin fiziksel ve geometrik yorumları verilir.Bir fonksiyonun ve bir kuralın türevi örnekleri ele alınır.

Bağımsız iş Problem Parametrik olarak verilen eğrinin şeklini belirleyin ve eğriyi gösterin t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t 5 Cevaplar kapalı ışın y, 0, y, iki kez geçildi, ışın gösteriliyor

SA Zotova, VB Svetlichnaya ENTEGRE DEĞİŞKEN MATEMATİKİN FONKSİYONLARI TEORİSİ İÇİN PRATİK KILAVUZ UDC 5 Hakemler - df-mn, prof.

7 AÇIKLAYICI VE LOGAritmik DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 7. TEMEL KAVRAMLAR VE FORMÜLLER. log a b ve a b eşitlikleri a> 0, a, b> 0. log için eşdeğerdir. Temel logaritmik özdeşlik: a a b b, a> 0,

Temel temel fonksiyonların türevleri Bir fonksiyonun türevi aşağıdaki şemaya göre bulunabilir: x argümanına y fonksiyonu için bir artış veririz karşılık gelen y y artışını buluruz Bulduğumuz oranı oluştururuz

KARMAŞIK DEĞİŞKEN YAYIN EVİNİN FONKSİYONLARI TSTU Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı GOU VPO "Tambov Devleti Teknik Üniversite»ENTEGRE DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI

Sınav soruları "KNOW" öğrenme düzeyini test etmek için sorular Seri teorisinin temel kavramları Sayısal serilerin yakınsaklığı için Cauchy kriteri Yakınsaklık için gerekli bir kriter sayı serisi Yeterli işaretler

Federal Eğitim Ajansı Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Kurumu Ukhta Eyalet Teknik Üniversitesi KARMAŞIK NUMARALAR Metodik yönergeler

Karmaşık analiz Karmaşık sayıların geometrisi Nikita Aleksandrovich Evseev Fizik Fakültesi, Novosibirsk Devlet Üniversitesi 2015 Karmaşık analiz 1/31 Sayı doğrusu R Kompleks

VARYANT PROBLEMİ FONKSİYON DEĞERİNİ HESAPLAYIN (CEVAP CEBİRSEL ŞEKİLDE: s (; b a TRİGONOMETRİ FORMÜLÜ SIN İLE ÇÖZÜM A)

Svetlichnaya V.B., Agisheva D.K., Matveeva T.A., Zotova S.A. Matematiğin özel bölümleri. Karmaşık bir değişken Volgograd 0'ın fonksiyonları teorisi Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Volzhsky Politeknik

TİPİK HESAPLAMA "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi" pratik görevler Egzersiz yapmak. Numara verilir. arg ile c'yi bulun ve c sayısını trigonometrik ve üstel formlarda yazın :))))) 8 6) 7) 8) 9)

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM BAKANLIĞI KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI TEORİSİ Metodolojik kılavuz Derleyen: MDUlymzhiev LIinkheeva Ibyumov Szhumova Fonksiyonlar teorisi üzerine metodolojik kılavuzun gözden geçirilmesi

Karmaşık sayılar, fonksiyonlar ve bunlarla ilgili işlemler y modülü R reel kısım gerçek sayı, yim sanal kısım gerçek sayı iy karmaşık sayının cebirsel gösterimi Argümanın ana değeri

Konu: Türev. Kısa teorik bilgi. Türev tablosu. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

Matematiksel analiz Bölüm: Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi Konu: C'de cebirsel olmayan işlemler. Temel temel fonksiyonlar içinde C.B.b. karmaşık sayı dizileri Okutman OV Yanuschik

Başlık. İşlev. Atama yöntemleri. Örtük işlev. Ters fonksiyon. Fonksiyonların sınıflandırılması Küme teorisinin elemanları. Temel kavramlar Modern matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır.

Ölçek Oturumlar arasındaki aralıkta, öğrenciler kendi kendine hazırlık Çalışması yapmalıdır. teorik malzeme"Çeşitli değişkenlerin işlevleri" konulu derslerde (Sunulan malzeme

MİREA. için tipik hesaplama matematiksel analiz Kontrol görevleri konuyla ilgili Karmaşık sayılar, TFKP. Görev 1. Denklemleri çözün, karmaşık düzlemde çözüm kümesini gösterin A) 4 i + 81i 0 B)

İŞLEMSEL HESAPLAMA Laplace dönüşümü ve ters çevirme formülü Dirichlet aralığında Let, yani: Fourier integrali (l l) a) bu aralıkta sınırlıdır; fonksiyon koşulları sağlar b) parçalı süreklidir

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar Analitik fonksiyonlar Daha önce olduğu gibi, aksi belirtilmedikçe, tek değerli bir w = f (z) fonksiyonu ile uğraşıyoruz. Tanım 1. f (z) işlevine analitik denir

RF ANGARSK DEVLET TEKNİK AKADEMİSİ EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN KARMAŞIK DEĞİŞKEN VE OPERASYONEL HESAPLAMANIN FONKSİYONLARI Ders Kitabı

1. Türev ve diferansiyel. Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevi ve diferansiyeli tanımları, gerçek bir değişkenin fonksiyonları için karşılık gelen tanımlarla tam anlamıyla örtüşür.

fonksiyon olsun w = f(z) = ve + iv bazı mahallede tanımlanmış sen puan zo. bağımsız değişkeni verelim z = x + gu artış A z= Ö.g + yy, mahalleden değil Ü. Daha sonra fonksiyon w = f(z) karşılık gelen bir artış alacak Aw = = f (z 0 + Dg) - f(z0).

w = f (z) fonksiyonunun zq noktasında türevi fonksiyonun artış oranının limiti olarak adlandırılır. ah A argümanını artırmak için zçabalarken Az sıfıra (keyfi bir şekilde).

türev belirtilir f "(zQ), w veya y-. Türevin tanımı şu şekilde yazılabilir:

(6.1)'deki sınır mevcut olmayabilir; o zaman fonksiyonun olduğu söylenir w = f(z) zq noktasında türevi yoktur.

İşlev w = f(z) aranan Zq noktası hakkında türevlenebilir bazı mahallelerde tanımlanmışsa sen puan zq ve artışı ah olarak temsil edilebilir

karmaşık sayı nerede L Ar'a bağlı değildir ve a (Ar) işlevi için sonsuz küçüktür Az- »0, yani Cum a (Ar) = 0.

Gerçek bir değişkenin fonksiyonlarının yanı sıra, fonksiyonun olduğu kanıtlanmıştır. f(z) noktada türevlenebilir zq ancak ve ancak bir türevi varsa hayvan... Dahası A = f "(zo).İfade f "(zo) Az aranan f (z) fonksiyonunun Zq noktasındaki diferansiyelive belirtilen dw veya df (zo). Bu durumda artış Az bağımsız bir değişkenin z'sine ayrıca z değişkeninin diferansiyeli denir ve

belirtilen dz. Böylece,

Diferansiyel, fonksiyonun artışının ana lineer kısmıdır.

Örnek 6.1. Bir işlevin olup olmadığını araştırın w= / (r) = R ez keyfi bir noktada türev Zq.

Çözüm. Varsayım olarak, w = Rea = X. Türevin tanımı gereği, limit (C.1) hangi yola bağlı olmamalıdır:

nokta z = Zq + Az yaklaşıyor inci A'da z-? 0. İlk önce A'yı alın z - Ah(Şek. 15, a). Çünkü Ah = Ah. o zaman = 1. Eğer

A al z = iAy(şek. 15, B), sonra Ey= 0 ve dolayısıyla ah = 0.

Bu, u = 0 olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, ilişkiye ihanet edilir. Az-> 0 A değil z A z

vardır ve bu nedenle fonksiyon w= G = x hiçbir noktada türevi yoktur.

Aynı zamanda, fonksiyon w = z = x + ben, açıkça herhangi bir r noktasında bir türevi vardır ve / "(r) = 1. Dolayısıyla, türevlenebilir f(r) fonksiyonunun reel ve imajiner kısımlarının keyfi olamayacağı açıktır; bazı ek oranlarla ilişkilendirilmeleri gerekir. Bu ilişkiler, f(r) türevinin var olma koşulunun, tek bir reel değişkenli fonksiyonların türevinin veya birkaç reel değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerinin var olma koşulundan önemli ölçüde daha kısıtlayıcı olmasından kaynaklanmaktadır: (6.1)'deki limitin var olması ve r = r + ar noktasının ar 0 olarak r'ye yaklaştığı yola bağlı olmaması gerekir. Belirtilen ilişkileri türetmek için, iki fonksiyonun türevlenebilirliğinin tanımını hatırlayın. değişkenler.

geçerli işlev u = u (x, y) gerçek değişkenler x ve de noktasında türevlenebilir denir Ro (ho, wo) D> noktasının bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve toplam artışı A ve = onların o + oh oh oh+ Bir y) - sen (ho, yo) formda temsil edilebilir

nerede V ve İLE- J'den bağımsız gerçek sayılar , Ay, a {3 Ey ve Ay, sıfıra eğilimli Ey -» 0, Ay-> 0.

eğer fonksiyon ve Po noktasında türevlenebilir, o zaman bir frekansı vardır

G, " di(P 0) ^ di (ro) rt ,

Po cinsinden türevler ve V= ---, C = ---. Ama (mükemmel

oh ay

bir değişkenin fonksiyonları) fonksiyonun kısmi türevlerinin varlığından sen (x, y) yine de farklılaştırılabilirliği takip etmez.

2. Cauchy-Riemann koşulları.

Teorem 6.1. fonksiyonu w olsun = karmaşık bir değişken z'nin f (z)= (f, y) noktasının bir komşuluğunda tanımlanır, zq= (jo, y o) ve f (z) = u (x, y) + iv (x, y). f(z)'nin Zq noktasında türevlenebilir olması için u(x,y)XI v(x,y) fonksiyonlarının noktada türevlenebilir olması gerekli ve yeterlidir.(kuyu, yo) ve böylece bu noktada koşullar

Eşitlikler (6.4) denir Cauchy-Riemann koşulları .

Kanıt. İhtiyaç. fonksiyon olsun w = f(z) zq noktasında türevlenebilir, yani,

biz belirtiriz f "(zo) = bir + ib bir (Dg) = fi (Balta, Ay)+ r7 (J, Ay); Az = Ah + (Ay, nerede /3 ve 7 değişkenlerin gerçek fonksiyonlarıdır Ah, ay, J -> 0 olarak sıfıra eğilimli, Ay -> 0. Bu eşitlikleri (6.5)'te yerine koyarsak ve reel ve sanal kısımlarını ayırırsak, şunu elde ederiz:

Karmaşık sayıların eşitliği, gerçek ve sanal kısımlarının eşitliğine eşdeğer olduğundan, (6.6) eşitlikler sistemine eşdeğerdir.

Eşitlikler (6.7), fonksiyonların ve (x, y), v (x, y)(6.3) koşulunu karşılar ve bu nedenle türevlenebilirdir. J'deki katsayılar ve Ay x'e göre kısmi türevlere eşittir ve de sırasıyla (6.7)'den elde ederiz

koşullar (6.4) takip eder.

yeterlilik. Şimdi, fonksiyonların sen (x, y) ve v (x, y) noktada türevlenebilir (ho.yo) ve sen (x, y) ve koşullar (6.4) karşılanır.

a = ^, 6 = - ^ ifade ederek ve (6.4) uygulayarak eşitliklere (6.8) ulaşıyoruz. (6.8)'den ve fonksiyonlar için türevlenebilirlik koşulu u (x, y), v (x, y) sahibiz

nerede ft, 7i, ft, D-2 - sıfıra yönelen fonksiyonlar Ah -> 0, Ay ->-> 0. Dolayısıyla

Bir + iAv= (o + ib) (Ah + i.Ay)+ (ft + ift) Balta + (71 + * 72) Ay.(6.9) a (Δz) fonksiyonunu eşitlikle tanımlayalım.

ve koy A = a 4- ib. Sonra (6.9) eşitlik olarak yeniden yazılabilir

(6.2) ile örtüşmektedir. Türevlenebilirliğin ispat günü

fonksiyonlar f(z) geriye lim a (Az) = 0 olduğunu göstermek kalıyor.

bunu takip eder Ey^ |G |, Ay^ | Dg |. Böyle

Eğer Az-? 0, o zaman Ey-? 0, Ay-> 0 ve dolayısıyla ft, ft, 71, 72 fonksiyonları sıfır olma eğilimindedir. Bu nedenle a (Dz) -> 0 için Az-> 0 ve Teorem 6.1'in ispatı tamamlandı.

Örnek 6.2. Bir işlevin olup olmadığını anlayın w = z 2 türevlenebilir; eğer öyleyse, hangi noktalarda?

Çözüm, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy, nerede u = = x 2 - y 2, V = 2xy. Buradan,

Böylece, Cauchy-Riemann koşulları (6.4) her noktada sağlanır; bu nedenle fonksiyon w = r 2, C'de türevlenebilir olacaktır.

Örnek 6.3. Bir fonksiyonun türevlenebilirliğini keşfedin w = - z - x - iy.

Çözüm. w = u + iv = x - iy, nerede u = x, v = -y ve

Böylece, Cauchy-Riemann koşulları hiçbir noktada sağlanmaz ve bu nedenle, fonksiyon w = z hiçbir yerde ayırt edilemez.

Fonksiyonun türevlenebilirliğini kontrol etmek ve türevleri doğrudan formül (6.1) ile bulmak mümkündür.

ÖRNEK 6.4. (6.1) formülünü kullanarak, fonksiyonun türevlenebilirliğini araştırın IV = z2.

Çözüm. A w - (zq + A z) 2-Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2, nerede

Bu nedenle fonksiyon w = zr 2® herhangi bir noktada türevlenebilir ve türevi f "(zo) =2 zo-

Limitlerdeki ana teoremler karmaşık bir değişkenin fonksiyonu için korunduğundan ve karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevinin tanımı da gerçek bir değişkenin fonksiyonları için karşılık gelen tanımdan farklı olmadığı için, iyi bilinen kurallar toplamı, farkı, ürünü, belirli ve karmaşık işlevi ayırt etmek için karmaşık bir değişkenin işlevleri için geçerli kalır ... Ayrıca benzer şekilde kanıtlanmıştır ki, eğer fonksiyon f(z) noktada türevlenebilir zo. o zaman bu noktada süreklidir; bunun tersi doğru değil.

3. Analitik fonksiyonlar. İşlev w= / (^ sadece tam noktada türevlenebilir ns zq, aynı zamanda bu noktanın bazı komşuluklarında denir zq noktasında analitik. Eğer f(z) bölgenin her noktasında analitiktir D, o zaman denir analitik (düzenli, holomorfik) D.

Türevlerin özelliklerinden hemen şu sonucu çıkar: "eğer f(z) ve g (z)- alandaki analitik fonksiyonlar D, sonra fonksiyonlar f(z) + g (z), f (z) - g (z), f(z) g (z) ayrıca alanda analitik D, ve özel f (z) / g (z) analitik fonksiyon bölgenin tüm noktalarında D. hangisinde g (z) ф 0. Örneğin, işlev

çıkarılmış noktalarla C düzleminde analitiktir z= = 1 ve z - i.

Bileşik bir fonksiyonun türevine ilişkin teorem şu ifadeyi ima eder: eğer fonksiyon ve = u (z) alanda analitiktir D ve görüntüler D bölgeye D " değişken ve, ve fonksiyon w = f (u) sahada analitik D ", sonra karmaşık fonksiyon w = f (u (z)) dönüşümlü z analitik D.

Kapalı bir alanda bir fonksiyon analitiği kavramını tanıtıyoruz D. Buradaki açık alandan farkı, mahalleye ait olmayan sınır noktalarının eklenmesidir. D; bu nedenle, bu noktalarda türev ns tanımlıdır. İşlev f(z) aranan analitik (düzenli, holomorfik) kapalı alanda D eğer bu işlev daha geniş bir alana devam ettirilebilirse D içeren D, analitik yapmak D fonksiyonlar.

• Koşullar (6.4) 18. yüzyılın başlarında incelenmiştir. D'Alembert ve Euler. Bu nedenle, bazen tarihsel bir bakış açısından daha doğru olan d'Alembert-Euler koşulları olarak da adlandırılırlar.

fonksiyon olsun W = F(Z) bazı setlerde verilir ve Z 0 tarafından sahip olunan E, bu kümenin sınır noktası. ekleyelim Z 0 = x 0 + Bence· y 0 artış Δ Z = Δ x+ Bence· Δ y işaret etmek Z = Z 0 + Δ Z birçok kişiye aitti E... Daha sonra fonksiyon W = sen+ Bence· v = F(Z) = sen(x, y)+ Bence· v(x, y). Δ artışını elde ederiz W = Δ sen+ Bence· Δ v = F(Z 0 + Δ Z) - F(Z 0 ) = Δ F(Z 0 ) ,
.

Sonlu bir sınır varsa
o zaman denir türev fonksiyonuF(Z) noktadaZ 0 set tarafındanE, ve belirtilen
,
,
, W" .

Biçimsel olarak, karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevi, gerçek bir değişkenin bir fonksiyonunun türeviyle aynı şekilde tanımlanır, ancak içerikleri farklıdır.

Fonksiyonun türevinin tanımında F(x) noktadaki gerçek değişken x 0 , x→ x 0 düz bir çizgi boyunca. Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonu durumunda F(Z), Z için çabalayabilir Z 0 bir noktaya giden herhangi bir düzlem yolu boyunca Z 0 .

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevinin varlığı için gereklilik çok katıdır. Bu, karmaşık bir değişkenin basit fonksiyonlarının bile neden türevi olmadığını açıklar.

Örnek.

işlevi düşünün W = = x- Bence· y... Bu fonksiyonun herhangi bir noktada türevinin olmadığını gösterelim. herhangi bir puan al Z 0 = x 0 + Bence· y 0 , ona bir artış ver Δ Z = Δ x+ Bence· Δ y, ardından fonksiyon artırılacaktır. Anlamına geliyor

,
,

İlk önce Δ'yi ele alacağız Z = Δ x + Bence· Δ yöyle ki Δ x → 0 , ve Δ y = 0 , yani nokta Z 0 + Δ Z → Z 0 yatay bir çizgi boyunca. Bunu yaparken anlıyoruz

Şimdi artışı ele alacağız ∆ Zöyle ki ∆ x = 0 ve ∆ y → 0 , yani ne zaman Z 0 + ∆ Z→ Z 0 dikey bir düz çizgi boyunca, açıkçası
.

Ortaya çıkan limitler farklıdır, dolayısıyla oran sınırı yok ∆ Z → 0 , yani fonksiyon
hiçbir noktada türevi yoktur Z 0 .

Kümeye göre türevin anlamını açıklayalım. İzin vermek E Gerçek eksen mi ve W = F(Z) = x, o zaman bu gerçek bir değişkenin olağan gerçek işlevidir F(x) = x ve türevi olacak 1 (
).

şimdi izin ver E tüm uçak mı (Z)... fonksiyonunun olduğunu gösterelim. F(Z) = x bu durumda herhangi bir noktada türevi yoktur. Nitekim bu durumda
Buradan anlaşılacağı üzere eğer
a
, sonra
... Eğer
, a
, sonra
Sonuç olarak, ilişki sınırı yok
, bu nedenle fonksiyon F(Z) = x hiçbir noktada türevi yoktur
.

Gerçek bir değişkenin karmaşık değerli bir fonksiyonu göz önüne alındığında, türevin tanımının hemen şunu ima ettiğine dikkat edin.
, bu nedenle, (bu, gerçek eksen boyunca türevdir).

Artan fonksiyonlar için formül.

fonksiyon olsun W = F(Z) noktada var Z 0 türev
... Sayının olduğu yerde (1) temsilinin geçerli olduğunu gösterelim.
, ne zaman
.

Gerçekten de, türevin tanımına göre,
, bu nedenle, miktar
, ne zaman
... Bu nedenle, temsil (1) geçerlidir (her iki tarafı da
ve hareket et
Sola).

Ders No. 8 Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevlenebilirliği ve diferansiyeli

İşlev W = F(Z) aranan noktada türevlenebilirZ 0 temsil (2) bu noktada geçerliyse, nerede A Sabit bir karmaşık sayıdır ve değeri
ne zaman sıfıra eğilimlidir
.

eğer fonksiyon W = F(Z) noktada türevlenebilir Z 0 , daha sonra göre temel doğrusal
bir parçası A·
artış
noktada Z 0 aranan diferansiyel fonksiyon F(Z) noktada ve belirtilen
.

Teorem tutar.

Teorem.

Fonksiyon içinW = F(Z) noktasında türevlenebilirdiZ 0 , bu noktada sonlu bir türevinin olması gerekli ve yeterlidir.
, bu durumda her zaman temsilde (2) olduğu ortaya çıkıyor.
.

Kanıt.

İhtiyaç. Bu noktada fonksiyonun türevlenebilir olmasına izin verin. Z 0 ... Bu noktada sonlu bir türevi olduğunu ve bu türevinin sayıya eşit olduğunu gösterelim. A... Farklılaşma nedeniyle F(Z) noktada Z 0 temsil (2) geçerlidir, dolayısıyla
(3). Burada sınıra geçmek
anladık
, anlamına geliyor
.

yeterlilik. fonksiyon olsun F(Z) noktada var Z 0 nihai türev
... (2) temsilinin geçerli olduğunu gösterelim. Türevin varlığından dolayı
temsil (1) geçerlidir, ancak bu aynı zamanda temsil (2)'dir, ki burada A =
... Yeterlilik sağlanır.

Bildiğimiz gibi, diferansiyel, bağımsız değişkeni diferansiyel olarak alarak Z onun artışı
, yani varsayarsak
, yazabiliriz
ve bu nedenle
(bu, tek bir sembol değil, bir diferansiyel oranıdır).

$ w (z) = u (x, y) + v (x, y) \ cdot i $ ifadesiyle verilen bazı karmaşık $ w $ değerini düşünün, burada $ u (x, y), \, \ , \, v (x, y) $ gerçek bir değişkenin gerçek fonksiyonlarıdır, $ z = x + yi $.

Bu değer, gerçek bir değişkenin karmaşık bir işlevidir.

tanım 1

Bir $w (z) $ işlevi, belirli bir z noktasının bazı komşuluklarında türevlenebilirse, bir z noktasında analitik olarak adlandırılır.

tanım 2

Bir fonksiyon, D alanında, bu alanın her noktasında analitik ise analitik olarak adlandırılır.

$ u (x), \, \, \, v (x) $ fonksiyonlarının türevlenebilir olmasına izin verin.

tanım 3

$ w_ (x) "= u" _ (x) (x, y) + i \ cdot v "_ (x) (x, y) $ ifadesine gerçek bir değişkenin karmaşık fonksiyonunun türevi denir. gerçek argümana $ x $.

Gerçek argümana göre türev $ y $ benzer şekilde tanımlanır.

Türevi hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanacağız:

\ \

1) $ w = (3x + 2) + (x ^ (3) + 2y) \ cdot i $ işlevi için şunu elde ederiz:

\ \

2) $ w = (x + e ^ (y)) + (3y ^ (2) + \ ln x) \ cdot i $ işlevi için şunu elde ederiz:

\ \

$ w (z) $ fonksiyonunun bir noktada türevlenebilir olması için $ z_ (0) = x_ (0) + y_ (0) \ cdot i $, $ u (x, y) $ ve $ v (x, y) $, $ (x_ (0); y_ (0)) $ noktasında türevlenebilir ve aşağıdaki koşullar sağlanır:

\ [\ başlangıç ​​(dizi) (l) (\ frac (\ kısmi u (x, y)) (\ kısmi x) = \ frac (\ kısmi v (x, y)) (\ kısmi y)) \\ ( \ frac (\ kısmi u (x, y)) (\ kısmi y) = - \ frac (\ kısmi v (x, y)) (\ kısmi x)) \ bitiş (dizi). \]

Bu koşullara Cauchy-Riemann koşulları denir.

Not 1

Cauchy-Riemann koşulları, türevlenebilir $w (z) = u (x, y) + v (x, y) \ cdot i $ fonksiyonunun gerçek ve sanal kısımlarını birbirine bağlayan ilişkilerdir, burada $ u (x, y), \, \, \, v (x, y) $ gerçek bir değişkenin gerçek fonksiyonlarıdır, $ z = x + yi $.

Fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını seçelim. $ z = x + yi $ koyarız ve şunu elde ederiz:

Bu nedenle, $ u (x, y) = e ^ (1 + 2y) \ cdot \ cos (-2x); \, \, \, \, v (x, y) = e ^ (1 + 2y) \ cdot \ sin (-2x) $ - fonksiyonun gerekli gerçek ve sanal kısımları.

Cauchy-Riemann koşullarını kullanalım: $ \ frac (\ kısmi u) (\ kısmi x) = \ frac (\ kısmi v) (\ kısmi y); \ frac (\ kısmi u) (\ kısmi y) = - \ frac ( \ kısmi v) (\ kısmi x) $.

\ [\ başlangıç ​​(dizi) (l) (\ frac (\ kısmi u) (\ kısmi x) = 2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ günah (-2x); \ frac (\ kısmi v) (\ kısmi y) = 2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ günah (-2x)) \\ (2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ günah (-2x) = 2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ günah ( -2x)) \ bitiş (dizi) \] \ [\ başlangıç ​​(dizi) (l) (\ frac (\ kısmi u) (\ kısmi y) = 2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ cos (-2x) ; \ frac (\ kısmi v) (\ kısmi x) = -2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ cos (-2x)) \\ (2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ cos (-2x) = - (- 2e ^ (1 + 2y) \ cdot \ cos (-2x))) \ bitiş (dizi) \]

Herhangi bir gerçek $ x, y $ için Cauchy-Riemann koşulları sağlanır. Bu nedenle, fonksiyon herhangi bir gerçek $ x, y $ için analitiktir.

Fonksiyonun türevini bulalım ve verilen bir noktada fonksiyonun türevinin değerini hesaplayalım $ z_ (0) = \ frac (\ pi) (6) $.

Fonksiyonun türevi:

Belirli bir noktada fonksiyonun türevinin değerini hesaplıyoruz

Uygulamada, aşağıdaki görevleri bulabilirsiniz.

1. sorun

$w (z) $ karmaşık değişkeninin bir fonksiyonunun $ u (x, y) $ reel kısmı verildiğinde, bu fonksiyonun $ v (x, y) $ sanal kısmını bulmak gerekir. $ w (z) $ fonksiyonunu bilinen gerçek ve sanal kısımlardan yeniden oluşturun.

Görev 2

$w (z) $ karmaşık değişkeninin bir fonksiyonunun $ v (x, y) $ sanal kısmı verildiğinde, bu fonksiyonun $ u (x, y) $ sanal kısmını bulmak gerekir. $ w (z) $ fonksiyonunu bilinen gerçek ve sanal kısımlardan yeniden oluşturun.

Problem 2'yi çözmek için algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

• Cauchy-Riemann koşullarını kullanarak gerçek parçayı bulun;
• $ w (z) = u (x, y) + v (x, y) \ cdot i $ fonksiyonunu oluşturun;
• dönüşümleri gerçekleştirin ve $ z = x + yi $ veya $ \ overline (z) = x-yi $ değişkenini vurgulayın.

Açıklama 1

Pratik problemleri çözerken, aşağıdaki oranlar kullanışlı olabilir:

\ \ \

Açıklama 2

$ i $ sanal birimine bölme işlemi, $ -i $ ile çarpma işlemine eşdeğerdir.

Örnek 3

Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun $ u (x, y) = - x ^ (2) + y ^ (2) -5y $ gerçek kısmından, hayali kısmını $ v (x, y) $ geri yükleyin ve bunu geri yükleyin fonksiyon $ w (0) = 0 $ başlangıç ​​koşulunu sağlarken.

Gerekli $w (z) $ fonksiyonunun $ v (x, y) $ sanal bölümünü bulun. İlk Cauchy-Riemann koşulunu kullanalım:

\ [\ frac (\ kısmi u (x, y)) (\ kısmi x) = \ frac (\ kısmi v (x, y)) (\ kısmi y). \]

Orijinal değerleri değiştirin ve şunu elde edin:

\ [\ frac (\ kısmi v (x, y)) (\ kısmi y) = \ frac (\ kısmi (-x ^ (2) + y ^ (2) -5y)) (\ kısmi x) = -2x \] \ \

$ \ phi (x) $ bilinmeyen fonksiyonunu bulun.

İkinci Cauchy-Riemann koşulunu kullanalım:

\ [\ frac (\ kısmi u (x, y)) (\ kısmi y) = - \ frac (\ kısmi v (x, y)) (\ kısmi x). \] \ \ [\ phi "(x) = 5 \ Sağ Ok \ phi (x) = \ int 5dx = 5x + C \]

Buradan,

Gerekli fonksiyonun hayali kısmı $ w (z) $ geri yüklenir, sonra fonksiyonun kendisini yazabiliriz:

Ortaya çıkan ifadeyi dönüştürelim:

\ \ [= - x ^ (2) + y ^ (2) -5y + -2xyi + 5xi + Ci = (- x ^ (2) + y ^ (2) -2xyi) + (- 5y + 5xi) + Ci = \] \ [= - (x ^ (2) + 2xyi-y ^ (2)) + 5i \ cdot (x- \ frac (y) (i)) + Ci \] \

kullanma başlangıç ​​koşulu$ w (0) = 0 $, $ C $ sabitinin değerini bulun.

Bu nedenle, gerekli işlev şu şekildedir:

Fonksiyonun sanal kısmı olur.